2025-2026年天津市北师大版高中数学概率统计单元检测卷

2025-2026年天津市北师大版高中数学概率统计单元检测卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在某校随机抽取10名学生，调查他们是否喜欢数学，这是一个随机现象。根据概率统计的基本概念，以下说法正确的是（）A.由于样本量较小（10人），调查结果不具有代表性B.随机现象的结果是确定的，因此可以准确预测所有学生的喜好C.随机现象的结果是不确定的，但可以通过概率模型进行分析D.随机现象的发生与数学学科本身无关，属于独立事件解析：随机现象的核心特征是其结果的不确定性，但可以通过概率模型进行规律性分析。选项A错误，样本量虽小但只要抽样方法科学即可保证代表性；选项B错误，随机现象本质上是不可完全预测的；选项D错误，随机现象与事件本身无必然独立性。概率统计研究的就是随机现象的规律性，故C正确。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现进行3次射击，则恰好命中2次的概率为（）A.0.128B.0.384C.0.512D.0.8解析：该问题属于二项分布模型，命中2次的概率为C(3,2)×0.8²×(1-0.8)^(3-2)=3×0.64×0.2=0.384，故B正确。3.已知一组样本数据：3,5,7,x,9，其平均数为6，则这组数据的中位数是（）A.5B.6C.7D.8解析：由平均数公式(3+5+7+x+9)/5=6，解得x=6。排序后数据为3,5,6,7,9，中位数为第3个数据6，故B正确。4.在直方图中，各小长方形的面积之和等于1，这反映了（）A.频数分布的总和B.频率分布的总和C.数据分布的离散程度D.数据分布的集中趋势解析：直方图通过面积表示频率，所有频率之和必须为1，这是概率分布的基本性质，故B正确。5.已知事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.3，且P(AB)=0.1，则事件A与事件B的独立性关系是（）A.互斥事件B.独立事件C.互斥且独立D.既不互斥也不独立解析：若A、B独立，则P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.3=0.18≠0.1，故不独立；又因P(AB)=0.1≠0，故不互斥，故D正确。6.从一副52张的标准扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是1/4，若抽取后不放回再抽取一张，则两次都抽到红桃的概率是（）A.1/4B.1/17C.1/2D.1/16解析：第一次抽到红桃概率为1/4，第二次抽到红桃概率为(1/4)×(13/51)=1/16，故D正确。7.已知一组样本数据的方差s²=4，则该数据的极差可能是（）A.2B.4C.8D.16解析：方差反映数据的波动程度，极差是最大值与最小值之差。若极差为8，则数据范围为[a,a+8]，此时方差至少为[(a+4)²-a²]/2=12>4，故C不可能；同理A、B均不可能，D正确。8.在频率分布直方图中，若某小组的频率为0.25，组距为5，则该小组的频数为（）A.0.25B.1.25C.25D.无法确定解析：频数=频率×总体量，题目未给出总体量，故无法确定具体频数，但可以确定频数与总体量的比值，故D正确。9.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，若P(X>μ)=0.5，则μ的值是（）A.0B.1C.X的任意实数值D.无法确定解析：正态分布曲线关于均值μ对称，因此P(X>μ)=0.5，故μ即为分布的均值，C正确。10.对一组数据进行茎叶图展示，若茎为3，叶为5、7、9，则这组数据的中位数是（）A.35B.37C.38D.37.5解析：数据为35,37,39，中位数为37，故B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，且P(AB)=0.2，则P(AB̅)=________。参考答案：0.4解析：P(AB̅)=P(A)-P(AB)=0.6-0.2=0.4。2.已知一组样本数据：2,4,6,8,x，其众数为6，则这组数据的方差s²=________。参考答案：8解析：众数为6，则x=6，数据为2,4,6,6,8，平均数μ=4.8，方差s²=[(2-4.8)²+(4-4.8)²+(6-4.8)²+(6-4.8)²+(8-4.8)²]/5=8。3.在频率分布直方图中，若某小组的频率为0.1，组距为10，样本容量为200，则该小组的频数为________。参考答案：20解析：频数=频率×样本容量=0.1×200=20。4.已知随机变量X服从二项分布B(5,0.6)，则P(X=3)的值是________。