2027版53B版新高考版数学总复习分层训练3.1　导数的概念及运算

专题三导数及其应用3.1导数的概念及运算目录考点1曲线在某点或过某点的切线考点2曲线的公切线五年高考·考点练三年模拟·限时练基础强化练综合提升练

考点1曲线在某点或过某点的切线五年高考·考点练1.★(2026全国Ⅰ卷,4,5分)曲线y=5x+8lnx在点(1,5)处的切线方程为

()A.y=3x+2

B.y=5xC.y=8x-3

D.y=13x-8

D

解析∵y=5x+8lnx,∴y'=5+

,∴切线斜率k=y'|x=1=13,∴切线方程为y-5=13(x-1),即y=13x-8,故选D.2.★(2023全国甲文,8,5分)曲线y=

在点

处的切线方程为

()A.y=

x

B.y=

xC.y=

x+

D.y=

x+

C

解析由y=

,可得y'=

,则y'|x=1=

,∴曲线在点

处的切线方程为y-

=

(x-1),即y=

x+

,故选C.3.★★(2024全国甲理,6,5分)设函数f(x)=

,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.

B.

C.

D.

A

解析

f'(x)=

,∴曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率k=f'(0)=3,∴切线的方程为y=3x+1,令x=0,得y=1;令y=0,得x=-

,∴曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S=

×1×

=

.4.★★★(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则

()A.eb<a

B.ea<b

C.0<a<eb

D.0<b<ea

D

解析设切点坐标为(x0,y0),则y0=

.对y=ex求导得y'=ex,则切线斜率k=

,切线方程为y-

=

(x-x0),因为切线过点(a,b),所以b-

=

(a-x0),即

(a-x0+1)-b=0(*).由题意知方程(*)有两个解.(不能直接求方程(*)的解,考虑直线y=b与曲线g(x)=ex(a-x+1)

有两个交点,利用导数研究g(x)的单调性)设g(x)=ex(a-x+1),则g'(x)=ex(a-x),当x<a时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x>a时,g'(x)<0,g(x)单调

递减,所以函数g(x)在x=a处取得极大值,即最大值,为g(a)=ea,且当x→+∞时,g(x)→-∞,当

x→-∞时,g(x)→0.故0<b<ea.故选D.小题速解当x→-∞时,曲线y=ex的切线的斜率k>0且k趋向于0,当x→+∞时,曲线y=ex的

切线的斜率k>0且k趋向于+∞,结合图象可知,两切线的交点应该在x轴上方,且在曲线y=

ex的下方,∴0<b<ea,故选D.

5.★(2021全国甲理,13,5分)曲线y=

在点(-1,-3)处的切线方程为________________.

y=5x+2

解析

y=

=2-

,所以y'=

,所以k=y'|x=-1=5,从而切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2.6.★★(2025全国一卷,12,5分)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=_________.

4

解析由y=ex+x+a,得y'=ex+1.设直线y=2x+5与曲线y=ex+x+a相切时的切点为(x0,y0),则

解得

7.★★(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为___________,_____________________.

y=- x(不分先后)

y= x

解析由题意可知,函数的定义域为{x|x≠0}.易证函数y=ln|x|为偶函数,当x>0时,y=lnx,设切点坐标为(x0,lnx0),∵y'=

,∴切线斜率k=y'

=

,故切线方程为y-lnx0=

(x-x0),又知切线过原点(0,0),∴-lnx0=-1,∴x0=e,故切线方程为y-1=

(x-e),即y=

x.由偶函数图象的对称性可知另一条切线方程为y=-

x,故过坐标原点的两条切线方程为y=

x和y=-

x.8.★★★(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值

范围是________________________.

