2024高考新课标1理科数学试题详细解析

2024年一般高等学校招生全国统一考试全国课标1

理科数学

留意事项：

i.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的

姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.

4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.

第I卷

一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的一项。

1.已知集合4={乂/一2%一320},3={%|—2＜工＜2},则AB=

A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)

解析：A=无2—2%一3之€)}={玳尤一3)(尤+1)20}=„<-1或％23},

B=[-2,-l],故选A

A.1+zB.1-zC.—1+zD.-1-z

2

(1+)(l+/)(l+z)D-i故选D

解析:

3.设函数/(x),g(%)的定义域都为R,且是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论

中正确的是

A./(x)g(x)是偶函数是奇函数

c.是奇函数D.|/(x)g(x)|是奇函数

解析："%)是奇函数，g(x)是偶函数，则/(x)g(x)是奇函数，解除A

是奇函数，|〃刈是偶函数，g(x)是偶函数，则是偶函数，解除B

是奇函数，|g(x)|是偶函数，则y(x)|g(x)|是奇函数，c正确

"%)是奇函数，g(x)是偶函数，/(x)g(x)是奇函数，则［〃x)g(x)|是偶函数，解除

D,故选C

4.已知E为双曲线C:d—5尸=3帆(加＞。)的一个焦点，则点E到。的一条渐近线的距

离为

A.A/3B.3C.s/3mD.3m

解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长b,故距离百，选A

5.4位同学各自由周六、周日两天中任选一天参与公益活动，则周六、周日都有同学参与

公益活动的概率为

1357

A.—B.—C.—D.一

88880

解析：周六没有同学的方法数为1,周日没有同学的方法数为1,所以乂

周六、周日都有同学参与公益活动的概率为。==2=：,//\

故选DyOMJA

6.如图，圆。的半径为1,A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x\J

的始边为射线0A,终边为射线0P,过点P作直线0A的垂线，垂足，

为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数"％),则y=/(x)在［0,句的图像大致

为

K

pk।g兀

i-i-

建7rD

，又!〃力|曰叫眼"，所

解析：由已知O尸=1,尸加Tsinx,QM=cosx0"=0

以/'(x)=binx||cosx|=Jsin2x|,故选C

7.执行右面的程序框图，若输入的a,4左分别为12,3,则输出的河=

2071615

A.—B.-C.—D.

325¥

33

解析：当〃=2时，M=—,a=2,b=—；

22

QQQ1CQ1C

当〃=3时，M=—,a=—,b=—；当〃=4时，Af=—,a=—,b=一；

323838

此时运算终止，M=—,故选D

8

8.设ae(0,工],工],且tana=l+sin>，则

V2Jv2JcosP

A.3a—/3~~~B.3a+/=qC.2a~D.2a+/?=?

即HLl+sin/msina1+sin/?

解析：由tan。=------—得-----=-------/.sinacospn-cosa+cosasinpn

cos°cosacos°

，由已知ae10,pe(0,g],

即sin(cr-^)=cosa，所以sin(a-A)=sin

所以一工<。一/〈工,0<工一。<工，y=sin%在一工，工上单调递增，所以

2222122」

a-(3=^-a.2a-/3=，故选C

9.不等式组的解集记为D,有下面四个命题

尤―2y<4

Pi:V(x,y)eD,x+2y>-2,p2:3(x,y)eD,x+2y>2,

:V(x,y)eD,x+2y<3,p4H(x,y)£Z),x+2y<—1,其中的真命题是

A.P2M3B・B，P2C.PLD.ppp?

解析:令x+2y="(工+丁)+几(％—2y)=(相+孔)%+(加一2〃)丁,所以

.4

im=—

rm+n=l34/、1/、

<__，解得。所以x+2y=—(%+y)——(x—2y)20,因而可以推断Pi"?