参考答案：0.0576解析：P(X=3)=C(5,3)×0.6³×0.4²=10×0.216×0.16=0.3456。5.若一组数据的平均数为10，标准差为2，则该数据平方后的平均数是________。参考答案：104解析：设数据为x₁,x₂,...,xn，则x₁²+x₂²+...+xn²/n=10²+4(n-1)=100+4n-4=104。6.在频率分布折线图中，若曲线呈对称形状，则该数据分布的偏度系数Sk=________。参考答案：0解析：对称分布的偏度系数为0。7.已知事件A的概率为0.7，事件B的概率为0.5，且P(AB)=0.3，则事件A与事件B的关系是________。参考答案：相依事件解析：若A、B独立，则P(AB)=P(A)P(B)=0.35≠0.3，故相依。8.对一组数据进行箱线图展示，若最小值为2，下四分位数为4，中位数为6，上四分位数为8，则该数据的四分位距IQR=________。参考答案：4解析：IQR=Q3-Q1=8-4=4。9.已知随机变量X服从正态分布N(5,2²)，则P(4<X<6)的值约为________。参考答案：0.6826解析：P(4<X<6)=P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826（根据3σ原则）。10.对一组数据进行茎叶图展示，若茎为7，叶为2、5、8，则这组数据的极差是________。参考答案：6解析：极差=最大值-最小值=78-72=6。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若事件A与事件B互斥，则P(AB)=0。正确解析：互斥事件指A、B不能同时发生，故P(AB)=0。2.频率分布直方图中的小长方形的高表示频率。错误解析：小长方形的面积表示频率，高表示频率/组距。3.已知一组样本数据的中位数为5，则该数据一定有5个数据点。错误解析：中位数是排序后中间位置的值，数据点数量不限。4.若随机变量X服从二项分布B(n,p)，则其期望值E(X)=n×p。正确解析：根据二项分布性质，E(X)=np。5.箱线图可以反映数据的偏态性。正确解析：箱线图通过中位数和四分位数位置可以判断偏态。6.若事件A与事件B独立，则P(A|B)=P(A)。正确解析：独立事件的条件概率等于原概率。7.正态分布曲线关于均值对称，因此其众数等于中位数。正确解析：正态分布的三个统计量相等。8.频率分布折线图的终点一定与横轴相交。错误解析：若数据无限，折线可能不闭合。9.已知一组样本数据的方差为0，则该数据全部相等。正确解析：方差为0意味着所有数据值相同。10.茎叶图可以保留原始数据的所有信息。正确解析：茎叶图是原始数据的图形化表示。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述频率分布直方图与频率分布折线图的区别。答：（1）形状：直方图由小长方形组成，折线图由点连线组成；（2）表示：直方图面积表示频率，折线图表示频率变化趋势；（3）适用：直方图适用于较大样本，折线图适用于连续数据趋势分析。2.解释什么是互斥事件，并举例说明。答：互斥事件指不能同时发生的事件。例如：掷骰子时，事件“出现1点”与事件“出现2点”互斥，因为一次掷骰子不可能同时出现1点和2点。3.已知一组样本数据的中位数为5，众数为6，标准差为2，请写出这组数据可能的三个数值。答：可能数据为：3,5,7；或4,5,6；或2,5,8（满足中位数为5，众数为6，且波动在标准差范围内）。4.解释二项分布B(n,p)中参数n和p的含义。答：n表示独立重复试验次数，p表示每次试验成功的概率。例如：抛掷硬币10次（n=10，p=0.5）的正面朝上次数分布。5.简述正态分布曲线的主要特征。答：（1）对称性：关于均值μ对称；（2）单峰性：只有一个峰值；（3）钟形曲线：数据集中在均值附近；（4）3σ原则：约68.27%数据在(μ-σ,μ+σ)内。6.解释什么是样本统计量，并举例说明。答：样本统计量是描述样本特征的量。例如：样本平均数、样本方差、样本中位数。例如：从全班50人中随机抽取10人，计算这10人的平均身高。7.箱线图中有哪些关键位置值？答：最小值、下四分位数(Q1)、中位数(Q2)、上四分位数(Q3)、最大值。8.解释频率与频数的关系。答：频率=频数/样本容量。例如：样本容量为100，某事件出现20次，则频率为20/100=0.2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某校随机抽取100名学生调查视力情况，结果如下表：|视力范围|4.9-5.0|5.0-5.1|5.1-5.2|5.2-5.3|5.3-5.4|5.4-5.5||----------|---------|---------|---------|---------|---------|---------||频数|10|20|30|25|10|5|（1）计算5.1-5.3视力范围的概率；（2）若该校共有2000名学生，估计视力在5.0以上的人数。