2025-2026学年广东省深圳某中学校九年级（上）期中数学试卷（含答案）

2025・2026学年广东省深圳中学梅香学校九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）

1.（3分）原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的主视图是（)

A.(x-2)2=2B.(x+2)2=2C.(x-2)2=-2D.(x-2)2=6

3.（3分）如图，直线直线〃，b与h，，2,，3分别交于点儿B,C和点。，E,F.若4B：BC

=2：3,DF=10,则E尸的长是（）

A.4B.4.5C.5D.6

4.（3分）绿豆芽，为豆科植物绿豆的种子经浸泡后发出的嫩芽，绿豆在发芽过程中，维生素C会增加很

多，而且部分蛋白质也会分解为各种人体所需的氨基酸，可达到绿豆原含量的七倍，所以绿豆芽的营养

价值比绿豆更大.某农产品生产基地用一批绿豆种子制作绿豆芽，通过大量重复试验，发现这批绿豆种

子的发芽率在0.95附近波动，估计1000奴这样的绿豆种子中发芽的有（）

A.855超B.810依C.950AgD.450依

5.（3分）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如

图，将边长为2a〃的正方形/8CO沿对角线8。方向平移2”?得到正方形4'夕CD',形成一个

“方胜”图案，则点力，夕之间的距离为（）

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A.（2-V2）cmB.（2^2-2）cinC.2cmD.2近cm

6.（3分）电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩.据不完全统计，全国第一天票房约（）.5

亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，将增长率记作工，则方程可

以列为（）

A.0.5+0.5.V+0.5X2=2

B.0.5（1+x）2=2

C.(1+x)2=2

D.0.5+0.5(l+x)+0.5(1+x)2=2

7.（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数刈=履+3（A,是常数，且KW0）与反比例函数以=回

的图象交于力（-3,-2）,B（2,m）两点，则不等式h+3>0的解集是（)

A.-3<x<2B.x<-3或工>2

C.-3VxV0或x>2D.0<x<2

8.（3分）汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域.某型号小汽车的

车头盲区（见图1）可以近似看作矩形.如图2,驾驶该型号汽车时司机视线高度48=1.5米，车前盖

最高处与地面距离。。=1米，驾驶员与车头水平距离8"=2米，车前盖最高处与车头水平距离

0.5米，点M在b上，历f=（）.8米.则ME的长是（）

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“句见区域

•三:可见区域

、、

图1图2

A.1.7米B.2.2米C.2.5米D.3米

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9.（3分）若方程『-6.什%=0有两个不相等的实数根，则A的取值范围是.

10.（3分）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调.通过实验发

现，当水面高度8。与瓶高4。之比为黄金比（约等于0.61B）时，可以发出“sol”的音符.若力。=

12。〃，且可以发出“sol”的音符，则水面高度4c为.（精确至iJO.lcm）

A

o-

cuUUULJUOC

11.（3分）如图，A/BC与ADEF位似,其位似中心为点O,且竺=2,若的面积为4,则尸

BE3

的面积为.

12.（3分）☆］数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如/+公=房（〃>0,b>0）的

方程的图解法如下：如图，以壬和力为两直角边长作Rt△4BC,再在斜边上截取BD4，则力。的长就

22

是所求方程的正根.

利用以上方法解关于x的一元二次方程/+〃a=36时，若构造后的图形满足AD=2BD,则m的值

为.

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2

13.（3分）如图，矩形力8c。中，4B=4,AD=2,连接/IC,NACO的平分线交力。于点£过点。作

。凡LCE于点G,分别交力。、4B于点、H、八点尸是线段GC上的任意一点，且PQ_L/iC于点0,连

接PH，则下列结论正确的有.（填写序号）

①。〃=2QG：

②CP・CB=CQ*DF；

③S&CDE：S/Q"=3:1;

14.(8分)解方程：

(1)x2-5工+4=0；

(2)3x(2x4-1)=4x+2.

15.（6分）秦腔，别称“梆子腔”，中国汉族最古老的戏剧之一，源于西府，成熟于秦，是戏曲音乐文化

发展的根基，它深刻诠释了汉文化的发展，同时也承载着广大西部地区人民的精神寄托，是人们互相交

流情感的一种方式.李爷爷，需要各自从下面四部曲目中分别随机选择一部进行表演，如图所示，其余

均相同.卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上.

（1）李爷爷从中随机抽取一张，卡片正面是“O.龙凤呈祥”的概率是；

（2）若李爷爷先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，刘爷爷再从剩下的3张卡片中随机抽取一张,

求他们两人中，有一个人抽中“4.周仁回府”这个曲目的概

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率.A周仁回府B三娘教子C白蛇传D龙凤呈祥

16.（8分）如图，△力8c的顶点坐标分别为力（1,1）,B（2,3）,C（3,0）.

