专项08 全等三角形中的常见模型【北师】七年级下册数学

专项08全等三角形中的常见模型

类型一平移模型

1.如图，已知AB=DE,AD=CF,/A=NFDE,求证:△ABC^ADEF.

类型二对称模型

2.女口图,AR=AD,/R=ND,NRAE=/DAC求证:AC=AE.

1$I)

类型三角平分线模型

3.如图,NAOC=NBOC,点P在OC上,PD_LOA,PE_LOB,垂足分别为D,E.求证:PD二PE.

H

类型四8字模型

4.如图,AC〃BD,AC=BD,求证:OA=OB.

5.如图，己知AB=CD,BE=DF,AE=CF,求证:OC=OA,OF=OE.

类型五旋转模型

6.如图，已知△ABC和^AEF中,/B=NE,AB二AE,BC=EF,求证:NBAE=NCAF.

C

E

7.如图,AB=AE,AB〃DE,ZDAB=65°,ZE=37°.

⑴求/DAE的度数；

⑵若NB=28。,求证:AD=BC.

类型六一线三等角模型

8.某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AR与居民楼ED之间的地面上选了

一点C,使B,C,D在一条直线上，测得大树顶端A的视线CA与居民楼顶端E的视线CE的夹角

为90。,若AB=CD=12米,BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度.

E

9.如图，在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有NBDA二NAEC=NBAC.请写出

DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由.

C

I)Em

10.如图所示的是小明和爸爸妈妈在公园里荡秋千的示意图，小明坐在秋千的起始位置A

处QA与地面垂直，小明两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一

推,爸爸在C处接住他.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.6m和2m,且N

BOC=90°.

(1)△OBD与^COE全等吗?请说明理由.

⑵爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？

专项08全等三角形中的常见模型

答案全解全析

1.证明:AD=CF,・,.AD+CD=CF+CD,:.AC=DF,

又TAB=DE,NA=NFDE,・・・AABC^ADEF(SAS).

2.证明TNBAE;NDAC,

:.ZBAE+ZEAC=ZDAC+ZEAC,

AZBAC=ZDAE,

'口B=DD,

在^ABC和^ADE中,AB=AD,

□BAC=DDAE,

・•・△ABC经△ADE(ASA),，AC=AE.

3.证明VPD±OA,PE±OB,

AZPDO=ZPEO=90o,

□PDO=CPEO,

在^PDO和^PEO中,匚AOC=QBOC,

OP=OP,

・•・△PDO^APEO(AAS),APD=PE.

4.证明・・・AC〃BD,・・・NC=ND,

□AOC=DBOD,

在^AOCfllABOD中,DC=DD,

AC=BD,

/.△AOC^ABOD(AAS),AOA=OB.

5.证明VAB=CD,BE=DF.AE=CF,

.*.△BAE父△DCF(SSS),，ZD=ZB,

XVNDOC=NBOA,DC二AB.

.*.△DOC^ABOA(AAS),OD=OB,OC=OA,

;DF=BE,I.OD-DF=OB-BE,OF=OE.

6.证明VAB=AE,ZB=ZE,BC=EF,

/.△ABC^AAEF,.*.ZBAC=ZEAF,

・・・ZBAC-ZBAF=ZEAF-ZBAF,ZBAE=ZCAF.

7.解析(I)：AB〃DE,NE=37。,，ZEAB=ZE=37°,

VZDAB=65°,

・・・ZDAE=ZDAB-ZEAB=65°-37°=28°.

⑵证明:由⑴得NDAE=28。，

ZB=28°,・•・ZDAE=ZB,

□DAE=匚B,

在AADE与4BCA中，AE=AB,

,□E=HBAC,

・•・△ADE^ABCA(ASA),AAD=BC.

8.解析由题意可知NABONCDE=ZACE=90°,

・•・ZACB+ZDCE=180°-90°=90°,ZACB+ZBAC=90°,

ZACB+ZDCE=ZACB+ZBAC,/.ZDCE=ZBAC,

□BAC=DDCE,

在仆ABCCDE中,AB=CD,

.nABC=nCDE,

・•・△ABC^ACDE,/.ED=BC,

又・・,CD=12米,BD=64米，

ABC=BD-CD=64-12=52米,，ED=52米.

答:该居民楼ED的高度为52米.

方法解读本题属于同侧一线三等角模型，根据等角代换得到一组等角,结合已知条件中的一

组边相等和90度的角，可通过ASA得到三角形全等，进而求出高度.

9.解析DE=BD+CE,理由如下：

ZDBA+ZBAD+ZBDA=180°,ZBAD+ZCAE+ZBAC=180°,ZBDA=ZAEC=ZBAC,

・・・NDBA+NBAD=NBAD+NCAE,

AZCAE=ZABD,

□ABD=DCAE,

SAADBCEA中,DADB=CCEA,

AB=AC,

・・・△ADB^ACEA(AAS),

・・・AE=BD,AD=CE,BD+CE=AE+AD=DE.

10.解析(1)根据题意，得NOEC=NODB=9()o,OA=OB=OC,

.\ZCOE+ZOCE=9()°,

ZBOC=90°,AZBOD+ZCOE=90°,

.*.Z0CE=ZB0D,

□OEC=DODB,

在aCOE与^OBD中，：匚OCE=EBOD,