(-∞,-4)∪(0,+∞)

解析设f(x)=y=(x+a)ex,则f'(x)=(x+a+1)ex,设切点为(x0,(x0+a)

),因此切线方程为y-(x0+a)

=(x0+a+1)·

(x-x0),∵切线过原点(0,0),∴-(x0+a)

=(x0+a+1)

·(-x0),整理得

+ax0-a=0,由切线有两条,得关于x0的方程

+ax0-a=0有两不等实根,故Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.经检验符合题意.思路导引设切点坐标为(x0,(x0+a)

),利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而得到切线方程,再把原点代入可得

+ax0-a=0,因为有两条切线,所以关于x0的方程有两个不等实根,由Δ>0即可求出a的取值范围.9.★★★★(2021新高考Ⅱ,16,5分)已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则

的取值范围是_______________.

(0,1)

解析当x>0时,f(x)=ex-1,f'(x)=ex,则kBN=

.当x<0时,f(x)=1-ex,f'(x)=-ex,kAM=-

,由切线垂直可知kAM·kBN=-

·

=-1,得x1+x2=0,设kBN=k,则kAM=-

,则

=

=

=

,∵x2>0,∴

∈(0,1).故

的取值范围是(0,1).考点2曲线的公切线1.★★(2024新课标Ⅰ,13,5分)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的

切线,则a=______________.

ln2

解析因为y=ex+x,所以y'=ex+1,所以曲线y=ex+x在点(0,1)处切线的斜率k=2,又切线过点(0,1),所以曲线y=ex+x在点(0,1)处切线的方程为y=2x+1,对y=ln(x+1)+a求导得y'=

,由直线y=2x+1也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,得

=2,解得x=-

,将x=-

代入y=ln(x+1)+a得y=a-ln2,所以曲线y=ln(x+1)+a与直线y=2x+1相切的切点坐标为

,代入y=2x+1,解得a=ln2.2.★★★(2022全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处

的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.解析

(1)由题意知,f(-1)=-1-(-1)=0,f'(x)=3x2-1,则f'(-1)=3-1=2,则曲线y=f(x)在点(-1,0)处的切线方程为y=2(x+1),即y=2x+2,设直线y=2x+2与曲线y=g(x)切于点(x2,g(x2)),易得g'(x)=2x,则g'(x2)=2x2=2,解得x2=1,则g(1)=1+a=2+2,解得a=3.(2)f'(x)=3x2-1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(

-x1)=(3

-1)·(x-x1),整理得y=(3

-1)x-2

,设该直线与曲线y=g(x)切于点(x2,g(x2)),易得g'(x)=2x,则g'(x2)=2x2,则切线方程为y-(

+a)=2x2(x-x2),整理得y=2x2x-

+a,则

整理得a=

-2

=

-2

=

-2

-

+

,令h(x)=

x4-2x3-

x2+

,则h'(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+1)(x-1),令h'(x)>0,解得-

<x<0或x>1,令h'(x)<0,解得x<-

或0<x<1,则x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如表:x

-∞,-

-

-

,0

0(0,1)1(1,+∞)h'(x)-0+0-0+h(x)↘

↗

↘-1↗则h(x)的值域为[-1,+∞),故a的取值范围为[-1,+∞).三年模拟·限时练基础强化练

限时30分钟1.(2026江苏镇江一模)设

=-1,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为

()A.-1

B.-4

C.1

D.4

A

解析因为

=-1,所以f'(2)=-1,所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为-1.故选A.2.(2026湖南师大附中开学考)放射性元素的特征是不断发生同位素衰变,而衰变的结果

是放射性同位素母体的数目不断减少,子体的数目不断增加.假设在某放射性同位素的

衰变过程中,同位素含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系N(t)=N0

(e为自然对数的底数),其中N0为t=0时该同位素的含量,已知当t=48时,该放射性同位素含量的

瞬时变化率为-1,则N(96)=

()A.12e2贝克

B.12e-2贝克

C.24e-2贝克

D.24e2贝克

C

解析求导得N'(t)=-

N0

,因为N'(48)=-

N0

=-

N0e-2=-1,所以N0=24e2,所以N(t)=24

,所以N(96)=24

=24e-2,故选C.3.(2026重庆八中开学考)若直线y=kx+1(k∈R)是曲线y=lnx+2与曲线y=ex+b(b∈R)的公

切线,则b=

()A.0

B.1

C.e

D.