解：（1）5.1-5.3范围的频数为30+25=55，概率为55/100=0.55；（2）5.0以上范围的频数为20+30+25+10+5=80，概率为80/100=0.8，估计人数为2000×0.8=1600人。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，连续射击3次，求恰好命中2次的概率。解：该问题属于二项分布B(3,0.7)，P(X=2)=C(3,2)×0.7²×0.3=3×0.49×0.3=0.441。3.已知一组样本数据：3,5,7,9,11，计算其平均数、方差和标准差。解：平均数μ=(3+5+7+9+11)/5=7；方差s²=[(3-7)²+(5-7)²+(7-7)²+(9-7)²+(11-7)²]/5=8；标准差s=√8≈2.83。4.某班级期中考试数学成绩服从正态分布N(80,16)，求成绩在70-90分之间的学生比例。解：P(70<X<90)=P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826（根据3σ原则）。5.从一副52张的标准扑克牌中随机抽取一张，记录花色后放回，连续抽取3次，求抽到至少2张红桃的概率。解：至少2张红桃包括2张和3张情况：P(X=2)=C(3,2)×(1/4)²×(3/4)=3×1/16×3/4=9/64；P(X=3)=(1/4)³=1/64；总概率=9/64+1/64=10/64=5/32。6.已知一组样本数据的中位数为6，众数为7，标准差为3，请写出这组数据可能的三个数值。解：可能数据为：3,6,9；或4,6,8；或2,6,10（满足中位数6，众数7，且波动在标准差范围内）。7.某工厂生产的产品合格率为90%，现随机抽取4件产品，求至少有3件合格的概率。解：至少3件合格包括3件和4件情况：P(X=3)=C(4,3)×0.9³×0.1=4×0.729×0.1=0.2916；P(X=4)=0.9⁴=0.6561；总概率=0.2916+0.6561=0.9477。六、案例分析（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某班级期中考试数学成绩如下：78,85,92,88,76,90,85,82,88,95,80,85,78,82,90（1）计算这组数据的平均数、中位数和众数；（2）计算这组数据的方差和标准差；（3）绘制这组数据的频率分布直方图（组距为5）。解：（1）平均数μ=1275/15=85；排序后中位数为第8个数据82；众数为85；（2）方差s²=[(78-85)²+(85-85)²+...+(90-85)²]/15=56.67；标准差s=√56.67≈7.53；（3）频数分布：70-74:1,75-79:2,80-84:3,85-89:5,90-94:3,95-99:1。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，连续射击5次，求恰好命中3次的概率。解：P(X=3)=C(5,3)×0.8³×0.2²=10×0.512×0.04=0.2048。3.已知一组样本数据：4,6,8,10,12，计算其平均数、方差和标准差。解：平均数μ=10；方差s²=[(4-10)²+(6-10)²+...+(12-10)²]/5=32；标准差s=√32≈5.66。4.某班级期中考试数学成绩服从正态分布N(80,25)，求成绩在60-100分之间的学生比例。解：P(60<X<100)=P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544（根据3σ原则）。5.从一副52张的标准扑克牌中随机抽取一张，记录花色后放回，连续抽取2次，求抽到至少1张红桃的概率。解：至少1张红桃包括1张和2张情况：P(X=1)=C(2,1)×(1/4)×(3/4)=3/8；P(X=2)=(1/4)²=1/16；总概率=3/8+1/16=7/16。6.已知一组样本数据的中位数为8，众数为9，标准差为2，请写出这组数据可能的三个数值。解：可能数据为：5,8,11；或6,8,10；或4,8,12（满足中位数8，众数9，且波动在标准差范围内）。7.某工厂生产的产品合格率为95%，现随机抽取3件产品，求至少有2件合格的概率。解：至少2件合格包括2件和3件情况：P(X=2)=C(3,2)×0.95²×0.05=3×0.9025×0.05=0.135375；P(X=3)=0.95³=0.857375；总概率=0.135375+0.857375=0.99275。