2025-2026学年上海市某中学高一（下）期中数学试卷（带解析）

2025・2026学年上海市宝山中学高一(下)期中数学试卷

一、填空题(1・6题每题3分，742题每题4分，共42分)

I.扇形。人B的半径为1,圆心角所对的人8长为3,则该扇形的面积是

--2sina+co$aM

2.已知tana=3,则----------的值为_____.

sina-cosa

3.函数y=\Z^sin(30n-二)的频率为.

4.己知点A(2,3),以6,-3),若点P满足AP=3人8,则点P的坐标为.

5.设〃、匕为夹角为？的单位向量，贝UM—2们=—.

6.已知。=(5,3),6=(-1,2),则向量。在向量〃方向上的投影向量为(用坐标表示).

7.关于x的不等式：【a/xvl的解集为.

1*7

8.已知0<a<]</?<乃，且cos/?=-§,sin(a+/?)=—,则sina=

9.函数y=sin(2x+e)的图像向左平移工个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若。£(0,加，则e的值

3

为.

10.在△ABC中，M为边BC上不同于B、C的任意一点，点N为线段AM的三等分点(靠近点4),若

AN=xAB+yAC,则产+丁的最小值为

II.设〃>0,函数/(x)=./+2a-l)sin(aY),XG(OJ),若函数y=/十工_］与),=八外的图像有且仅有

三个不同的公共点，则。的取值范围是—.

12.如图，在AA3C中，lAB+ADRAB—AOI，B，=®BD,|AD|=2,则ACA3=.

二选择题(本大题共4题，每题3分，共12分)

13.三角形ABC中，“A=8”是“sinA=sinB”的()条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

14,下列说法正确的是()

A.若||,贝I」a:>〃B.(a■b)-c—a'(b­c)

C.若aIlb,h//c,贝ija//cD.若a=b,b=c,则。=c

15.下列条件判断三角形解的情况，正确的是()

A.a=8,b=\6,4=30。，有两解B.〃=I8,c=2(),8=60。，有一解

C.a=15,b=2,A=90°,无解D.a=40,。=30,4=120。，有一解

16.如果对一切正实数x,y,不等式上-2cos，za(sinx-2)-2恒成立，则实数。的取值范围是()

4y

A.(-a),8+6V2]B.[8-672,8+6V2]C.[8-65/2,4-00)D.[-1,+8)

三,简答题(本大题共5题，共8+8+8+10+12=46分)

17.已知O为坐标原点，向量04=(—2,⑼，08=(〃/)，0C=(5,-l),若A,B,C三点共线，且〃2=2〃,

求实数"7,〃的值.

18.在中，角人，B,C所对的边分别为a,b,c,若acosB+〃cos4=2ccosA.

(I)求A的大小；

(2)若4=7,/?+c=13,求△A8C的面积.

19.已知函数/(幻=26sinA-COSx-2sin2x.

(I)若角a的终边与单位圆交于点P(K),求/(a)的值；

(2)当xw「々工|时，求f(x)的单调递增区间和值域.

63

20.如图，某公司要在A、2两地连线上的定点C处建造广告牌6,其中D为顶端，AC长35米，BC

长80米.设A、8在同一水平面上，从A、8看。的仰角分别为a、p.

(I)设计中CO是铅垂方向，若要求a=2夕，求CO的长(结果精确到0.01米)；

(2)施工完成后与铅垂方向有偏差，现实际测得。=39.82。，夕=19.48。，求6的长和/AC。的大小

(结果精确到0・01米和0.01。).

21.已知函数/(.1)=45皿]工+9)(4>0,|8|<笈)的图象如图所示，点B,D,r为/。)与x轴的交点，点

C,E分别为/(x)的最高点和最低点，而函数/(1)在x=-；处取得最小值.

(I)求参数8的值；

(2)若A=1,求向量2/3C-CO与向量4C+3CO夹角的余弦值：

(3)若点P为/(x)函数图象上的动点，当点。在C,E之间运动时，BPPF..1恒成立，求A的取值范

围.

参考答案

一、填空题(本大题共12题，L6题每题3分，7-12题每题4分，共42分)

I.扇形。明的半径为1,圆心角所对的48长为3,则该扇形的面积是之.

