2026-2027学年九年级数学上册第三章图形的相似单元测试题北师大版

2026-2027学年九年级数学上册第三章图形的相似单元测试题北师大版一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：162．（3分）如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB一定成立的情况是（）A．AD•BC＝AB•BD B．AB2＝AD•AC C．∠ABD＝∠CBD D．AB•BC＝AC•BD3．（3分）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，CD、BE相交于O，S△ODE＝a，则S△ABC等于（）A．8a B．10a C．12a D．6a4．（3分）根据ab＝cd≠0，下面不能组成比例的是（）A．a：c和d：b B．d：a和b：c C．b：d和a：c D．以上都不对5．（3分）已知线段AB＝16，点C在线段AB的延长线上，且线段AB：BC＝8：3，点E是AC的中点，点D是AB的中点，则DE的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.56．（3分）如图，把左边的平行四边形按比例放大后得到右边的平行四边形，放大后的平行四边形与原来平行四边形高的比是（）A．3：2 B．2：1 C．2：3 D．无法确定7．（3分）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm8．（3分）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（）A．8 B．9 C．10 D．159．（3分）如图，点O，F在直线AD上，点O，E在直线BC上，且AB∥EF∥CD，若AO＝4，OF＝2，FD＝4，CE＝3，则BE的值为（）A．3 B．4 C．4.5 D．610．（3分）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：，使△ABC∽△ADE．12．（3分）如果7x＝8y（x、y均不为0），那么x：y＝．13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是．14．（3分）定义：已知点C是线段AB上的一个点，若点C到线段两个端点的距离之比为1：3，则称点C为线段AB的“理想点”．如图，A、B分别是数轴上的两点，A点表示的数是﹣5，B点表示的数是15，则线段AB的“理想点”C表示的数是．15．（3分）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠a的度数是．16．（3分）数学的美无处不在，顶角为36°的等腰三角形被称为“黄金三角形”（即底边长与腰长的比值为0.618的三角形）．如△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，若AB＝100cm，则DE＝cm．17．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE＝2BE，CF＝2DF，连接BF，DF，相交于点G，过G作MN，PQ得到两个正方形MGQA和正方形PCNG，设正方形MGQA的面积为S1，正方形PCNG的面积为S2，则S1：S2＝．18．（3分）如图，已知△ABC，D，E分别是AB，AC边上的点．AD＝3cm，AB＝8cm，AC＝10cm．若△ADE∽△ABC，则AE的值为．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）小青读一本名著，如果每天读20页，12天可以读完．小青想8天读完，那么平均每天要读多少页？（用比例知识解答）20．（8分）在比例尺是1：5000000的地图上，量得甲、乙两地之间相距8cm，甲、乙两地之间的实际距离是多少千米？21．（8分）如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．若小矩形与原来矩形相似，求原来矩形的长边与短边的比．22．（10分）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．23．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E，（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；（2）若AB＝4，求BC的长．24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D是BC上的任意一点（不与点B，点C重合），DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于点E，F．（1）试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（2）若AB＝5，BC＝13，求△BDE与△DCF的周长之和．25．（12分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（0，2）、C（﹣2，4）．（1）如图，△A1B1C1三个顶点坐标分别为A1（2，0）、B1（0，﹣1）、C1（1，﹣2），△A1B1C1是△ABC通过位似变换得到的，请写出位似中心；△A1B1C1和△ABC位似比为；（2）作图：请在线段AB上找一点M使得AM：BM＝2：3．