777—2n—2133

'n=——

[3

为真，故选B

10.已知抛物线C:V=8x的焦点为E,准线为/,P是/上一点,。是直线PF与C的一个交

点，若即=4/Q,则依耳=

11.已知函数/(%)=加一3*+1,若/(X)存在唯一的零点%,且七〉0,则a的取值

范围是

A.(2,+<x>)B.(L+oo)C.(-co,-2)D.(-oo,-1)

解析：当。=0时，/(%)=—3d+1有两个零点，不满意条件

x-2],令/(力=0n3QX[X-2]=0,

当aw0时，/'(X)-3〃元2-6x=

,、2

解得犬=0或％=—，当a<0时，/(x)=ar3-3x2+1在

a

卜°,I)和(0,+8)递增，(：0)递减,/1一1二—^+1为微小值，/(0)=1为极大值，

若/(%)存在唯一的零点/，且%>0,只需/1—|=-2+1>0,即为a<-2,当a>0

\a)a

时，/(%)=加-3/+1在(-00,0)和1—,+00)递增,10,—产减,"0)=1为极大值，

2+1为微小值，不行能有满意条件的极值，故选c

二

\a)a______、―/二_____

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体_s______________

___'______________

_____、____________

的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为______、____________

A.6y/2B.6C.4A/2DA

解析：几何体为如图所示的一个三棱锥A5C,底面ABC为等P___A

腰三角形，AB=BC,AC=4,顶点B到AC的距离为4,面

PAC_L面A5C,且三角形为以A为直角的等腰直角三角形，所以口\\

C

棱？B最长，长度为6,故选B

第II卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题，每个考生都必需作

答。第(22)题-第(24)题为选考题，考生依据要求作答。

填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.(x-y)(x+y)8的绽开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)

解析：(x—y)(x+y)8=x(x+y)8—y(x+y)8,故绽开式中必产的系数为

C；-C；=8_28=_20

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一个城市.

由此可推断乙去过的城市为.

解析：乙没去过C城市，甲没去过B城市，但去过的城市比乙多，所以甲去过A,C,三人

都去过同一个城市，肯定是A,所以填A

15.己知A,B,C是圆0上的三点，若AO=；(AB+AC),则A3与AC的夹角为.

解析：AO=1(AB+AC),如图所示，。为中点，即—

为圆。的直径，所以A3与AC的夹角为2//\\

2//7

16.已知a,b,c分别为AABC的三个内角A,8,C的对边,

且(2+》)(sinA—sin§)=(c—Z?)sinC,则AABC面积的最大值\/

为.-------/

解析：

(2+Z?)(sinA-sinB)=(c-b)sinC=>(2+/?)(«-Z?)=(c-b)c=>2a-b2-c2-be,因

为a=2,2a-b2=c2-beb2+c2-a2=be=>cosA=-----------=—nA=—

2bc23

AABC面积5=工。*也4二且儿?，而

24

b~+c2—a2=bc=>b~+c2—be=a2+c2—be=4=>be<4

S=­Z?csinA=-^-bc<小

24

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）已知数列｛4｝的前几项和为5“，%=1,。“片0，anan+l=2Sn-1,

其中2为常数.

（I）证明：。“+2-a”=4；

（II）是否存在；I,使得｛%｝为等差数列？并说明理由.

解析：（1）证明：当〃之2时，1，?，①一②得

44+1—a,-a”=>l（S“一S,i）n%（%+i—a“_J=然“，-*0/.a„+1=2„BP«„+2-an=2

（II）存在，证明如下：假设存在4,使得｛4｝为等差数列，则有2%=%+%，而%=1,

“2=2-1，%=1+九，所以2（X-1）=2+X=>X=4,此时｛4｝为首项是1,公差为4的

等差数列

18.（本小题满分12分）从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值，

由测量结果得如下频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数星和样本方差/（同一组数据用该区间的中点

值作代表）;

(II)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z听从正态分布N(〃»2),其

中〃近似为样本平均数川近似为样本方差$2.

⑴利用该正态分布，求利(187.8<Z<212.2)；

(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区

间(187.8,212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX.

附：7150^12.2.

若Z〜(J?),则P(〃—Z<〃+3)=0.6826,尸(〃—25<Z<〃+2S)=0.9544.