2

解:扇形。48的半径为1,圆心定所对的4B长为3,

所以该扇形的面积S=」x3xl=2.

22

故答案为：

2

ccmn2sina+co$aAA/士”7

2.已知tana=3,则------------的值为_一_.

sina-cos6Z2

解：vtana=3»

2sina+cosa2tan«+12x3+17

二.—----------=---------=-------=—.

sina—cos«tana—I3—12

故答案为：

2

3.函数y=V?sin(30n-1)的频率为15.

解：函数y=J5sin(3O乃x-A)中，(o=30^,

所以周期为7=二=,，

co15

所以频率为/=—=15.

T

故答案为：15.

4.已知点42,3),5(6,-3),若点，满足AP=3AB,则点P的坐标为

解：设点P的坐标是(占门，由42,3),8(6,-3),

可得A8=(4,—6),AP=(x—2,y—3),

又AP=3AB,则有(x-2,y-3)=3(4,-6),

r-2=12

即4，解得「(14,-15).

[)，-3=-18

故答案为：(14,-15).

5.设〃为夹角为？的单位向量，贝1」|力一2〃|=_>/3_.

解:由于〃、〃为夹角为三的单位向量，

3

故14一2万|=yja2-4a-b+4b2=^5-4x1x1xcos-y=6.

故答案为：JL

i0

6.已知。=(5,3),^=(-1,2),则向量。在向量匕方向上的投影向量为(用坐标表示).

解:a=(5,3),5=(-1,2),

则向量a在向量〃方向上的投影向量为:

abb-5+6(-1,2),12、

------・=,・---------=I—―I

|Z?|\b\75亚5'5

故答案为：(=,|).

7.关于x的不等式：tan?kv1的解集为｛.v|-巳<xv%乃+工,RcZ｝.

44

解：由tan°x<I,可得|tanx|<1,BP-1<tanx<l>

因函数小皿在每个区间(人甘,+/小为上单调递增,

而在区间(一工二)内，Fh-l<tan.r<l,可得一巳<x<£,

2244

所以原不等式的解集为｛x\k7r--<x<k^+—,k^Z].

44

故答案为：｛x\k^--<x<k^+—,keZ].

44

[r]

8.已知0<1<事〈/7〈乃，且cos/7=——，sin(a+〃)=—,贝ijsina=___

解：由于0<av1<〃</r,cos/?=>

则sinp=Jj(-g)2=2^.

由于]<a+夕<与，

则cos(a+/?)=-Jl-(/=，

则有sine?=sin(<z+/?-")=sin(a+尸)cos夕一cos(a+/?)sinp

2721

)x----=一

93933

故答案为：1.

9.函数），=sin（2x+0）的图像向左平移?个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若好（0,冗）,则e的值

解：函数y=sin(2x+e)向左平移(后为y=sin[2(x+y)+(p]=sin(2x++(p),

若3，=5111(。工+。)为偶函数，则夕=1+,

/rrjrTT

则——+(p=—+k冗、kwZ,解得0=攵%---,keZ,

326

(ffW(0、7T),

当我=1时，(p=—.

故答案为：”

10.在△ABC中，M为边BC上不同于B、C的任意一点，点N为线段AM的三等分点（靠近点A）,若

AN=.xAB+yAC,则丁+9的最小值为表.

解：设8M=/lMC（/l>0）,

可得：AM=AB+13M=AB+-^—BC=AB+-^—（AC-AB）

A+12+1

=—AB+—AC,

2+12+1

由题意可得，AN=-AM,

3

即AN=------AB+

3(2+1)3(4+1)

A

x>0,y>0,

3(2+1)

1+A1

因比x+.y=

3(2+1)3

因为/+22空221,

2

（I'r

1%，1

将X+）,=L代入得：X2+y2>_3_=J_1

3218

当且仅当（对应4=1,即M为8C中点）时等号成立.

故Y+V的最小值为次.

故答案为：—

11.设。>0,函数/(x)=f+2(—l)sin(iU),xe(0,l),若函数y=f+x-1与y=/(x)的图像有且仅有

三个不同的公共点，则〃的取值范围是(田，也］.

