第5章 直角三角形 小结与评价 教学设计-2026-2027学年湘教版八年级数学上册

第五章直角三角形小结与评价教学设计

课题小结与评价单元第五章学科数学年级八年级上

本单元是八年级上册第五章内容，主要研究直角三角形的相关概念和性质，重点是勾股

教材分析定理、勾股定理逆定理，以及有关直角三角形的性质。本章在学生已经认识了三角形的

基础上进行学习，是进一步研究空间与数量关系的重要基础。

1.将图形语言转化成数学运算，使学生初步体验转化的数学思想；

核心素养

2.结合具体实例，初步了解勾股定理及其逆定理的运用，培养学生的语言表达能力。

能力培养

3.通过直角三角形的有关性质研究进■步加深学生对数形结合思想的巩固学习与体会。

1.理解勾股定理及其逆定理的概念及运用；

教学目标2.能够判断两直角三角形全等。

3.掌握平分线等的有关概念和性质，并熟练运用。

教学重点勾股定理及其逆定理的概念及运用；能够判断两直角三角形全等

教学难点勾股定理及其逆定理的运用；平分线等有关性质的熟练运用

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

两个保岛里余学生认真思通过知识图谱让

也“地上的中班

等于X边的一华考，回顾本单学生回顾本单元

勾版£双

女角三角参

有一个角义直向元主要知识的内容，巩固知

图电竹04r三京舟的有两个育互企

n之点。识，形成知识体

知识图谱2国“小化.期与设定及妁遗々以

儿

边启逸.角过»・

用等4a作启角边.逋边边系

公号直岛三京划

稣迫.A■京边

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京平。坟力也盛定理

的此文理

教师出示问题：

1.直角三角形的两个锐角有什么关系？有两个角

互余的三角形是直角三角形吗？

学生回答：

思考回顾直角三角形的两个锐角互余；两个角互余的三角

形是直角三角形。

2.直角三角形斜边上的中线与斜边有什么数量关学生认真思

系？考，回答问题

学生回答：

直角二角形斜边上的中线是斜边的一半。

3.在直角三角形中，如果有一个锐角等于30。，那

么它所对的直角边与斜边有什么数量关系？

学生回答：

在直角三角形口，如果有一个锐角等于30。，那么

它所对的直角边是斜边的一半。

4什.么是勾股定理？什么是勾股定理的逆定理？鼓励积极回答问

学生回答：题，回顾重要知

勾股定理即直向三角形两条直角边的平方和等于识点，培养学生

斜边的平方；的逻辑思维能力

逆命题：即如果三角形的三条边小b,。满足*

+〃=/,那么这个三角形是直角三角形。

5.如何判定两个直角三角形全等？

学生回答：“斜边、直角边”定理

6.已知斜边和一条直角边，如何用尺规作直角三

角形？

学生回答：

画一个直角：首先，使用尺子画一个直角/C

截取线段：在直角的一边上截取线段CA,长度等

于已知的直角边的长度。

以点A为圆心，斜边长为半径画弧：以点4为圆

心，以斜边长为半径画一个圆弧，与直角的另一

边相交于点8。

连接线段AB：连接线段AB,这样得到的aABC

就是一个直角三角形，其中4BAC=90。，BC=a（已

知直角边的长度），AC=b（斜边的长度）

7角.平分线有哪些性质？如何判断一个点在角平

分线上

学生回答：

角平分线上的点到角两边的距离相等；如果•个

点到角的两边的距离相等，那么这个点就在该角

的平分线上

注意事项1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这

是直角三角形的重要性质.从这个性质定理可

以推导出：在直角三角形中，如果一个锐角等于学生认真听

30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.讲，理解知识

2.勾股定理即直角三角形两条直角边的平方和等

于斜边的平方，并且它的逆命题也成立，即如果

三角形的三条边a,b,c满足层+〃二02,那

么这个三角形是直角三角形.提醒学生本单元

3.“斜边、直角边”定理是仅用于判定直角三角形全的易错知识点，

等的判定定理，运用的前提是在直角三角形中.帮助学生更好的

4.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两掌握知识

边的距离相等.它与“角的内部到角的两边距离

相等的点在角的平分线上”是互逆命题.

典例精讲1.如果两个锐角三角形有两条边和其中一边上的

高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对学生自己独立给学生梳理本单

的角的关系是（）完成。元的知识点，帮

4.相等B.不相等助学生更好的掌

C互补。.相等或互补握，运用知识。

解高线可以看成为直角三角形的一条直角边，进

而用HL定理判定全等，所以选4.

2.如图，点C、。分别在乙404的边04、04上，

若在线段CD上求一点P,使它到0A,0B的距

离相等，则尸点是（）.

A.线段C。的中点

B.0A与0B的中垂线的交点

C.0A与CD的中垂线的交点

D.CD与乙404的平分线的交点

解

证明：•乂。平分NBAC,OEL48于E,OELAC于

F,（已知）

：.DE=DF（角平分线上的点到角两边距离相等）

又;BD=CD

：.&BDE=CDF（HL）

:.BE=CF

6.如图，已知":/2,P为3N上的一点.PF^BC

于/，PA=PC.

解

证明：如图，过点尸作PE_L84于E,

•••41=42,PFLBCTF,

:.PE=PF,ZP£A=ZPFB=9O0,

在RME4与RtAPFC中得二器,

.•.RtAP/£A=RtAPFC(HL),

:•乙PAE=^PCB,

•・NBAP+N附E=I8O。,

••.ZPCB+ZBAP=18O°.

R

7.感受理解

如图①，^BC是等边三角形，人。、CE分别是

Z-BAC.NHCA的平分线，AD.CE相交于点尸，

则线段FE与FD之间的数量关系是

自主学习

事实上，在解决几何线段相等问题中，当条件中

遇到角平分线时，经常采用下面构造全等三角形

的解决思路

如：在图②中，若。是乙MON的平分线0P上一

点，点A在。M上，此时，在ON上截取OB=OA,

连接BC,根据三角形全等判定(SAS),容易构

造出全等三角形△08C和△Q4C,从而得到线段

CA与CB相等

学以致用

参考上述学到的知识，解答下列问题：

如图③，△/WC不是等边三角形，但48=60。，人。、

CE分别是乙BAC、4BC4的平分线，AD.CE相交

于点F.求证：FE=FD.

解：感受理解

EF=FD.理由如下：

••・△ABC是等边三角形，

•,.z.BAC=/-BCA,

•••4力、CE分别是乙8八。、八的平分线.

'.Z.DAC=Z.ECA,乙BAD=^BCE,

.-.M=FC.

/-EFA=乙DFC

:•在二EFA和△OF'C中，AF=CF

/.BAD=乙BCE

:.EF=FD；

学以致用：

证明：如图1,在AC上截取AG=AF,连接FG.

B

图1

•••4。是4