参考答案一．选择题1．解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4，∴它们的相似比为1：2，∴它们的周长之比为1：2．故选：A．2．解：A、因为AD•BC＝AB•BD的夹角非∠A，所以不能判定两三角形相似，故本选项错误；B、因为符合两边及夹角法，故可判定两三角形相似，故本选项正确；C、因为无法确定三角形的对应角相等，故无法判定两三角形相似，故本选项错误；D、因为AB•BC＝AC•BD的夹角为∠C、∠B，不确定是否相等，无法判定两三角形相似，故本选项错误，故选：B．3．解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ODE∽△OCB，△ADE∽△ABC，∴，，∵S△ODE＝a，∴S△OBC＝4a，S△ODB＝S△OEC＝2a，∴S梯形DBCE＝S△ODE+S△OBC+S△ODB+S△OEC＝9a，∴，∴S△ADE＝3a，∴S△ABC＝12a．故选：C．4．解：A、∵a：c＝d：b，∴ab＝cd，与已知一致，不符合题意；B、∵d：a＝b：c，∴dc＝ab，即ab＝cd，与已知一致，不符合题意；C、∵b：d＝a：c，∴bc＝ad，与已知ab＝cd不一致，符合题意；故选：C．5．解：线段AB＝16，点C在线段AB的延长线上，且线段AB：BC＝8：3，∴，∴AC＝AB+BC＝16+6＝22，∵点E是AC的中点，∴，∵点D是AB的中点，∴，∴DE＝AE﹣AD＝11﹣8＝3．故选：A．6．解：由题知，图中的两个平行四边形相似，所以对应线段的比等于相似比．因为放大后的平行四边形与原来平行四边形的对应边之比为6：4＝3：2，所以对应边上的高之比是3：2．故选：A．7．解：根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：＝0.618，解得：y≈8cm．故选：C．8．解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3，AB＝6，∴＝，即＝，解得，A′B′＝9，故选：B．9．解：∵AB∥EF∥CD，∴＝，∵AO＝4，OF＝2，FD＝4，∴＝，∴BE＝4.5．故选：C．10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∴△DEF∽△BEC，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴，即，∴，∵AB∥CD，∴△DFC∽△AFG，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴CF＝4，∴，∴GF＝8，故选：C．二．填空题11．解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE又∵∠C＝∠E（或∠B＝∠ADE）∴△ABC∽△ADE．故答案为：∠C＝∠E或∠B＝∠ADE．12．解：∵7x＝8y，∴x：y＝8：7．故答案为：8：7．13．解：∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0），∴，∴点A的横纵坐标与点C的横纵坐标的比值也为．∵A（1，2），∴点C的横坐标为，纵坐标为．∴C．故答案为：．14．解：设C点表示的数是x，则CA＝x+5，BA＝15﹣x，∵点C到线段两个端点的距离之比为1：3，∴当CA：BA＝1：3时，3（x+5）＝15﹣x，解得：x＝0；当CA：BA＝3：1时，x+5＝3（15﹣x），解得：x＝10；∴C表示的数是0或10，故答案为：0或10．15．解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴∠B＝∠B′＝70°，∴∠C′＝360°﹣130°﹣60°﹣70°＝100°∴∠α＝∠C′＝100°，故答案为：100°．16．解：∵顶角为36°的等腰三角形被称为“黄金三角形”，即黄金三角形中，∴BC＝100×0.618＝61.8（cm），∴CD＝DE＝61.8×0.618≈38.192（cm）．故答案为：38.192．17．解：设AM＝a，PC＝b，则BP＝DN＝a，GN＝PC＝b，∴BC＝CD＝a+b，∵CE＝2BE，∴，∵MN∥BC，∴△DGN∽△DEC，∴，即，整理得：，∴．故答案为：9：4．18．解：由题可知，当△AED∽△ABC，∴，∴，∴，由题可知，当△ADE∽△ABC，∴，∴，∴，故答案为：和．三．解答题19．解：设平均每天要读x页，20：x＝8：12，8x＝20×12，8x＝240，x＝30，答：平均每天要读30页．20．解：设甲、乙两地之间的实际距离是x千米，根据比例尺的意义可得＝解得x＝400答：甲、乙两地之间的实际距离是400千米．21．解：由折叠知，，∵矩形AEFD∽矩形ADCB，∴，∴，∴，∴＝＝．∴原来矩形的长边与短边的比为．22．解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36，∵△AMN的面积是△ABD面积的，∴6t﹣t2＝，∴t2﹣6t+8＝0，解得t1＝4，t2＝2，答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的；（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，若△AMN∽△ABD，则有，即，解得t＝3，若△AMN∽△ADB，则有，即，解得t＝，答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．23．（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACB＝×72°＝36°，∴∠BCE＝∠A＝36°，∴AE＝BC，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBE，∴＝，∴BC2＝AB•BE，即AE2＝AB•BE，∴E为线段AB的黄金分割点；（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴BC＝CE，由（1）已证AE＝CE，∴AE＝CE＝BC，∴BC＝•AB＝×4＝2﹣2．24．解：（1）四边形AEDF是矩形．理由：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩形