江苏省七年级数学专项复习：数的认识（4种题型）原卷版+解析

题型一：数的整除

一、单选题

1.下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（）

A.2和20B.3和1.5C.34和17D.7和2

2.65,-65不能被下列数整除的是（）

A.3B.5C.6D.7

二、填空题

3.在一块长2.5分米，宽2分米的长方形铁板上，最多能取个直径为5厘米的圆形铁板.

4.韩信点兵：三个三个数，余数为一；五个五个数，余数为三；七个七个数，余数为五.那么韩信的士兵

最少有人.

5.从2、4、0、5、8这五个数字中选出3个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3和5整除,

那么这样的三位数有个.

6.六位自然数，1082□□能被12整除，末两位数有（）种情况.

7.一个四位数恰好等于它各位数字和的207倍，则这个四位数是.

8.一个五位数痂诬能被3整除，且运能被2整除，这样的五位数有个.

9.一个三位数，被17除余5,被18除余12,那么它可能是；一个四位数，被131除余112,

被132除余98,那么它可能是___________；

10.一列数1,1,2,3,5,8,13,21,从第三项开始每一项是前两项的和，第2021个数是一数（填

“奇”或“偶”）:第2021个数除以3的余数是___.

II.201x202x203xx300的结果除以10,所得到的商再除以10…重复这样的操作，在第次除

以10时,首次出现余数.

12.某汽车公司同时建成两条生产线，第一条生产线第一个月生产了1000辆汽车，以后每个月比前一个月

多生产100辆；第二条生产线第一个月的前半个月与后半个月各生产了500辆汽车，以后每半个月比前半

个月多生产50辆，那么，这两条生产线共生产20000辆汽车需个月.

三、解答题

13.一列快车全长250米，每秒行15米；一列慢车全长263米，每秒行12米.

(1)两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要几秒钟？

(2)两列火车同向而行，从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要几秒钟？

14.把自然数I,2,3,…，998,999分成3组，如果每一组数的平均数恰好相等，那么这3个平均数的

和是多少？

15.新老运动员把话谈，手拉手儿笑微微，老将说：“我比你大10岁，''新手说：“上次你比我大一倍.”运

动会四年开一次，两人年龄各几岁？

16.有一个不等于1的整数，它除967,1000,2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？

17.2005至少加上一个什么正整数能被2整除？至少减去一个什么正整数能被5整除？至少乘以一个什么

正整数能被2和5整除？

18.三个连续偶数的和是54,这三个偶数分别是多少？

19.甲、乙两人以每分60米的速度同时、同地、同向步行出发,走15分钟后甲返回原地取东西，而乙继

续前进.甲取东西用去5分钟的时间，然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙，甲骑车多少分钟才能

追上乙？

20.有一列数排成一行，其中第一个数是3,第二个数是10,从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的

和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？

21.有一个自然数，用它分别去除25、38、43,三个余数之和为18,这个自然数是几？

22.在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利

用整数的除法运算来研究一种数一“合8数”.定义：对于一个自然数，如果这个数除以7余数为1,且除

以5余数为3,则称这个数为“合S数”.

例如：43+7=61,43+5=83,所以43是“合8数”；22+7=31,但22+5=42,所以22不是“合8

数”.

⑴判断64和148是否为“合8数”？请说明理由;

(2)求大于300且小于400的所有“合8数”.

23.两个四位数必5和2758相乘,要使它们的乘积能被72整除,求A和B.

24.两人沿着铁路线边的小道，从两地出发，两人都以每秒1米的速度相对而行.一列火车开来，全列车

从甲身边开过用了10秒.3分后，乙遇到火车，全列火车从乙身边开过只用了9秒.火车离开乙多少时间

后两人相遇？

25.一只小船运木料，逆流而上，在途中掉下一块木头在水中：2分钟后，小船掉头追木头，（不算掉头

时间）再经过多少分钟，船可以追上木头？

26.孔月江上，码头A在B上游600千米处，甲、乙两船在人、4之间往返运送货物.若甲、乙两船的静水

速度分别为每小时20和30千米，水速为每小时10千米，则两船同时从A出发，经过多少小时后甲第二次

与乙迎面相遇？

27.试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，则得到的新数与原数之差能被11整除.

题型二：因数与倍数

一、单选题

1."b=5b都是非。自然数），。是力的（），〃是a的（）

①倍数②因数③积

A.①②B.②①C.③①D.①③

2.小猫咪咪第一天逮了1只老鼠，以后每天逮的老鼠都比前一天多1只，咪咪10天一共逮了一只老鼠（）

A.45B.50C.55D.60

3.下列说法正确的是（）

A.因为10+4=2.5,所以10是4的倍数B.所有正整数，不是素数就是合数

C.2既是偶数又是素数D.比3小的自然数只有1和2

4.下面四个数都是六位数，N为非0且比10小的自然数，S是0,一定能被3和5整除的数是（）

A.NNSNSNB.NSNSNSC.NSSNSSD.NSSNSN

二、填空题

5.两个质数的和是20,要使它们的积最大，这两个质数分别是（）和（）.

6.如果“，两个数互素，那么这两个数的最小公倍数是_______.

7.36和54的公因数有.

8.在1、2、9、17、27、49、57、87、97、187、247中，是素数，合数有

个.

9.抽奖箱中有1-10的数字卡，任意抽一张，摸到奇数的可能性比境到质数的可能性（）.（填“大”“小”“相

等”）

10.写出所有数字和为11,数字乘积为20的四位偶数：.

11.使得10"-1是63的倍数的最小正整数〃是（）.

12.若9位数20082008能够被3整除，则W里的数是.

13.把100分拆成三个质数（只能被I和它本身整除且大于1的自然数叫做质数）的和，共有

种方法.

14.幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分.但今天刚好又新人园一位小朋友，这样每个小朋友就

要少分2个苹果.原来有一个小朋友.

15.把12分解素因数，那么12=.

16.如果数A=2x2x5,B=2x3x3,那么A和A的最大公因数是.

17.一块矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要

种棵树.

18.已知〃个自然数之积是2007,这〃个自然数之和也是2007,那么〃的值最大是

三、解答题

19.猜电话号码4BCD比'

A：10以内最大的素,数B：最小的合数

C：即是偶数，乂是素数D：它的所有因数是1,2,3,6

E：它既是4的倍数，又是4的因数F：最小的自然数

20.面积是72平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长可能是多少厘米？

21.最小公倍数

(1)18和42

(2)27和135

(3)12、18和90

22.已知等式a92其中小〃是非零自然数，求叔的最大值•

23.园林工人在长60米的小路两边每隔5米栽一棵树（首尾都栽），现在要改成每隔4米栽一棵树，那么不

用移栽的树有多少棵？

24.今年父亲的年龄是48岁，哥哥的年龄是弟弟的2倍，当弟弟长到哥哥现在的年龄时，父亲的年龄恰好

等于兄弟俩年龄之和，请问：今年哥哥多少岁？

25.A3=1008xB,其中A、B均为自然数，B的最小值是多少？

26.甲数除以乙数，乙数除以丙数，商相等，余数都是2.甲、乙两数之和是478,那么甲、乙、丙三数之

和是多少？

27.今年爷爷的年龄是小明的6倍，若干年后，爷爷的年龄是小明的5倍，再过若干年后，爷爷的年龄是

小明年龄的4倍，小明今年多少岁？

题型三：分数的认识

一、单选题

1.下列分数中，能化成有限小数的是（)

A.2B.2C.—

61216

（平均分成4份，每份是（）

2.

4n5C5

A.—B.—D.20

54

1

-25持:，瑞中，与（相等的分数的个数是（

636)

A.1个B.2TC.3个D.4个

4.分数亍介于哪两个正整数之间（）

4

A.4和5B.5和6C.6和7D.7和8

4

5.若一是假分数，则x的值不可能是（）

X

A.5B.4C.3D.2

897

6.如果4，h,c,d均为正数，且=l.处==那么",h,c,d中最大数为)

A.。B.bC.cD.d

7,完成3万平方米的地毯纺织任务需7天完成，平均每天织的面积是（)

77

A-7B.-C.鼻万平方米D.万平方米

JJ

8.一件工作，甲单独完成需酬小时，乙单独完成需吗小时，

两人合作完成需要（)

33,、时

A.‘小时B.?小时C.一小时D.

634

9.下列式子中，正确运用分数基本性质的是（）

33-2224-2〃22x()11x2

A.—=----B.—=---C.—=---D.­=----

44-233+233x()33x2

10.如果已是真分数，已是假分数，那么满足条件的正整数。有()

A.4个；B.3个；C.2个；D.I个.

11.下列两个数的积在2和:之间的是（）

oO

13245

A.-x4B.-x3C.-X-D.—X—

842352

填空题

12.分数g的倒数是

13.50平方分米二.平方米.（用分数表示）

14.写出一个比3大，旦比I小的最简分数:

15.J的分数单位是,它再添个这样的单位就等于最小的质数.

O

16.一根10米长的绳子，用去还剩米.

17.把3二4，7;从小到大排列：__________.

459

713713

18.—X—________—（填“>”，或“=”）

655655

三，解答题

19.六年一班组织辩论赛，上台辩论的共有20人，其中上台辩沦的男同学比上台辩论的女同学多g.

⑴求上台辩论的男女同学各有多少人？

(2)当只有辩论的男同学全部在台上辩论时，台下的男女生人数比是9：10,当只有辩论的女同学全部在台上

辩论时，台下的女生比男生少|,求六年一班总人数是多少？

20.甲乙两位工人展开劳动竞赛，甲15分钟做了25个零件，乙12分钟做了16个零件，那么谁的加工速

度快？

21.仔细阅读下列材料.

“分数均可化为有限小数或无限循环小数”，反之，“有限小数或无限循环小数均可化为分数

133381751

例如：—=1+4=0.25,1—=1+—=1+0.6或1一=一=8+5=1.6,-=1-3=0.3,反之0.25=—=",

4555531004

1.6=1+0.6=1+白=|］或1.6=2=^,那么0.3怎么化为;.

1UJ1\JDJ

解：v0.3x10=3.3=3+0.3,

・•・不妨设0.3=x,则上式变为10/=3+x,解得x即0.3=:，

JD

根据以上材料，回答卜.列问题.

⑴将“分数化为小数”：?11=______;三3=_______;

411

⑵将“小数0.1和小数1.32化为分数”，需要写出推理过程.

22.一个圆柱形汽油桶，底面半径是3分米，高是12分木，内装汽油的高度为桶高的3.如果每升汽油重

4

0.8千克，那么现在桶内装有汽油多少千克？

23.解方程.

3〜、I21-

xx-=20x-；50%x-2.4x5=8；-x+-x=13

5473

24.阅读下列材料并回答问题:

把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”，单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及

人就研究如何把一个单位分数表示成若干个单位分数的和.

把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分:

⑴把石写成两个单位分数之和.

（2）研究真分数口（〃是正整数），由上知，对于某些。的值，它可以写成两个单位分数之和，你还能找到

a

多少个是能使真分数〃可以写成两个单位分数的和？请将部分的〃的值写出：.

a

（3）学习了上述知识，小壮想继续研究是否所有的单位分数可以折分为两个单位分数的和？

小壮在研究单位分数3：；=；+［，g=；+

小壮在研究单位分数入泊脸,冷唉冷得"排去

小壮在拆分单位分数的过程中发现，单位分数!（〃是正整数），可拆分两个分母比〃大的单位分数，分别

a

设为一!一，—,即工=」一+」一其中机，〃正整数，并且小壮发现了〃?，〃与。的关系（即用〃?，〃

a+ma+naa+m4+n

表示。），并进行了严格证明.请问小壮发现的，〃，〃与a的关系（即用〃?，〃表示♦）,请你尝试证明此关

系.

题型四：百分数的认识

一、单选题

I.把0.25化成百分数正确的是（）%

A.2.5B.25C.0.25D.250

2.下列四个图形中，阴影部分面积占整个图形面积50%的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

3.数78059读作.

4.27.65%读作,百分之八十三写作.

5.甲数为5,乙数为4,则乙数比甲数小%.

6.将分数4三105.75,62.5%,冬按从大到小的顺序排列是_____________.

7.15%读作,百分之五十五点五写作.

o4

8.已知下列各数：50%、彳、0.75、-.......,按此规律第10个数是

三、判断题

9.上和1%都是分母为100的分数，它们表示的意义完全相同.一

10()

四、解答题

10.阅读与理解：用下面的方法可以把循环小数0.3化成分数：设0.6666…=x,10x=6.6666…，可得方程:

2•2

10A-X=6,解得工二鼠即0.6=§.参考以上方法，解决下面的问题.

⑴把0.3化成分数.

⑵把0.43化成分数.

⑶把5.243化成分数・

(4)通过阅读，解题，你有什么发现与收获吗？

11.在某校六(1)班对学生的周日休闲方式进行统计，这个班级的情况如图所示，其中看电视的学生人数

为20,请根据图中的信息回答下列问题：

(1)这个班有多少学生？

(2)玩手机的学生人数是多少？

(3)玩手机人数比体育运动的人数少几分之几?

题型一：数的整除

一、单选题

1.下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（）

A.2和20B.3和1.5C.34和17D.7和2

【答案】C

【分析】若整数》除以非零整数。，商为整数，且余数为零，我们就说b能被〃整除（或说〃能整除方），

据此逐项判断即可.

【详解】解：・・•2+20=0.1,0。不是整数,

・•・2不能被20整除,

工选项A不符合题意；

V1.5不是整数，

，不能说3能被1.5整除，

・•・选项B不符合题意；

34+17=2,

A34能被17整除，

，选项C符合题意；

•・・7+2=3.5不是整数，

・•・选项D不符合题意.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了整数的性质及引用法，以及整除的含义和判断，要熟练掌握.

2.653-65不能被下列数整除的是（）

A.3B.5C.6D.7

【答案】D

【分析】

对原式用提取公因式法和平方差公式进行分解因式即可作出判断.

【详解】解：653-65

=65X（652-65）

=65x（654-1）x（65-1）

=65x66x64,

V65=5x13,能被5、13整除，

66=2x3x11,能被2、3、6、II整除，

64=2x2x2x2x2x2,能被2、4、8、16、32整除，

•••653—65可以被3、5、6整除，不能被7整除，

故选:D.

【点睛】本题考查因式分解的应用及整除的应用，解题的关键是化简所给式子，找出所有的公因数，公因

数中没有的数便是不能被整除.

二、填空题

3.在一块长2.5分米，宽2分米的长方形铁板上，最多能取个直径为5厘米的圆形铁板.

【答案】20

【分析】根据长方形的长宽计算出，上下两排，每排的圆的个数即可.

【详解】解：由题意可知：每排分25+5=5（个），

共有20+5=4（个），

4x5=20（个），

故答案为：20.

【点睛】本题考查圆和数的有关运算，解题的关键是根据长方形的长宽计算出，上下两排，每排的圆的个

数即可.

4.韩信点兵：三个三个数，余数为一；五个五个数，余数为三；七个七个数，余数为五.那么韩信的士兵

最少有人.

【答案】103

【分析】先求出3,5,7的最小公倍数，再根据被3整除余数为1即可求出答案.

【详解】解：3,5,7的最小公倍数为3x5x7=105,

因为三个三个数，余数为一，

所以韩信的士兵最少有105-2=103人，

故答案为：103.

【点睛】本题主要考查了数的整除，正确求出3、5、7的最小公倍数是解题的关键.

5.从2、4、0、5、8这五个数字中选出3个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3和5整除,

那么这样的三位数有个.

【答案】6

【分析】先确定能够被2和5整除的数，再确定能够被3整除的数即可.

【详解】解：能同时被2和5整除的数末尾数为0,则有240、420、580、850、250、520、280、820、450、

540、480、840,其中能够被3整除的有240、420、450、540、480、840.

故答案为：6

【点睛】本题考查的是能够被2,3,5整除的数的特征，熟记能够被2,5整除的数的特征以及能够被3整

除的数的特征是解本题的关键.

6.六位自然数，1082□口能被12整除，末两位数有（）种情况.

【答案】8

【分析】采用试除法求解，假设后两位是最大情况，取99,用108299除以12,求出余数，用108299减去

余数，得到最大值，再依次减去12,得到其它符合要求的数，但要注意不能小于108200.

【详解】解：试除法：108299-12=9024II,

99-11=88、88-12=76、76-12=64、64-12=52.52-12=40、40-12=28、28-12=16、16-12=4

共8种情况.

【点睛】本题考查的是数的整除，也可以假设是102200,先求H最小的，再求出其它符合要求的数.

7.一个四位数恰好等于它各位数字和的207倍，则这个四位数是.

【答案】3726或5589/5589或3726

【分析】根据207=3x3x23,得出这个四位数是9的倍数，则数字和也是9的倍数，也就是说这个四位数字

和可能是：9,18,27,36,45,然后分情况计算判断即可.

