2027七年级数学上册（人教）第2章 有理数的运算 单元自测卷（一）解析版

第2章有理数的运算•拔尖卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（25-26七年级上•福建泉州•期末）如图，数轴上的点4、B分别表示数a、b,下列结论成立的是（）

-A4---1--4_B►

a0b

A.a+b>0B.|«|<\b\C.a-b<0D.ab>0

【答案】C

【详解】解：由数轴可知,a<0<b,\a\>\b\,

.,・a+b<0,a-b<0,ab<0,

只有C选项正确.

2.（25-26七年级上•河南信阳・期末）下列说法中不正确的是（）

A.若ab<0,则，VOB.若|a|二Q，则a一定为正数

C.若ab=1,则a力互为倒数D.若a+b>0,则ab>0

【答案】B

【分析】本题考查倒数的定义、有理数的乘除法法则、绝对值的性质，需根据相关知识点逐一分析各选项

的正误.

【详解】解:A、因为ab<0,所以小。异号且均不为0,根据有理数除法法则，异号两数相除得负，所以

|<0,故A说法正确，不符合题意：

B、因为⑷=a,根据绝对值的性质可知aNO,即。为正数或0,并非一定为正数，故B说法错误，符合题

小.

目：

C、根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因为ab=L所以a、b互为倒数，故C说法正确，不

符合题意；

D、因为Q+b>0,所以a、力同号且均不为0,根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，所以帅>0,

故D说法正确，不符合题意；

故选：B.

3.（25-26九年级上•河南三门峡•期末）已知力种细菌在培养过程中，每隔半小时由1个分裂成2个，若培

养皿中约有30亿个4种细菌，经过2个小时之后，培养皿中的4种细菌的数量用科学记数法表示为（）

A.2.4xl0i°个B.24x10。个C.48x10。个D.4.8x00个

【答案】D

【分析】本题考查了有理数乘方的应用以及科学记数法，解题的关键是根据分裂次数确定细菌数量的变化

规律.

先计算2小时内细菌的分裂次数，再根据每次分裂数量翻倍的规律算出最终细菌总数，最后将结果转化为

科学记数法的标准形式.

【详解】解:v2小时包含的半小时个数为2・0.5=4,

经过2小时后细菌数量为30亿X2,=30亿X16=480亿.

•••科学记数法要求表示为QX10〃11工同V10,〃为整数），

••.480亿=480x108=4.8x1O10.

故选：D.

4.（24-25七年级上•重庆大足•月考）若田二3,|y|=2,且％Vy,那么％的值是（）

A.-5B.-1C.-5或-1D.-5或5

【答案】C

【分析】本题主要考查有理数的加法，有理数的减法，绝对值，由绝对值的定义可得％=±3,y=±2,结

合xvy,可确定x,y的取值，再利用有理数减法法则计算可求解.

【详解】解：•.•因=3,|y|=2,

-••%=±3,y=±2,

•:x<y,

=-3,y=±2,

•••x-y=-3—2=-5或%-y=-3-（-2）=—3+2=-1,

故选：C.

5.（25-26七年级上•广西河池•期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天

干和地支的总称.我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3,除以

10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3,除以12所得的余数（若余数为0,则对应天干序号为10,地

支序号为12）.以2026年为例,天干为：（2026-3）+10=202......3：地支为:

（2026-3）+12=168.......7；对照天干地支表得出,2026年为农历丙午年.

123456789101112

天

甲乙丙T戊己庚辛壬癸

干

地

子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

支

请你依据上述规律推断2035年为()

A.农历己巳年B.农历己卯年C.农历乙巳年D.农历乙卯年

【答案】D

【分析】根据给出的计算方法，分别列式计算即可.

【详解】解：天干为:(2035—3)+10=203……2,

地支为：(2035-3)+12=169......4,

故2035年为农历乙卯年.

6.(25-26七年级上•广东东莞•期中)观察下列算式：(-2)1=一2,(-2)2=4,(-2,二-8,(-2)4

=16,(-2)5=_32,(-2)6=64,(-2)7=一128…通过观察，用你发现的规律写出(-2)2°〃的末位数字

是()

A.2B.6C.4D.8

【答案】C

【分析】本题考查了乘方运算中末位数字的周期性规律，解题的关键是找出末位数字的循环周期，再通过

指数除以周期求余数确定结果.

观察已知算式的末位数字，发现其以2、4、8、6为一个循环周期；用指数2026除以周期4,根据余数判断

对应的末位数字.

【详解】解：观察算式可得，(-2尸的末位数字依次为九4、即6,以4为循环周期：

2026+4=506……2,余数为2；

余数为2对应循环周期中的第2个数字4,即(-2)2°26的末位数字是4；

故选：C.

7.(25-26七年级上•湖南长沙•期末)二进制在计算机科学中有广泛应用，计算机和依赖计算机的设备都使

用二进制来表示数字和数据，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为。或1,并利用角标表示二进制数，

例如，(1011)2就是二进制数1011的简单写法.在学习《进位制的认识与探究》后，小明查除了资料并进

行思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换.以98为例：

方法一：因为98=644-32+2=1X26+1x25+0x24+0X23+0x22+1x21+0x2°

所以98=(1100010)2.

方法二：可用如图的短除法算式表示：

余数低位

高位

请你根据以上材料，把123转换为由进制数是()

A.(1323)4B.(1313)4C.(3231)4D.(132)4

【答案】A

【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键.根据题意

列式计算即可.

【详解】解：123=1X43+3X42+2X41+3X4°,

则把123转换为四进制数是(1323)〃

故选:A.

8.(25-26七年级上•河北保定•期末)计算1-2+3-4+5-6+_+29-30时，嘉琪不小心把一个运算符号

写错•，结果得到21,则他写错的是哪个数前面的符号()

A.15B.16C.17D.18

【答案】D

【分析】本题考查有理数的加减、解一元一次方程，通过差值分析符号改变的影响，快速定位目标数字.

计算正确算式的结果为-15,实际得到21,相差36.写错一个运算符号相当于改变某个数字的符号，只有

将偶数前的负号改为正号才能使总和增加2倍该数值，从而求得该偶数为18.

【详解】解：1-2+3-4+5-6+...+29-30

=(1-2)+(3-4)+...+(29-30)

=15x(-l)

=-15,

实际得到21,差值21—(-15)=36,

设写错的数字为〃，其原本符号为S（〃为奇数时s=+l,〃为偶数时s=—l）,

改变符号后，总和变化为-2sx〃=36.

若〃为奇数，s=+l,则一2x1X71=-2几=36,n=-18（舍去）.

若n为偶数，s=—1»则一2X（-1）xn=2n=36,

•••几=18.

••.写错的是18前面的符号.

故选：D.

9.（25-26七年级上•浙江嘉兴•期末）已知|%-3|+|x+2|的最小值是d|%—3|一氏+2|的最大值是匕,则。+b=

（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，化简绝对值，利用绝对值的几何意义，分别求出两个绝对值表

达式的最值，再计算a+匕的值.

【详解】解：氏-3|表示数轴上点x到3的距离，1%+2|表示数轴上点x到-2的距离.

••・当-2W%W3时，I%—3|+|%+2］取得最小值,

•••a=3—x+x+2=5,

当工三一2时，

|x-3|—|x4-2|=—（X—3）—［―（x+2）］=3—%+%+2=5,

当-2VxV3时，

|x-3|-|x+2|=3-X-X-2=1-2%<5,

当时，

|x-3|-|x+2|=x-3-x-2=-5,

:.b=5,

•••Q+b=5+5=10.

故选:B

10.（25-26七年级上•广东深圳•期中）如图，已知在数轴上有一条从-4到4的线段，长度为8个单位.将这

条线段沿，点乂折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为3：1：1,则点4所表示的数不

可能是（）.

折费前折叠后』

।」」」』」」」」________»IIA,______J

-4-3-2-101234-4燃JA4

A.0B.-1.6C.1.6D.-0.8

【答案】D

【分析】本题考查了数轴与线段结合的题型，解题的关键是列出这三条线段所有可能排列的顺序.首先根

据三条线段的长度之比求出三条线段的长度，列出所有可能的情况，分情况求出折痕处对应的数.

【详解】解：当三条线段其长度之比为3:1:1时,

3241818

三条线段的长度分别为：8乂？=m、8X-=5'8X5=5»

折痕对应的点所表示的数为：-4+g+《xg=1.6：

当三条线段其长度之比为1:3:1时，

«oo2418

三条线段的长度分别为：8X7=5>8Xq=M、8X7=5，

折痕对应的点所表示的数为：一4+《+葛乂M0；

当三条线段其长度之比为1:1:3时，

1818324

三条线段的长度分别为：8x-=8x-=^：8x-=

折痕对应的点所表示的数为：-4+£+gxJ=-1.6：

综上所述，点力所表示的数不可能是-0.8.

故选：D.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.把1到9这9个数字分别填入如图所示3x3方格中，使得三阶幻方每行、每列、每条对角线上的三个

数之和都相等，则图中。与的积为.

a8

95

b

【答案】24

【分析】先根据1到9的总和求出三阶幻方的幻和，再利用每行、每列、对角线的和等于幻和，依次求出Q与

匕的值，最后计算a与b的乘积.

【详解】解：•♦■1+2+3+...+9=45,三阶幻方每行三个数之和相等，

45

•••幺.和为丁=15.

设左下角的数为C,

根据右上到左下对角线的和为幻和，可得：8+5+c=15,

解得：c=2.

根据第一列的和为幻和，可得：a+9+c=15,

代入c=2,得Q+9+2=15,解得Q=4.

根据左上到右下对角线的和为幻和，可得：a+5+b=15,

代入Q=4,得4+5+b=15,解得匕=6.

•••axZ?=4x6=24.

12.某公园内有一矩形人行道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列

而成.如图表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有60块.则人行道上总共使

用块三角形地砖.

【答案】124

【分析】观察图形，找出正方形地砖数量与三角形地砖数量之间的规律，即可求解.

【详解】解：由题意可得，三角形地砖数为：3+60x2+1=124(块)，

•••人行道上总共使用124块三角形地砖.

n5

13.(25-26七年级上•福建漳州•期末)若规定/'(n)=2的个位数字，例如2?=4,所以/(2)=4,2

=32,所以"5)=2,那么计算/⑴+f(2)+八3)+/(4)+…+/(2025)=.

【答案】10122

【分析】首先通过计算前儿个/(九)的值，发现其个位数字以2、4、8、6为一个循环，每个循环的和为20；

接着计算2025中包含多少个完整循环及余下的数字个数，最后根据循环数与余下数字计算总和.

【详解】解：先计算前几个f(n)的值:

,••21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,

•••f⑴=2；f(2)=4；f⑶=8；/(4)=6；f(5)=2；

观察可得，/(九)的个位数字以2、4、8、6为一个循环，每个循环内数字的和为2+4+8+6=20.

•••2025+4=506……1,

•••共有506个完整的循环，还余下1个数字，该数字为循环节的第一个数2.

则总和为506x20+2=10120+2=10122.

14.(25-26九年级上•重庆江北•期末)己知bl-y=-2,R,lyl4-x=6,则x+y的佰为.

【答案】6

【分析】先根据绝对值的非负性由第一个方程确定y的取值范围，进而化简第二个方程中的绝对值，再通

过代入消元结合绝对值的分类讨论求解小p的值，最后计算x+y.

【详解】解：由田一丫二一2得l%l=y—2,根据绝对值的非负性可知y—2N0,即yN2,贝i」M=y；

将M=y代入|y|+工=6,得y+x=6,即y=6-x；

把),=6-%代入|刈=y-2,得|汨=6-x-2=4-x；

分两种情况讨论：

1.当工工0时，田=%,则x=4-%,解得％=2,

将x=2代入y=6—x,得y=6—2=4,

验证：将％=2,y=4代入原方程，|2|-4=2-4=-2,|引+2=4+2=6,均成立，

此时％+y=2+4=6；

2.当x<0时，|x|=-x,则-x=4-x,移项得-x+x=4,即0=4,等式不成立，此情况舍去.

【点睛】注意分类讨论的思想.

15.(25-26七年级上•陕西西安•期末)规定：f(x)=|x-8|,g(x)=/+6].例如f(-2)=|-2-8|=10,

g(—2)=|-2+6|=4.^f(lO-x)+g(%-3)的最小值是.

【答案】5

【分析】本题考查求代数式的最值问题及绝对值的几何意义，解^的关键是熟练掌握绝对值的几何意义.根

据题意将f(lO-x)+gQ-3)表示由来，利用数轴上点到两点的距离和求最小值即可.

【详解】解：由定义，/(10-x)=|(10-x)-8|=|2-x|,g(x-3)=|(x-3)+6|=|x+3|,

故/(10r)+g(x-3)=\x-2\+\x+3|.

此式表示数轴上点3到点2和点-3的距离之和.

故当》在一3到2之间(含端点)时，距离之和最小，最小值为2-(-3)=5.

故答案为：5.

16.(25-26七年级下•黑龙江大庆•期中)爱动脑筋的小明设计了一种"幻圆"游戏，将1,-2,3,-4,5,

-6,7,-8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将1,-2,

一6,7这四个数填入了圆圈，则图中7九一九的值为

【答案】7或-7

【分析】求得横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为-2,求得。力的值，即可得到m,九的值，代入求解即可.

【详解】解：•.•1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+7+(—8)=—4,-4+2=-2,

二1+Q+7+(—2)=—2,-6+1+b+(—2)=-2,

即：a=-8力=5,

••,—6+m+n+b=—2,

■,•7n+n=-1,

当m=3,几=-4时，m-n=3-(-4)=7,

当m=—4,n=3时，m—n=—4—3=—7,

综上：m-n=7或一7.

三、解答题(本大题共7小题，满分72分)

17.(6分)(25-26七年级上•江苏南京・期末)计算：

⑴-)+(一a)；

(2)-14-(1-0.5)x2-r(-3)2.

【答案】(1)5

(2)-v

【详解】(1)解：原式二6一［一；)乂(-12)

111

=-x(-12)--x(-12)--x(-12)

=(-4)-(-3)-(-6)

=-4+3+6

(2)解：原式=-l-Jx2+9

1

=-1-§

10

=-V•

18.(8分)(24-25七年级上•云南昆明•期末)探究规律，完成相关题目.

定义“*〃运算：

(+2)*(+4)=+(2?+42)；(-4)♦(-7)=+[(-4y+(-7)2]；

(一2)*(+4)=-[(-2)2+(+4再；(+5)*(-7)=-[(+5/+(-7)2]；

0♦(—5)=(-5)*0=(-5)2；(+3)*0=0*(+3)=(+3)2.

0*0=02+02=0.

⑴(-5)*(-2)=；

(2)已知：(+1)“0・可=17,其中，a为负数,求口的值：

⑶是否存在有理数〃?，〃，使得(根-1)*(九+2)=0,若存在，求出〃?，〃的值，若不存在，说明理由.

【答案】(1)29

(2)。=-2

(3)存在，m=l,n=-2,理由见详解

【详解】⑴解:由题意得，(一洋*(-2)=[(-5y+(-2月=29；

(2)解：由题意得，[0*©=Q：

+1)*a2=+[l2+(a2)2]=l24-a4,

...1+Q4=17,

•,•a4=16,

解得a=-2或a=2,

・；a为负数,

•••a=-2；

(3)解：存在m=Ln=-2,理由如下，

(m-1)*(n+2)=±[(m-1')2+(n+2)2]=0,

v(m-l)2>0,(n+2)2>o,

•••TH-1=0,71+2=0,

解得，m=1,n=-2

19.(10分)(25-26七年级上•内蒙古乌兰察布•期中)对于数轴上的4B,。三点，给出如下定义若其中

一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“唯美点〃例如，数轴上点

A,B,C所表示的数分别为0,2.3,此时点4是点儿。的"唯美点”.

⑴若点力表示的数为-点表示的数为下列各数一所对应的点分别为，。

1,83,3,5,7Ci,C2,Q4,

其中是点48的“唯美点〃的是「

(2)点力表示的数为。(。为整数)，点6表示的数为Q+5,点/是数轴上的一个动点，对应的数用，表示

若t>Q,且点力、B、7中有一个点恰好是其他两个点的“唯美点〃，则满足条件的/的值有一个，其中非整数

，的值为一(用含有。的代数式表示).

【答案】

(1)C2,C4

515510

(2)6,。+5或。+三或。+彳或。+7

【分析】(根据数轴上两点间的距离公式分别求出点和点到，，的四个点的距离，再根据

1)48CiC2,Q

“唯美点〃的定义判断即可：

(2)先求出力7=t-a,B7=|a+5-1|,AB=5,再分三种情况：当4是8、丁的“唯美点”时，当8是4、

7■的“唯美点”时,当7■是48的“唯美点”时,根据“唯美点”的定义建立方程分别求解,最后，得到非整数f

的值即可.

14

【详解】(解：由题意,得=|一一(一)

1)4cI13)|=2,AC2=3-(-1=r^3=5-(-1)=6,AC4

=7—(-1)=8,

18

，

BC1=3-(-3)=6,BC2=3-3=§BC3=5-3=2,BC4=7-3=4,

：

.BC2=2AC2,AC4=2BC4,

或是点4,B的“唯美点〃：

(2)解：由题意，得AT=t—a,BT=I。+5—1|,AB=5,

当A是8、7■的“唯美点"时，贝美8=2AT或AT=243,

：.2(t—a)=5或t—a=10»

•••t=a+母或£=a+10；

当B是4、r的“唯美点”时，则力6=287或BT=24B,

.•.2|Q+5-t|=5或I。+5-t|=10,

•••a+5-t=±5或Q+5-t=±10.

.••t=Q+缄£=a+学或£=Q+15或t=a-5（舍去）；

当「是4、8的“唯美点〃时，则47=28r或8T=2AT,

a）=|a+5—£|或t—Q=2|a+5一£|,

■,•a+5-t=±2（t-a）或t-a=±2（a+5—t）,

5、io

••.t=a+三或t=a-5（舍去）或t=a+1■或t=a+10,

综上，t=a+?或t=a+10或t=a+'^或t=a+15或t=a+:或t=a+

•••t（I勺值一共有6个，其中非整数t的值为a+缄a+亨或a+母或a+y.

【点睛】掌握两点间的距离公式及“唯美点”的定义，能得出217=亡一。，BT=\a+5-t\,AB=5f再分三种

情况:当A是8、7•的"唯美点”时,当8是4、7的“唯美点〃时，当7•是4、8的“唯美点”时，进行"分类讨论”

是解决问题的关键.

20.（10分）（25-26九年级下•湖北恩施•期中）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A,B,C,D

四家经销商销售.当一家经销商将分配到的〃台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：

万元）与〃的对应关系如下：

n=1n=2n=3n=4n=5n=6・・・

A4060/////

B30557590100105/

C204060708090・・・

D14386286110134・・・

⑴如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售

出后企业获得的总利润最大，应向经销商分配2台设备（填或"D"）；

⑵如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销小，那么6台设备都售出后，企业可获得的

总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由.

【答案】（1）B

（2）6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是157万元，理由见解析

【分析】（1）分别计算向各经销商分配2台时的总利润，比较即可得答案；

（2）分别求出分配给一家时，两家时，三家时，四家时的最大利润，比较即可得答案.

【详解】（1）解：当向经销商A分配2台设备时，即人2131（：1口1,总利润为60+30+20+14=124万元；

当问经销商B分配2台设备时，即/、182（：1口1,总利润为40+55+20+14=129万元；

当向经销商C分配2台设备时，即从18葭2口1,总利润为40+30+40+14=124万元；

当向经销商D分配2台设备时，即庆1131（：1口2,总利润为40+30+20+38=128万元：

v129>128>124=124,

为使5台设备都售出后企'也获得的总利润最大，应向经俏商B分配2台设备；

（2）解：6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是157万元，理由如下：

当分配给一家时.，总利润的最大值为D6,134万元；

当分配给两家时，总利润的最大值为A2B4,60+90=150万元;

当分配给三家时，有：

A2B2C2,利润为60+55+40=155万元；

A2B3C1,利涧为60十75+20=155万元；

A1B2D3,利润为40+55+62=157万元；

此时，总利润的最大值为A1B2D3,157万元;

当分配四家时，总利润的最大值为A1B2C1D2,40+55+20+38=153万元;

v157>153>150>134,

•••6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是157万元.

21.（12分）（25-26七年级上•宁夏中卫•期中）综合与探究：

【概念学习】

类比有理数的乘方运算，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如

2+2+2,记作2③，读作〃2的圈3次方〃，（-3）+（-3）+（-3）+（-3）,记作（一3）④，读作"（一3）的圈4

次方”，一般地把乌+。如巴+…+2（QH0）写作/，读作“a的圈〃次方

ri个a

【初步探究】

（1）直接写出计算结果：2③=_；（-1）-=_.

【深入思考】

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运

算如何转化为乘方运算呢？

2

除方~>2④=2+2+2+2=2x；x：xJ=今乘方某的形式

(2)试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方累的形式：(-3)⑤=_,

(3)算一算：(T6)+2③+12x(-?°.

(4)小明深入思考后发现：“除方〃运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成曷的形式，请推导出“除方〃

的运算公式屋1(〃为正整数，a,0,n>2),要求写出推导过程，将结果写成乘方幕的形式.(结果用含

a,n的式子表示)

3

【答案】(1)-2；(2)(一J,54；(3)76：(4)(1)n-2

【分析】(1)由新定义列出算式计算即可；

(2)根据新定义列出算式，化为乘方形式即可；

(3)根据新定义列出算式，化为乘方形式即可；

(4)根据新定义计算即可.

【详解】解:⑴2③=2+2+2另，(-乡”=(-3+(-9+(-？=一2；

3

(2)(-3)®=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=(-3)x(-0x(-0x(-1)x(-1)=(-1),

(T)⑥=3+(-3+(-1)++(-1)+(-XX5X5X5X5X5=5'

(3)(-16)+2③+12x(一乡④=(-16)+(2+2+2)+12x=(-16)

+12x9=-32+108=76：

ci11/2

(4)a=a+a+…+a=(a+a)+a+…+a=i+a+,・・+a=ix£X…x^=J

rt乔azi-N个a〃一7个a,乞人\

22.(12分)(25-26七年级上•广东肇庆•期末)数轴是初中数学的一-个重要工具，任何一个有理数都可以

用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合''的基础.

【知识呈现】

新定义：我们规定：点力，A在数轴上分别表示数以，不，则4”两点之间的距离可表示为：1力8|=

14一41，如式子|6-3|,它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子|6+3|=

|6-(-3)|,它在数轴上的意义是表示6的点与表示-3的点之间的距离.

【初步理解】

(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是:数轴上表示-2.5和5.2的两点之间的距离是：

(2)已知数轴上点4所表示的数是-1,点4所表示的数是6,x表示数轴上任意一点，则氏+1|+氏一6|

的最小值是;

【深入探究】

（3）结合数轴，利用以上的新定义求式子1%+2|+氏-1|+氏-4|的最小值，求出此时x的值，并简单说明

理由.

【实际应用】

（4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图

（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一

个小区处建一个公交站台，使所是公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小

区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少？（不用说明理由）

梦

竹

名

兴

园

园

园

园

小

小

小

小

区

区

区

区

，

，

—

—

【答案】（1）3,7.7；（2）7：（3）工=1时，式子|%+2|+7-1|+|%-4|有最小值为6,见解析；（4）

公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米

【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距禽，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是

解题的关键.

（1）利用两点距离公式计算即可；

（2）根据题意知式子表示数轴上一点到表示-1、6的点的距离之和，利用两点距离公式计算即可：

（3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到表示-2、1、4的点的距离之和，根据数轴即可求解；

（4）由上一问可知，公交站应在兴园小区和名园小区之间的两个小区时距离之和最小，答案可得.

【详解】解：（1）由题可知，2和5两点的距离可表示为|5-2|=3,

-2.5和5.2两点的距离可表示为|-2.5-5.2|=7.7,

故答案为3,7.7：

（2）|x+l|+设-6|表示数轴上表示工的点到表示-1和6的点的距离之和,

当一1WXW6时，|%+”+|%-6|有最小值,最小值为=7,

故答案为：7：

（3）根据新定义可知，1%+2|表示数轴上表示》的点P到表示-2的点C之间的距离，

1%-1|表示数轴上表示x的点尸到表示1的点。之间的距离，

氏-4|表示数轴上表示％的点P到表示4的点E之间的距离，

如图，代数式1%+2|+|%-1|+|%-4|存在最小值,即PC+PD+PE存在最小值,

所以当点P与点。重合，即无=1时，尸C+PO+PE有最小值，此时最小值为6,

所以当％=1时，式子1%+2|+|x-l|+|%-4|有最小值为6：

CPDE

—।---，1・1，।-----1，।—>

-3-2-1012345

（4）由题意，当所建公交站台在兴园小区和名园小区之间时，到兴园小区和名园小区的距离之和最小，当

所建公交站台仕梦园小区和竹园小区之间时，到梦园小区和竹园小区的距离之和最小，

故为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到

四个小区距离之和的最小值为4X800=3200米.

23.（14分）（25-26七年级上•广东珠海•期中）数