66

解：函数)，=/+工-1与尸/⑴的图象有且仅有3个不同的公共点,

即方程d+1-1=/+2(x-l)sin3)有3个不同的根，也即方程(x-l)(2sin(ar)-1)=0有3个不同的根,

因xw(0,l),则sin⑷)=：在入"1)上有3个不同的根,

又。>0,«xe(0,«)>WOax=—,或ax=2,或

666

13万，17乃,即。的取值范围是(也,叱］.

依题意，需使——<a<——

6666

故答案为：(学,9］.

66

12.如图，在AA5c中，|A8+AQ|=|/W-AQ|,BC=®BD,\AD\=2,则AC-4Q=_4、5

解：因为|AB+AD|=|A8-AO|,所以|A8+4。『=|A8-,

所以A8A力=0,则福_L而,

所以八。,4。=(八8+8。)4。二48・八。+/?。人。=8。八。

仞AO『=4亚.

故答案为：4历.

二选择题(本大题共4题，每题3分，共12分)

13.三角形4BC中，“A=8”是“sinA=sin8”的()条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

解：A=6o〃=/?osinA=sinB,

故“A=4”是“sinA=sinB”的充要条件.

故选：C.

14,下列说法正确的是()

A.若||•则〃>〃R.(ah')-('=(!•(/?•c)

C.若a/lb,8//c,则a//cD.若a=b,b=c,则a=c

解：向量不能比较大小，4错误；

结合向量数量积的运算律可得，B错误；

当力=0时，C错误；

若a=b,b=c,则a=c；,D正确.

故选：D.

15.下列条件判断三角形解的情况，正确的是（）

A.4=8,0=16,A=30。，有两解B./?=18,c=20,8=60。，有一解

C.a=15,b=2,A=90。，无解D.«=40,力=30,A=120°,有一解

解：若a=8,b=16,A=30。，

,.A16x—

则由正弦定理得$inB=竺里△=-2.=1,

a8

可得B=90。，△ABC是直角三角形，只有1解，故A错误；若力=18,c=20,8=60。，

2（）乂鱼

则由正弦定理得sinC=^*=H&-二逋＞且，结合力＜c,可得3=60。＜。，

b1892

所以C可能是锐角或钝角，△ABC有两解，故8错误;

若a=15,b=2,A=90°,

则由正弦定理得sinB==以在90。=匕,根据可得3cA=90。，8c只有1解，故C错

a1515

误；若a=40,/?=30,A=120°,

加百

则由正弦定理得$吊4=史见4=二2_=也＜],

。408

结合4为钝角且。〉力，可知4为锐角，△人8C有1解，故。正确.

故选：D.

16.如果对一切正实数x,y,不等式上-22$2人？〃因114-2)-2恒成立，则实数”的取值范围是()

4y

A.(一8,8+6后]B.[8-672.8+672]C.[8-6>/2,+co)D.[-1,4-x)

解：因为对一切正实数式，y,不等式2-2°”2X2。(§访.1一2)-2恒成立，

4y

即2+22-2sin'x+(s'\nx-2)a+2恒成立，

4y

.y9

令/(')=5+一，

4y

则一2sin2x+(sinx-2)a+，

因为y〉0,/(y)=5+2N2J"•—'=3»

当且仅当今=(,即y=6时，取“=

所以/(“历=3；

所以一2sin,x+(sinx-2)a+2,3,

即(2-sinx)a..-l-2sin，x恒成立.

因为Tx>0,sinxG[-l,I],

所以2-sinxw[I,3],

所以〃之士至必恒成立，

2-sinx

令f=2—sinx,则/w[1,3],

所以sinx=2-z，

所以aN__2(2_/)2=_9_27+8/=_(2+山)+8恒成立.

ttt

a

令g“)=_/_2/+8,/G[1,3],

则-Mx

因为/€[1,3J,

所以1ZN2P=M,

当且仅当2=2/,BPr=—6[1,3]时，等号成立，

t2

则g。)4-6-y2+8»

所以g⑺…=8-6夜・

所以〃之8-6亚，

所以实数〃的取值范围为[8-66，+00).

故选：C.

三,简答题(本大题共5题，共8+8+8+10+12=46分)

17.已知己为坐标原点，向量OA=(-2,m),=OC=(5,-1),若A,B,C三点共线，且加=2〃,

求实数m,〃的值.