【详解】解：207=3x3x23,所以这个四位数是9的倍数，则数字和也是9的倍数，也就是说这个四位数

字和可能是；9,18,27,36,45,逐一试验；

数字和为9,则数是：207x9=1836,不符合，

数字和为18,则数是:207x18=3726,符合，

数字和为27,则数是：207x27=5589,符合，

数字和为36,则数是：207x36=7452,不符合，

数字和为45,则数是:207x45=9315,不符合.

故答案为：3726或5589.

【点睛】本题考查了数的整除特征，根据题意分情况计算判断是解答本题的关键.

8.一个五位数彳丽能被3整除，且奇能被2整除，这样的五位数有个.

【答案】16

【分析】根据能够被2整除的数的个位为偶数，先确定个位数，再根据能够被3整除的数的特征确定A,B

即可.

【详解】解：花能被2整除，则B为0、2、4、6、8；

而而能被3整除，则20+A+8能

被3整除.当3=0时，A可为I、4、7：

当B=2时，A可为2、5、8；

当3=4时，A可为0、3、6、9；

当8=6时，A可为1、4、7；

当8=8时，A可为2、5、8；

所以这样的五位数有16个.

故答案为：16

【点睛】本题考查的是数的整除，熟记能够被2或3整除的数的特征是解本题的关键.

9.一个三位数，被17除余5,被18除余12,那么它可能是:一个四位数，被131除余112,

被132除余98,那么它可能是:

【答案】192,498,8041946

【分析】设此三位数为17a+5=l防+12,可得〃+7一定能被17整除，据此求出〃的值即可；

设此四位数为131X+112=I32），+98,可得＞-14一定能被131整除，据此求出），的值即可.

【详解】设此三位数为17。+5=1鲂+12,可得到17a=17b+b+7,所以6+7一定能被17整除，方=10,27,

44.

这个三位数为192,498,804.

设此四位数为I3IX+II2=I32），+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被］31整除，y=14,

145（太大），

这个四位数是1946.

故答案为：192,498,804；1946

【点睛】本题考查/数的整除，根据所给条件正确表示出要求解的多位数是解题的关键.

10.一列数1,1,2,3,5,8,13,21，…，从第三项开始每一项是前两项的和，第2021个数是一数（填

“奇’或“偶”）；第2021个数除以3的余数是.

【答案】奇2

【分析】这个数列从左到右每3个数为一组，每一组循环中前两个是奇数，第三个为偶数，2021+3=6732,

余数是2,余下的这个数是奇数：由题意知：这串数的规律是1、1、2、3、5、8…，从第三个数是前面两

个数的和，分别计算这些数除以3的余数，找出规律：每8个为一循环，用2021除以8,看看有多少个循

环，余数是几则看循环数里第几个数，是几就余几.

【详解】•・•2021+3=6732,

・•・余数是2,所以余下的这个数是奇数；

•・•一串数是:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987...,

，这些数除以3余数是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0…，

・••余数中每8个为一循环，循环1、1、2、0、2、2、1、0,

V20214-8=2525,

・•・这串数的第2021个数除以3的余数是2.

故答案为：奇，2.

【点睛】本题考查了数字类规律探究，数的整除，解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找

出排列的周期性规律，再根据规律求解.

11.201x2()2x2O3xx3(X)的结果除以10,所得到的商再除以10…重复这样的操作，在第次除

以10时，首次出现余数.

【答案】26

【分析】根据题意明确求原式结果末尾有多少个连续的0,即。由5和2相乘得到，最关键在于有多少个5

即可得出结果.

【详解】能整除1次5的数有205,210,215,220,230,235,240,245,255,260,265,270,280,285,

290,295共16个,会乘出16个连续的0；

能整除2次5的数有225,275,300共三个，会乘出6个连续的0；

能整除3次5的数行250,会乘出3个连续的0.

所以共有16+6+3=25个连续的0,

则能整除25次10,

第26次首次出现余数，

故答案为：26.

【点睛】题目主要考查数的整除，理解题意是解题关键.

12.某汽车公诃同时建成两条生产线，第一条生产线第一个月生产了1000辆汽车，以后每个月比前一个月

多生产100辆；第二条生产线第一个月的前半个月与后半个月各生产了500辆汽车，以后每半个月比前半

个月多生产50辆，那么，这两条生产线共生产20000辆汽车需个月.