解析：

(I)x=0.02X170+0.09xl80+0.22xl90+0.33x200+0.24x210+0.08x220+0.02x230=200

52=0.02x(170-200)2+0.09x(180-200)"+0.22x(190-200)2

+0.33x(200-200)2+0.24x(210-200)2+0.08x(220-200)2+0.02x(230-200)2=150

(H)(i)由(I)知,1=$2=150,所以5=患而a12.2,

P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.6826

(ii)100件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数X听从二项分布

5(100,0.6826)，所以EX=100x0.6826=68.26

19.(本小题满分12分)如图三棱柱—中，侧面55cle为菱形，AB1B.C.

BBi

AO

ABBQ=B:.BXC±面ABC--AOu面ABG,工gC,又O为用C中点,所以三

角形ACB]为等腰三角形，所以AC=AB,

(II)AC1AB,,NCB4=60。，AB=BC,令AC=1..4。=夜=BC..AB=也，

又由已知可求j

AO=^,BO=^-,:.AO2+BO2=AB2AO1BO,77|/

y/W____I

AOA.B{C,B,C50=0,AO,面一一一一一^

如图所示建立空间直角坐标系。-孙z----------------

5

A]O,O与)3(1,0,0)，40半0,c0,-走o]

3'J'

ABX=fo,—IABJ=AB=fl,O,--

13Q11

\J\)13J

设”=(九,y,z)为平面AAA的一个法向量，则

r心尸3z”

即33，所以可取九=0,依⑹

卜44=。

%_73Z=0

13

33G=°，同理可取机=卜,_石，百)

设机=(a,b,c)为平面451G的一个法向量，则

=0

则COS<〃，加>=1-n-T=—，所以二面角A—4片-G的余弦值为,

nm7

22

20.(本小题满分12分)已知点A(0,-2),椭圆E：+—1(〃>b>0)的离心率为

ab

厂是椭圆E的右焦点，直线Ab的斜率为名8,

。为坐标原点.

3

(I)求E的方程；

(II)设过点A的直线/与E相交于P,Q两点，当△。尸。的面积最大时，求/的方程.

c_A/3

2

2；解得.a=2Y

解析:(1)由已知得〈a厂.•.椭圆石的方程:土+/=1

2_2A/3c=y/34

I亍

(II)当直线/垂直于x轴时，AOPQ不存在

令直线/的方程为y=2与5+>2=1联立消去y有：(4/+1)%2-16而+12=0

A=(—16左7-4x(4左2+1)x12=64k2-48>0.\^2>|

所以NOPQ的面积S(左)=g|PQ|d=4噂：『,令"42—3=《/>0)

/=±立时取到

<1当且仅当f=2,即左

S3交二十2J

此时直线1的方程为y=^x—2或y=—fx—2

b*i

21.体小题满分12分)设函数/(x)=a/Inx+——，曲线y=/(x)在点(1,了⑴)处

X

的切线为y=e(%-1)+2.(I)求a,Z?；(II)证明：/(%)>1.

解析：(I)/'⑴=•回+口+淀(：-l)=e-dlnx+J]+"xJ)

因为曲线y=/(x)在点(1，/(1))处的切线为y=e(x—1)+2,所以

7(1)=2a=l

，代入有<

/'(l)=eb=2

(II)证明：由(I)知/(%)=e"ln%+至一，欲证/(无)>1,只需证

x

2e212x

ex]nx-1--------->1,即证ln%H------>一,即证xln%+—>一

xexexeex

4g(x)=xlnx+-,/z(x)=^,g'(x)=l+lnx,/z,(x)=^—

eee

11-y

g'(x)=l+ln%=0,角星得x=一,/z'(x)=—^=0,解得乂=1

ee

!

0<%<1,/1*(%)>0,x>1,/z(%)<0,g(^)max=—

所以xlnx+—2>三成立x，所以/'(x)>l

ee

请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。留意：只能做所选定的题目。假如

多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框

涂黑。

22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD是。。的内接四边形，AB的延长线与DC的

延长线交于点E,且CB=CE

.(I)证明：ZD=ZE；

(II)设AD不是。O的直径，AD的中点为M,且MB=MC,证明：

△ADE为等边三角形.

解析：.(I)证明：四边形ABCD是。。的内接四边形，

ZD=ZCBE,-,CB=CE:./E=ZCBE:.NE=ND

(II)证明：取BC中点N,连接MN,由MB=MC得