解：AB=OB-OA=(n+2,\-m)=(n+2A-2n),BC=OC-OB=(5-n-2),

・・・A,B,C三点共线，

ABNBC,

.•.-2(〃+2)-(1-2〃)(5-〃)=0,化简得：2〃2-9〃+9=0,解得〃二3或二，

2

3

=6,〃=3或机=3,n=—.

2

18.在△ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若485^+/?854=208$4.

(I)求A的大小；

(2)若。=7,/?+c=13,求△ABC的面积.

解：(1)因为acos8+Z?cosA=2ccosA,

由正弦定理可得sinAcos8+sinBcosA=2sinCcosi4,

即sin(A+B)=2sinCeosA,

在△ABC中,sin(A4-B)=sinC>0,

所以cosA=—>

2

因为人u(0,不)，

所以A=J

3

(2)由(I)知，cosA=-,因为a=7,b+c=\3,

2

由余弦定理，得a2=b2+c2-2/?ccosA=[b+c)2-3bc,

即49=13?—3bc,得反=40,

所以△ABC的面积S=—/?csin>4=—x40x—=10>/3.

222

19.已知函数f(x)=26sinA-COSX-2sin2x.

（I）若角a的终边与单位圆交于点P（|1）,求f（a）的值;

(2)当时，求/")的单调递增区间和值域.

63

解：(I)二•角a的终边与单位圆交于点

43

/.sina=—,cosa=-，

55

f(a)=2^3sinacosa-2sin2a-2^3x—x--2x(—)2="近__iz.

■55525

(2)由f(x)=2>/3sinJICOS.r-2sin2x=sin2x+cos2x-\=2sin(2x+—)-1；

由2k兀~—<2x+—<2k^+—»

262

得，k7v--<x<k^+—

36f

Xxe[--,-l，所以/（x）的单调递增区间是xe[-工，》;

6366

Vxern[乃-]，

63

K-乃，5%

/.—K2x+一4—,

666

/.sin(2x+令KI,

故得f(x)的值域是[-2,I].

20.如图，某公司要在A、3两地连线上的定点C处建造广告牌CO,其中。为顶端，AC长35米，BC

长80米.设A、8在同一水平面上，从A、8看。的仰角分别为a、尸.

（I）设计中CD是铅垂方向，若要求。=2/，求CO的长（结果精确到0.01米）；

（2）施工完成后CO与铅垂方向有偏差，现实际测得a=39.82。，夕=19.48。，求CO的长和4co的大小

（结果精确到0.01米和0.01。）.

解：（1）根据题意可知，AC长35米，BC长80米,

设。。的长为x米，则tana=±,tanp=—,

3580

v0<a=2^<y,/.(ana=tanIp>0,则tana=［之⑦11?

2.A

即上=-80,=160x,解得：x=20加之28.28米，

2

35.,x26400-x

80

故CD的长为28.28米；

(2)由题设NAQ8=180。一。一£=120.7。,

根据正弦定理得"=一竺一，即。8="'sin39.82'185.65米,

sinasinZ.ADBsin120.7°

/.CD2=DB2+BC2-2DBBC-COSp=85.652+8O2-2x85.65x80xcos19.48°«816.37,则CD=28.57米,

又AD2=AB2+BD2-2AB-BD-cosfl则

八"八AC'+CD'-A。'AC2+BC3-AB3+2BD\,AB-BC)COHfi353+802-1152+2x85.65x35xcos19.48°八八”.，

cosZACD=----------------------=-------------------------------------------------------=-----------------------------------------------------=0.0262'

2ACCD2ACCD2x35x28.57

故CO的长为28.57米，NACO=88.50。.

21.已知函数/（x）=Asin（1>x+e）（A>0,|8|〈外的图象如图所示，点3,D,r为/a）与x轴的交点，点

C,E分别为了（幻的最高点和最低点，而函数/（处在犬=-；处取得最小值.

（I）求参数8的值；

（2）若4=1,求向量2BC-C/5与向量BC+3C7）夹角的余弦值;

（3）若点户为/"）函数图象上的动点，当点P在C,E之间运动时，8Pp户..1恒成立，求A的取值范

围.

解：（1）由函数/（x）=Asin（'x+⑼（4>0,［例<乃）在工=一；处取得最小值,

可得8-7=-1+2%乃，keZ,

所以e=2攵乃一(