（1）作出△川完?关于x轴对称的图形△44iCi；

（2）在第三象限内，以点O为位似中心作出△力8c的位似图形△力2%。2，使它与原图的相似比为2：

17.（8分）综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板N8C。（规格：AB=

40（77/,BC=\00cm）,要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒.小明按照图2裁剪，恰好得到收

纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，尸。和MN两边恰好重合且无重叠部分,

如图3所示.

（1）若收纳盒高是10cm,则该收纳盒底面的边切=cm,EH=cm,

（2）如图3,若收纳盒的底面积是350c〃落如图%一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计

算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（不考虑倾斜放入且要盅上盖子）

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18.（8分）如图所示，在△48。中，AB=AC,4。是中线，⑷/是的外角NC4W的平分线，C£_L

AN,垂足为£

（1）求证：四边形4OCE是矩形；

（2）连接BE,若力C=IO,BC=n,求8E的长.

19.（11分）如图I左图所示是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔椽在井上汲水的情境（杠

杆原理：阻力X阻力臂=动力X动力臂，即自乂匕=成义"）.受桔椽的启发，小轩组装了如图1右图

所示的装置.，其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点。距左端乙i=l〃7,距右端心=（）4%在

杠杆左端悬挂重力为80N的物体4

（1）若在杠杆右端挂重物4,杠杆在水平位置平衡时，重物4所受拉力为N；

（2）为「让装置有更多的使用空间，小轩准备调整装置，当重物8的质量变化时，Q的长度随之变

化.设重物8的质量为xM上的长度为川小则：

①y关于x的函数解析式是;

②根据下表，填空：

③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象；

（3）在（2）的条件下，若点力的坐标为（20,0）,点8的坐标为（0,2）,在函数的图象上存在点C

使得SAJ8c=40，请求出所有满足条件的点C的坐标.

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20.（12分）综合与实践

如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且

该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分

点”.

（1）理解应用

如图1,在匚中，AEA^BD于点P,交CD于点E,若E为CZ）的三等分点，则口相8是垂对三

等分平行四边形，。是垂三等分点.若DE」CD，DE=77，8P=6,则。尸=；AD

3

（2）问题探究

如图2,在垂对三等分平行四边形中，P是垂三等分点，且满足AE』AB.若CE=CB,试猜想

3

4。与的数量关系，并说明理由.

（3）拓展延伸

如图3,已知四边形48CO是矩形，过点力作片从L8。于点P,交.CD于•点、E,48=6,当四边形

是垂对三等分平行四边形时，直接写出力。的长度.

图1图2图3

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2025・2026学年广东省深圳中学梅香学校九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）

1.【答案】A

【解答】解：如图所示的儿何体的主视图如下:

故选：A.

【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图：用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物

体的正面，左面，上面看得到的图形.

2.【答案】A

【解答】解：把方程『-4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到『-4x=-2,

方程两边I可时加上一次项系数一半的平方，得到X?-4A-+4=-2+4,

配方得（x-2）2=2.

故选：A.

【点评】配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

3.【答案】D

【解答】解：•・•直线/|〃/2〃小直线。，方与人，，2,，3分别交于点4,B,C和点。，E,F,

•・•DEAB,

DFAC

■:AB：BC=2：3,AC=AB+BC,

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:,AB：AC=2：(2+3)=2：5,

VDF=10,

•.•DE二^2—,

105

，O£=4,

:.EF=DF-DE=\4-4=6,

故选：O.

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

是解题的关键.

4.【答案】C

【解答】解：根据题意知，估计1000这这样的绿豆种子中发芽的有1000X0.95=950(kg).

故选：C.

【点评】本题主要考查模拟实验以及利用频率估计概率，大箕重复实验时，事件发生的频率在某个固定

位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概

率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

5.【答案】B

【解答】解：・・Z8C48C。是：E方形，

：,BD=yp2AB=2\[2(。〃)，

由题意44,=2。〃，

:・B'D=(2V2-2)cm.

故选：B.

【点评】本题考查利用平移设计图案，全等图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

6.【答案】D

【解答】解：由题意得：0.5+0.5(1+x)+0.5(1+x)2=2,

故选：D.

【点评】本题考杳了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

7.【答案】C

【解答】解：•・•一次函数月=h+3(A是常数，且4#())与反比例函数及=2的图象交于/(-3,-

2),B(2,w)两点,

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，不等式h+3>立的解集是-3<x<0或x>2.

x

故选：C.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键.

8.【答案】A

【解答】解：由题意得：CD工BF,

VZF=NF,

:.△CFDsXAFB,

•.•DF-―CD〉

BFAB

・MF+O.8+0.5―1

•・MF+0.8+2TT，

解得：M/=L7,

故选：A.

【点评】本题考查了相似三角形的应用，视点、视角和盲区，准确熟练地进行计算是解题的关键.