8.某班级期中考试数学成绩如下：88,92,85,90,87,93,86,89,91,84,88,90,87,92,85（1）计算这组数据的平均数、中位数和众数；（2）计算这组数据的方差和标准差；（3）绘制这组数据的频率分布直方图（组距为3）。解：（1）平均数μ=1335/15=89；排序后中位数为第8个数据89；众数为88和90；（2）方差s²=[(88-89)²+(92-89)²+...+(85-89)²]/15=12.67；标准差s=√12.67≈3.56；（3）频数分布：81-83:1,84-86:3,87-89:5,90-92:4,93-95:2。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述频率分布直方图和频率分布折线图在数据分析中的应用区别。答：频率分布直方图适用于较大样本的离散数据展示，通过面积表示频率，便于观察数据集中趋势和离散程度；频率分布折线图适用于连续数据的趋势分析，通过连线反映频率变化，便于比较不同组别的频率差异。两者结合使用可以更全面地分析数据分布特征。2.解释什么是二项分布，并举例说明其应用场景。答：二项分布是n次独立重复试验中成功次数的概率分布，满足三个条件：每次试验结果互斥、每次试验成功概率相同、各次试验独立。例如：抛掷硬币10次正面朝上的次数分布，或质检抽样中次品数量的分布。3.论述正态分布曲线的主要特征及其在现实生活中的应用。答：正态分布曲线关于均值对称、单峰、钟形，约68.27%数据在(μ-σ,μ+σ)内。应用广泛：如测量误差、人体身高体重分布、产品尺寸偏差等。4.解释样本统计量与总体参数的区别，并举例说明何时需要使用样本统计量。答：总体参数是描述总体特征的量（如总体均值μ），样本统计量是描述样本特征的量（如样本均值x̄）。当总体数据无法全部获取时，需用样本统计量估计总体参数。例如：用抽样调查估计全国人口平均收入。5.论述箱线图在数据分析中的优势。答：箱线图可以直观展示数据的中位数、四分位数、极差、异常值，适用于多组数据比较，便于观察分布对称性、离散程度和异常情况，尤其适用于大数据集的初步分析。6.解释频率与频数的关系，并举例说明如何通过频数计算频率。答：频率=频数/样本容量。例如：样本容量为100，某事件出现20次，则频率为20/100=0.2。频率反映事件发生的相对可能性。7.论述互斥事件与独立事件的区别。答：互斥事件指不能同时发生（P(AB)=0），如掷骰子“出现1点”与“出现2点”；独立事件指发生与否相互不影响（P(A|B)=P(A)），如两次抛硬币正面朝上概率相同。8.解释什么是样本，什么是总体，并举例说明何时需要使用抽样调查。答：总体是研究对象的全体（如全国人口），样本是总体中抽取的部分。当总体过大或无法全部调查时需抽样，如民意调查、产品质量检测。9.论述概率统计在日常生活和科学研究中的作用。答：在日常生活中用于风险评估（如保险）、决策分析（如投资）；在科学研究中用于实验数据分析、模型建立（如医学研究中的临床试验）。10.解释什么是随机现象，并举例说明随机现象的特点。答：随机现象是指结果不确定但存在规律性的现象。特点：结果多种可能、每次试验结果随机、大量重复出现时呈现统计规律。例如：抛硬币、掷骰子。标准答案及解析一、单项选择题1.C2.B3.B4.B5.D6.D7.C8.D9.C10.B解析：2.随机现象具有不确定性但可分析规律性，C正确；3.二项分布P(X=3)=C(5,3)×0.8³×0.2²≈0.384，B正确；4.平均数(3+5+7+x+9)/5=6，解得x=6，排序后中位数为6，B正确；5.直方图面积和为1表示频率和为1，B正确；6.P(AB)=0.2≠P(A)P(B)=0.18，故不独立；P(AB)=0.2≠0，故不互斥，D正确；7.不放回抽样P(两次红桃)=(13/52)×(12/51)=1/17，D正确；8.极差至少为8时方差至少为12>4，C不可能，C正确；9.频数=频率×样本容量=0.25×200=50，题目未给样本容量无法确定具体频数，D正确；10.正态分布曲线关于均值对称，众数=中位数=均值，C正确；11.茎为3，叶为5、7、9，数据为35,37,39，中位数为37，B正确。二、填空题1.0.412.813.2014.0.345615.10416.017.相依事件18.419.0.682620.6解析：2.P(AB̅)=P(A)-P(AB)=0.6-0.2=0.4；3.数据为2,4,6,6,8，μ=4.8，s²=[(2-4.8)²+(4-4.8)²+(6-4.8)²+(6-4.8)²+(8-4.8)²]/5=8；4.频数=频率×样本容量=0.1×200=20；5.P(X=3)=C(5,3)×0.6³×0.4²=10×0.216×0.16=0.3456；6.x̄²=[(x₁²+x₂²+...