【答案】7

【分析】由题意可知，第一条生产线每月生产的车辆数为：1000,1100,1200,构成一个公差为100

等差数列；第二条生产线生产的辆数以半月为单位的计算话为：500,500,550,600,650,700,750,800,…；

以月计算的话为：1(X)0,115(),135(),155()由此可得第二条生产线从第二月开始每月生产的车辆数

构成一个公差为200的等差数列.因此我们可从第二个月开始将两条生产线生产的辆数相加得：2250,2550,

2850,由此构成一个公差为300的等差数列，设两条生产线从第二月共生产

20000-(1000+500x2)=18000辆汽车需x月，则第x月两条线共生产了2250+300(x7)辆，根据等差数列

求和公式可得等量关系式：[2250+2250+300x(x-l))k+2=18000.由于x的取值范围不大，我们可以通

过估算代入数据进行验证的方法来进行求得x的值.

【详解】解：第一条生产线每月生产的车辆数为：1000,1100,1200构成一个公差为100等差数列；

第二条生产线每月生产的辆数为：1000，1150,1350,1550,1850,…，从第二月开始构成•个公差为200

的等差数列.

因此我们可从第二个月开始将两条生产线生产的辆数相加得：2250,2550,2850,…，

由此构成一个公差为300的等差数列，

设两条生产线从第二月开始再需k月就能生产20000辆汽车，则第x月两条线共生产了2250+300(工-1)辆，

根据等差数列求和公式可得等量关系式：

2250+2250+300X(.E-1)]X+2=20000-(1000+500X2).

整理得：4500x+300xx-300.r=36000,

42(X)x+300x-x=36000,

14A4-XX=120；

经验证，x=6时符合要求.

所以条生产线共生产20000辆汽车需要6+1=7(个)月.

故答案为：7.

【点睛】将两个等差数列整合成一个等差数列后据高斯求和公式列出等量关系式是完成本题的关键.

三、解答题

13.一列快车全长250米,每秒行列米;一列慢车全长263米，每秒行12米.

(1)两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要几秒钟？

⑵两列火车同向而行，从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要几秒钟？

【答案】（1）两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要19秒

（2）从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要171秒

【分析】（1）这是一个相遇错车的过程，两列车共走的路程是两车车长之和，据此根据相遇时间=路程和+

速度和即可求解；

（2）这是一个超车的过程，路程差是两车车长之和，根据追及时间=路程差+速度差即可求解.

【详解】⑴解:（250+263）-（15+12）

=513+27

=19（秒）

答：两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要19秒；

（2）解：（250+263）+（15—12）

=513+3

=171（秒）

答：从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要171秒.

【点睛】本题主要考查相遇、追及公式解火车行程问题，掌握公式：相遇时间=路程和+速度和与追及时间

=路程差+速度差是解题的关键.

14.把自然数1,2,3,…，998,999分成3组，如果每一组数的平均数恰好相等，那么这3个平均数的

和是多少？

【答案】1500

【分析】根据题意，每一组数的平均数恰好相等，设每一组的平均分均为小得到999a=（1+999）x999+2,

解得a=5（X）,即可得到答案.

【详解】解：设每一组的平均分均为小则总和为999a=（1+999）x999+2,

解得a=500,

・••这三组平均数的和为1500.

【点睛】本题考查平均数的定义与性质，读懂题意，得到方程并求解是解决问题的关键.

15.新老运动员把话谈，手拉手儿笑微微，老将说：“我比你大10岁，”新手说：“上次你比我大一倍.”运

动会四年开一次，两人年龄各几岁？

【答案】14岁；24岁.

【分析】四年前，老运动员与新运动员的年龄差是10岁且老运动员的年龄比新运动员大一倍，据此可知四

年前新运动员的年龄，由此解题艮」可.

【详解】解：10+(2—1)+4

=104-1+4

=10+4

=14(岁)

14+10=24(岁)

答：新运动员14岁；老运动员24岁.

【点睛】本题主要考查了年龄问题，熟知年龄差不会随着时间的改变而改变是解题的关键.

16.有一个不等于1的整数，它除967,1000,2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？

【答案】这个整数是11.

【分析】根据同余定理知：这个数能整除967,1000,2001,任意两个数的差，求出这几个数差，再分解质

因数，这个数的公因数，就是这个整数.据此解答.