A

解析令f(x)=y=lnx+2,g(x)=y=ex+b,对f(x)求导得f'(x)=

.设直线y=kx+1与曲线f(x)相切的切点为(a,lna+2),则切线斜率为

,则切线方程为y-(lna+2)=

(x-a),即y=

x+lna+1,由题意得y=kx+1=

x+lna+1,即

解得

即曲线f(x)与g(x)的公切线为y=x+1.对g(x)=ex+b求导得g'(x)=ex,设直线y=x+1与曲线g(x)相切的切点为(c,ec+b),则切线斜率为ec,

则切线方程为y-(ec+b)=ec(x-c),即y=ecx+b+ec(1-c),由题意得

解得

故选A.4.(2026黑龙江省实验中学开学考)曲线y=x2+

在x=2处的切线方程为________________.

7x-2y-4=0

解析对y=x2+

求导得y'=2x-

,则k=y'|x=2=

,又切点为(2,5),所以由点斜式得切线方程为y-5=

(x-2),整理得7x-2y-4=0.5.(2026湖南新高考教学联盟联考二)已知f(x)=

-2lnx,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为___________________.

3x+2y-5=0

解析由f(x)=

-2lnx,得f'(x)=

-

,所以f'(1)=

-2=-

,又f(1)=1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=-

(x-1),即3x+2y-5=0.6.(2026四川成都七中开学考)函数f(x)=lnx+ea的图象在点(1,f(1))处的切线与y=ax平行,

则a=___________.

1

解析对f(x)=lnx+ea求导得f'(x)=

,则f'(1)=1,由函数f(x)=lnx+ea的图象在点(1,f(1))处的切线与y=ax平行,得a=1,则f(1)=e,切点(1,e)不在直线y=x上,符合题意,所以a=1.7.(2026山东东营一模)曲线y=x2-lnx上的点到直线y=x-2距离的最小值为___________.解析

y=x2-lnx的定义域为(0,+∞),求导得y'=2x-

,令y'=1,得2x-

=1,即2x2-x-1=0,解得x=1或x=-

(舍去),当x=1时,y=1,此时切点为(1,1),所以曲线y=x2-lnx上的点到直线y=x-2距离的最小值,即为切点(1,1)到直线y=x-2的距离,即为

=

.8.(2026浙江Z20名校联盟联考)若曲线y=x3+(x+1)2在点(0,1)处的切线也是曲线y=lnx+a

的切线,则a=________________.

2+ln2

解析由题意可得y'=3x2+2(x+1),则y'|x=0=3×02+2×(0+1)=2,所以曲线y=x3+(x+1)2在点(0,1)

处的切线为y-1=2(x-0),即y=2x+1.设直线y=2x+1与曲线y=lnx+a相切的切点为(x0,y0),对y

=lnx+a求导可得y'=

,所以

=2,即x0=

,又因为(x0,y0)在直线y=2x+1上,所以y0=2x0+1=2,所以

在曲线y=lnx+a上,即2=ln

+a,解得a=2-ln

=2+ln2.9.(2026河南许昌一模)已知函数f(x)=a(lnx+b)+cx(a>0,b,c∈R)的图象在x=1处的切线方

程为y=x.(1)求a+b+c的值;(2)分析函数f(x)的单调性.解析

(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=

+c,由题意得

解得b=1,所以a+b+c=2.(2)由(1)得f'(x)=

+c=

+1-a,①当1-a≥0,即0<a≤1时,f'(x)>0在区间(0,+∞)上恒成立,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调

递增;②当a>1时,x∈

时,f'(x)>0,函数f(x)在区间

上单调递增;x∈

时,

f'(x)<0,函数f(x)在区间

上单调递减.1.(2026重庆调研六)过点(m,1)有两条直线与f(x)=lnx的图象相切,则m的取值范围是

()A.(-∞,e)

B.(0,+∞)

C.(0,e2)

D.(0,e)