+xn²)/n]-(μ²/n)=μ²+4(n-1)/n=10²+4(5-1)/5=104；7.对称分布Sk=0；8.P(AB)=0.3≠P(A)P(B)=0.35，故相依；9.IQR=Q3-Q1=8-4=4；10.正态分布P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826；11.数据为72,73,75,77,78,79,80,81,82,83,85,86,87,88,89,90,91,92,93,95,97,98,99,100，极差=100-72=6。三、判断题1.正确22.错误23.错误24.正确25.正确26.正确27.正确28.错误29.正确30.正确解析：2.互斥事件定义，正确；3.直方图面积=频率，高=频率/组距，错误；4.中位数是排序后中间值，数量不限，错误；5.E(X)=np，正确；6.箱线图通过四分位数反映偏态，正确；7.独立事件P(A|B)=P(A)，正确；8.正态分布对称性，正确；9.折线图终点与横轴是否相交取决于数据范围，错误；10.方差为0意味着所有数据相等，正确；11.茎叶图保留原始数据，正确。四、简答题1.答：直方图由小长方形组成，面积表示频率；折线图由点连线组成，表示频率变化趋势。直方图适用于较大样本，折线图适用于连续数据趋势分析。2.答：互斥事件指不能同时发生的事件。例如：掷骰子时，事件“出现1点”与事件“出现2点”互斥，因为一次掷骰子不可能同时出现1点和2点。3.答：可能数据为：3,5,7；或4,5,6；或2,5,8（满足中位数为5，众数为6，且波动在标准差范围内）。4.答：n表示独立重复试验次数，p表示每次试验成功的概率。例如：抛掷硬币10次（n=10，p=0.5）的正面朝上次数分布。5.答：正态分布曲线对称于均值μ、单峰、钟形，约68.27%数据在(μ-σ,μ+σ)内。6.答：样本统计量是描述样本特征的量。例如：样本平均数、样本方差、样本中位数。例如：从全班50人中随机抽取10人，计算这10人的平均身高。7.答：箱线图中有最小值、下四分位数(Q1)、中位数(Q2)、上四分位数(Q3)、最大值。8.答：频率=频数/样本容量。例如：样本容量为100，某事件出现20次，则频率为20/100=0.2。五、应用题1.解：（1）5.1-5.3范围的频数为30+25=55，概率为55/100=0.55；（2）5.0以上范围的频数为20+30+25+10+5=80，概率为80/100=0.8，估计人数为2000×0.8=1600人。2.解：P(X=2)=C(3,2)×0.7²×0.3=3×0.49×0.3=0.441。3.解：平均数μ=(3+5+7+9+11)/5=7；方差s²=[(3-7)²+(5-7)²+(7-7)²+(9-7)²+(11-7)²]/5=8；标准差s=√8≈2.83。4.解：P(70<X<90)=P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826（根据3σ原则）。5.解：至少2张红桃包括2张和3张情况：P(X=2)=C(3,2)×(1/4)²×(3/4)=3×1/16×3/4=9/64；P(X=3)=(1/4)³=1/64；总概率=9/64+1/64=10/64=5/32。6.解：可能数据为：3,6,9；或4,6,8；或2,6,10（满足中位数6，众数7，且波动在标准差范围内）。7.解：至少3件合格包括3件和4件情况：P(X=3)=C(4,3)×0.9³×0.1=4×0.729×0.1=0.2916；P(X=4)=0.9⁴=0.6561；总概率=0.2916+0.6561=0.9477。六、案例分析1.解：（1）平均数μ=1275/15=85；排序后中位数为第8个数据82；众数为85；（2）方差s²=[(78-85)²+(85-85)²+...+(90-85)²]/15=56.67；标准差s=√56.67≈7.53；（3）频数分布：70-74:1,75-79:2,80-84:3,85-89:5,90-94:3,95-99:1。2.解：P(X=3)=C(5,3)×0.8³×0.2²=10×0.512×0.04=0.2048。3.解：平均数μ=10；方差s²=[(4-10)²+(6-10)²+...+(12-10)²]/5=32；标准差s=√32≈5.66。4.解：P(60<X<100)=P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544（根据3σ原则）。5.解：至少1张红桃包括1张和2张情况：P(X=1)=C(2,1)×(1/4)×(3/4)=3/8；P(X=2)=(1/4)²=1/16；总概率=3/8+1/16=7/16。6.解：可能数据为：5,8,