【详解】解：1000-967=33,

2001-1000=1(X)1,

2001-967=1034,

33=3x11,

1(X11=7x11x13,

1034=2x11x47,

因33、1001和1034的公因数是11,所以这个整数是11.

答：这个整数是11.

【点睛】此题主要考查了同余问题的基本解法即：将几个具有相同余数的数两两相减，它们差的公因数即

是这几个数的共同的除数.

17.2005至少加上一个什么正整数能被2整除？至少减去一个什么正整数能被5整除？至少乘以一个什么

正整数能被2和5整除？

【答案】1:5；2

【分析】根据整除的定义结合2的倍数特征和5的倍数特征，即可求解.

【洋解】解：末位为偶数的能够被2整除，

2005至少加上一个正整数1能被2整除：

末位为。或5的数能够被2整除，

2005至少减去正整数5能被5整除；

末位为。的数能被2和5整除,

20(15至少乘以正整数2能被2和5整除.

【点睛】本题考查数的整除.掌握一个数能同时被2和5整除时，那么这个数的个位的数为0是解题关键.

18.三个连续偶数的和是54,这三个偶数分别是多少？

【答案】这三个偶数分别是16,18和20

【分析】先求出三个偶数中最中间的数，即用这三个数的和除以3：相邻的偶数之间相差2,求出最中间的

数后减2就是前面的偶数，减去2就是后面的偶数.

【详解】解：54+3=18,

18-2=16,184-2=20

答：这三个偶数分别是16,18和20.

【点睛】本题考查数字规律，数的整除的应用，先求出三个偶数中最中间的数是解题的关键.

19.甲、乙两人以每分60米的速度同时、同地、同向步行出发.走15分钟后甲返回原地取东西，而乙继

续前进.甲取东西用去5分钟的时间，然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙，甲骑车多少分钟才能

追上乙？

【答案】甲骑车7分钟才能追上乙

【分析】先求出甲返1可时乙所走的路程，再用此路程除以二者的速度差(甲的速度为骑自行车的速度)即

可得到答案.

【详解】解：60x(15x2+5)+(360-60)

=60x35+300

=7(分钟)

答：甲骑车7分钟才能追上乙.

【点睛】本题主要考查了行程问题，熟知时间=路程+速度是解题的关键.

20.有一列数排成一行，其中第一个数是3,第二个数是10,从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的

和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？

【答案】余数为0

【分析】按照从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和这个规律，先确定前面的几个数，然后除以3,

观察余数的规律，确定周期，按照周期问题求解即可.

【详解】解：这列数的前面几个分别是3,10,13,23,36,59,95,L

被3除后的余数依次为0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,L,

观察得：余数的排列规律是：0,1,1,2,0,2,2,1为周期重复出现；

1997+8=2495,

，余数为0.

【点睛】本题实质上考查的是数的规律周期问题，确定周期是解决问题的关键.

21.有一个自然数，用它分别去除25、38、43,三个余数之和为18,这个自然数是几？

【答案】11

【分析】根据倍数与约数进行分析推理即可得解.

【详解】解：・・・25、38、43中,最小数为25,

，所求数显然小于26,

又由18+3=6可知，所求数大于6.

・•,(25+38+43)—18=88,

•••88是所求数的整倍数，推知所求数是8、11或22.

V25+8=3LL1,38+8=4LL6,43+8=5LL2,

/.1+6+2=9?18,

，所求数不是8：

V25+11=2LL3,38+ll=2LL5,43+11=3LL10,

.*.3+5+10=18,

，所求数是11;

V25+22=ILL3,38+22=ILL16,43+22=ILL21,

・•・1+16+21?18,

工所求数不是22

综上所述，这个自然数是11.

【点睛】本题考查了整除，倍数与约数，熟练掌握倍数的概念是解题的关键.

22.在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利

用整数的除法运算来研究一种数一“合8数定义：对于一个自然数，如果这个数除以7余数为1,且除

以5余数为3,则称这个数为“合8数

例如：43+7=61,43+5=83,所以43是“合8数”；22+7=3I,但22+5=42,所以22不是“合8

数”.

(1)判断64和148是否为“合8数”？请说明理由；

(2)求大于300且小于400的所有“合8数”.

【答案】(1)64不是“合8数”，148是“合8数”，理由见解析

⑵323、358、393

【分析】⑴根据“合8数”的定义，求解即可；

(2)根据“合8数”的定义，求解即可.