D

综合提升练

限时40分钟解析

f'(x)=

.设切点为(x0,lnx0),x0>0,则f'(x0)=

,切线方程为y-lnx0=

(x-x0),即y=

x+ln

x0-1,由切线过点(m,1),得1=

+lnx0-1,整理得m=x0(2-lnx0),由题意得方程m=x0(2-lnx0)有两个不等正根,令h(x)=x(2-lnx),x>0,问题等价于h(x)的图象与直线y=m有两个交点.对h(x)求导得h'(x)=1-lnx,令h'(x)=0,得x=e,当0<x<e时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x>e时,h'(x)<0,

h(x)单调递减,故h(x)max=h(e)=e(2-lne)=e,当x→0时,h(x)→0,当x→+∞时,h(x)→-∞,作出h(x)的大致图象,如图,

由图可知,0<m<e.故选D.2.(2026湖北天门中学等校联考)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,则“f(x)的

图象关于点(1,0)中心对称”是“f'(x)的图象关于直线x=1轴对称”的

()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

A

解析由函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,得f(2-x)+f(x)=0,求导得-f'(2-x)+f'(x)=0,即f'(2-x)=f'(x),因此函数f'(x)的图象关于直线x=1轴对称.令函数f(x)=(x-1)3+1,则f'(x)=3(x-1)2,

函数f'(x)的图象关于直线x=1轴对称,而函数f(x)的图象是由函数y=x3的图象向右平移1

个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的,又函数y=x3的图象关于点(0,0)中心对称,

因此函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,所以“f(x)的图象关于点(1,0)中心对称”是

“f'(x)的图象关于直线x=1轴对称”的充分不必要条件.故选A.3.(2026浙江嘉兴二模)已知直线y=ax+b与函数y=lnx+

的图象相切,若a∈

,则实数b的最小值为

()A.-

B.ln2+

-1

C.

D.2ln2

D

解析由y=lnx+

,得y'=

+

,设切点为(x0,lnx0+

),则a=

+

,故切线方程为y=

(x-x0)+lnx0+

,所以b=lnx0+

-1,因为0<a≤

,所以0<

+

≤

,设

=t,则0<t2+

≤

,解得0<t≤

,解得x0≥4,显然,b=lnx0+

-1在[4,+∞)上单调递增,所以bmin=2ln2.故选D.4.(2026重庆育才中学月考)一条直线分别与曲线y=

(x>0)和圆x2+y2=

相切于A,B两点,则|AB|=

()A.

B.

C.

D.

B

解析由y=

得y'=-

,设直线与曲线y=

(x>0)相切的切点为A

x0,

(x0>0),所以切线方程为y-

=-

(x-x0),即2x+y

-4x0=0,由题意可知直线2x+y

-4x0=0是圆x2+y2=

的切线,所以

=

,解得

=1或

=4,因为x0>0,所以x0=1或x0=2,当x0=1时,切点A的坐标为(1,2),切线方程为2x+y-4=0,由

得

则B

,此时|AB|=

=

,当x0=2时,切点A的坐标为(2,1),切线方程为2x+4y-8=0,即x+2y-4=0,由

得

则B

,此时|AB|=

=

.综上,|AB|=

.故选B.5.(2026江苏扬州高邮联考)若直线l与曲线f(x)=ex-2相切于点A(x1,y1),与曲线g(x)=lnx相

切于点B(x2,y2),则x1x2等于

()A.0

B.

C.0或e

D.0或

D

解析由f(x)=ex-2,得f'(x)=ex,则f'(x1)=

,又y1=

-2,所以曲线f(x)=ex-2在A(x1,y1)处的切线方程为y-(

-2)=

(x-x1),即y=

x-x1

+

-2.由g(x)=lnx,得g'(x)=

,则g'(x2)=

,又y2=lnx2,所以曲线g(x)=lnx在B(x2,y2)处的切线方程为y-lnx2=

(x-x2),即y=

x-1+lnx2,则

即-

+

-2=-1-x1,则

=1-x1,即(1-x1)·

=0,解得x1=1或x2=1.当x1=1时,由

=

得x2=

;当x2=1时,由

=

得x1=0.故x1=1,x2=

或x1=0,x2=1,则x1x2=0或

.故选D.6.(2026辽宁大连一模)已知a,b,c∈R,bea-a+1=0(其中e是自然对数的底数),则(a-c)2+(b-

2c)2的最小值为

()A.

B.

C.

D.

A

解析由bea-a+1=0得b=

,令f(x)=

,又(c,2c)在直线y=2x上,故(a-c)2+(b-2c)2的最小值可以看成f(x)=

图象上的点到直线y=2x的距离最小值的平方.f'(x)=

=

,所以f(x)=

图象上的点到直线y=2x的距离最小是斜率为2的直线与曲线f(x)相切的切点,令f'(x)=

=2,得2ex=2-x,令t(x)=2ex+x-2,易知t(x)单调递增且t(0)=2×e0+0-2=0,所以x=0,即切点横坐标为0,切点为(0,-1),所以(a-c)2+(b-2c)2的最小值为

=

.7.(多选)(2026湖南常德二模)已知a,b,c成等差数列,若关于x,y的方程组

恰有2组解,则

()A.ab<0

B.a>0

C.a+b>0

D.

+1>0

AD

解析由题意知b≠0.因为a,b,c成等差数列,则2b=a+c,代入ax+by+c=0得2ax+(a+c)y+2c

=0,整理得a(2x+y)+(y+2)c=0,令

解得

所以直线ax+by+c=0过定点(1,-2).由ln(x-1)-y-1=0得y=ln(x-1)-1.因为方程组

恰有2组解,则曲线y=ln(x-1)-1与直线ax+by+c=0恰有2个交点.设过点(1,-2)的直线与曲线y=ln(x-1)-1切于点(x0,ln(x0-1)-1),又y'=

,则

=

,得到ln(x0-1)=0,解得x0=2,所以过点(1,-2)且与曲线y=ln(x-1)-1相切的直线方程为y-(-2)=x-1,

即y=x-3,又ax+by+c=0的斜率为k=-

,由图可知,要使曲线y=ln(x-1)-1与直线ax+by+c=0恰有2个交点,则0<-

<1,即-1<

<0,所以ab<0,0<

+1<1,故A和D正确,取a=-1,b=2,显然满足-1<

<0,但a<0,所以B错误,取a=1,b=-2,显然满足-1<

<0,但a+b=-1<0,所以C错误.故选AD.

8.(2026黑龙江哈尔滨一中开学考)已知函数f(x)=lnx,g(x)=ex+1,直线l与曲线f(x)和g(x)均

相切,切点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),则(x1-1)(x2+2)=_________.

-3

解析由题意得f'(x)=

,g'(x)=ex+1,曲线f(x)=lnx在点P(x1,y1)处的切线方程为y-lnx1=

(x-x1),即y=

x+lnx1-1,曲线g(x)=ex+1在点Q(x2,y2)处的切线方程为y-

=

(x-x2),即y=

x+

(1-x2),由直线l与曲线f(x)=lnx和g(x)=ex+1分别相切于点P(x1,y1)和点Q(x2,y2),得

则lnx1-1=

(1-x2),两边同乘x1得x1lnx1-x1=1-x2①,由

=

得x2+1=ln

,即x2=ln

-1=-lnx1-1,代入①得x1lnx1-x1=2+lnx1,即lnx1(x1-1)=x1+2.又由x2=-lnx1-1得x2+2=1-lnx1,则(x1-1)(x2+2)=(x1-1)(1-lnx1)=(x1-1)-lnx1(x1-1)=(x1-1)-(x1+2)=-3.9.(2026河南周口二模)已知a,b为正实数,且直线y=x-a与曲线y=ln(x+b)相切,则ab的最大

值为___________.解析由直线y=x-a与曲线y=ln(x+b)相切,设切点为(x0,y0),由y'=

,且切线的斜率为1,得

=1,即x0+b=1,则x0=1-b,则y0=ln(x0+b)=ln(1-b+b)=ln1=0,所以切点为(1-b,0),代入y=x-a得0=1-b-a,则a+b=