【详解】(1)解：64不是“合8数”，148是“合8数”,理由如下：

7644-7=91,但64+5=124,

:.64不是“合8数”；

V148-7=211,148+5=293,

:.148是“合8数”；

(2)解：•・,大于300且小于400的数除以7余数为1的有：302、309、316、323、33。、337、344、351、

358、365、372、379、386、393,

大于300且小于400的数除以5余数为3的有303、308、313、318、323、328、333、338、343、348、

353、358、363、368、373、378、383、388、393、398,

，大于300且小于400的数除以7余数为1,且除以5余数为3的有：323、358、393,

・••大于300且小于400的所有“合8数''为：323、358、393.

【点睛】本题考查了整数问题的综合运用以及新定义题的理解，灵活运用新定义的特征解答是解本题的关

键.

23.两个四位数A275和2758相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A和B.

【答案】A-4,B-2

【分析】考虑到72=8x9,而A27f是奇数，所以2754必为8的倍数，因此可得3=2;四位数2752各位数

字之和为2+7+5+2=16不是3的倍数也不是9的倍数，因此A275必须是9的倍数，由此即可得A的值.

【详解】解：72=8x9,四位数必5是奇数，

四位数2758必为8的倍数，

."=2,

・四位数2752各位数字之和为2+7+5+2=16,不是3的倍数也不是9的倍数,

四位数A275必须是9的倍数，

.,.A=4.

【点睛】本题考查的是整除特征，熟练掌握整除特征是解题关键，8根据末三位判断，9通过各位数字之和

判断.

24.两人沿着铁路线边的小道，从两地出发，两人都以每秒1米的速度相对而行.一列火车开来，全列车

从甲身边开过用了10秒.3分后，乙遇到火车，全列火车从乙身边开过只用了9秒.火车离开乙多少时间

后两人相遇？

【答案】火车离开乙1701秒后两人相遇

【分析】首先根据题意求出车速是每秒19米，然后求出车遇到乙时车与甲的路程差，进而求出车从乙身边

过时甲乙之间的路程，即可求解.

【详解】根据题意可得，

•・•（车速T）xl0=10x车速一10二车长，

（车速+1）x9=9x车速+9=车长，

・•・比较上面两式可知车速是每秒19米.

•・•车遇到乙时车与甲的路程差，也是甲与乙的相距距离为：（19-1）x（10+190）=3420（米），

车从乙身边过时甲乙之间的路程为：3420-（1+1）x9=3402（米），

・•・车离开乙后，甲乙两人相遇的时间为3402+（1+1）=1701（秒），

答：火车离开乙1701秒后两人相遇.

【点睛】此题考查了形成问题，解题的关键是求得货车速度与人行速度的关系.

25.一只小船运木料，逆流而上，在途中掉下一块木头在水中，2分钟后，小船掉头追木头，（不算掉头

时间）再经过多少分钟，船可以追上木头？

【答案】再经过2分钟，船可以追上木头

【分析】由题可知，木头的速度就是水流速度，在途中掉下一块木头在水中后，木头会顺着水流的速度往

下漂，船继续逆流而上，船和木头的速度和就是船在静水中的速度，所以2分钟后，船和木头的距离是；2x

船速，此后船返回去追木头，变成了追及问题，船的速度是船在静水中的速度+水流速度，木头的速度还是

水流速度，所以船和木头的距离速度差还是船在静水中的速度，即可求出船追上木头的时间.

【详解】2分钟后船和木头之间的距离是：2x（船速-水速）+2x水速=2x船速

小船追木头的时间：2x船速：（船速+水速-水速）=2（分钟）

答：再经过2分钟，船可以追上木头.

【点睛】本题的美犍理清两点：木头的速度就是水流的速度，船和木头的速度差还是船在静水中的速度.

26.孔目江上，码头A在B上游600千米处，甲、乙两船在4、〃之间往返运送货物.若甲、乙两船的静水

速度分别为每小时20和30千米，水速为每小时10千米，则两船同时从4出发，经过多少小时后甲第二次

与乙迎面相遇？

【答案】经过52小时后甲第二次与乙迎面相遇

【分析】刚开始甲、乙两船都是从A出发顺利而下，当乙船到达B码头的时间是：600+(30+10)=15(小

时)，此时甲船离8码头还有6(X)-15x(2()+l())=15