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

9.【答案】见试题解答内容

【解答】解：•・•方程x2-6x+%=0有两个不相等的实数根，

A=62-4&>0

解得：k<9,

故答案为：k<9.

【点评】本题考查了根的判别式，当△>()时，方程有两个不相等的实数根：当八=0时方程有两个相

等的实数根；当AVO时，方程无实数根.

10.【答案】1.4cm.

【解答】解；•・•水面高度，C与瓶高之比为黄金比，AC=\2cm,

二860.6186c=0.618X12=7.4(cm),

工水面高度8c约为7.4cm,

故答案为：7.4cm.

【点评】本题考查了黄金分割，近似数和有效数字，准确熟练地进行计算是解题的关键.

11.【答案】25.

第10页(共22页)

【解答】解：・・・旦殳=2,

BE3

・OB2

OE5

•••△/8C与△£）£下的相似比为2,

5

:.AABC与4DEF的面积比为W-.

25

•••△/6C的面积为4,

•••△OE厂的面积为25.

故答案为：25.

【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键.

12.【答案】3V2.

【解答】解：根据题意，构造图形如图所示：

2

则4c=6,BC=BD啜，

乙

•；AD=2BD,

••AD=m9

即〃？就是一+〃?》=36的一个正根,

••・〃?2+帆2=36

解得m=3>/2（负值己舍）.

故答案为：3近.

【点评】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键.

13.【答案】故选结论①②④.

【解答】结论①：DH=2DG推导：

•/CE平分N4CQ,

:・NDCE=N/iCE,

•:DGtCE,

・・・NQGC=/CGH=90°，

第11页（共22页）

:•△CGDWMGH(ASA),

:.DG=GH,

:・DH=2DG,

故①符合题意；

结论②：VCE平分N/C。，

，ZDCE=ZACE,

*：PQ±AC,

.•・NC尸0=90。-ZCPQ,

*：AB//CD,

，/4FD=NCDG,

*：DGLEC,

・・・NCQG=90°-ZDCG,

，ZDFA=ZCPQ,

•••△CPQs△。/<4,

ACP：DF=CQ：AD,

•:BC=4D,

：.CP*BC=DF*CQ,

.结论②正确.

结论③：':/ADF=/ECE,

:.△CDES/\DAF,

ACD：AD=2t1,

；・SKDE：S〉DAF=4：1；

结论③错误.

结论④：PH+PQ的最小值为

推导：

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过点〃作〃T_LCO交于r,交CE于K,过K作KR_L/1C交于火，

•・•(?£平分NQC〃，KT-LCD,KR±AC,

：.KR+KH=KT+KH=HT,

当p点与K点重合时，P〃+P。有最小值，最小值为的长，

•:AB〃CD,

：.ZTCH=ZBAC,

VZ5=90°,HT1CD,

:./B=NGTC=90°,

:./XABCsACTH,

・.里=胆即2=_L,

HTCTKTCT

：.CT=2HT,

由①可知，ACDGqACHG(ASA),

：.CH=CD=4r

在RtACHC中,(2HT)2+社=△,

解得，r=生叵，

5

:,PH+PQ的最小值为#L,

结论④正确.

故选结论①②④.

【点评】本题考查矩形的性质，熟练掌握角平分线的定义，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判

定及性质是解题的关键.

三、解答题(本题共7小题，共61分)

14.【答案】(1)xi=l,X2=4；

【解答】角华：(1)x2-5x+4=0,

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(jr-1)(x-4)=0,

则x-1=0或x-4=0,

所以jq=l,X2=4；

(2)3x(2x+l)=4x+2,

3x(2x+l)-2(2x+l)=0,

(2x+l)(3x-2)=0,

则2x+l=0或3x-2=0,

所以X[=—―,Xo~~,

1223

【点评】本题主要考查了解•元二次方程-因式分解法，熟知因式分解法解•元二次方程的步骤是解题

的关键.

15.【答案】⑴

4

【解答】解：(1)由题意可得，

李爷爷从中随机抽取一张，卡片正面是龙凤呈祥”的概率是1,

4

故答案为：1；

4

(2)树状图如下:

开始

/N/N

BCDACDABDABC

由上可得，一共有12种等可能性，其中有一个人抽中“4周仁回府”这个曲目的可能性有6种，

・•・有一个人抽中“4周仁回府”这个曲目的概率为且=工

122

【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求

出相应的概率.

16,【答案】(1)△48C关于x轴对称的图形△小办G，如图1即为所求；

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(2)与△4?C的相似比为比1的△/2&C2,如图2即为所求;

y

图2

(3)10.

【解答】解：(1)△力8c关于x轴对称的图形△小“iG，如图1即为所求:

第15页(共22页)

图1

（2）与△4?C的相似比为比1的△/2&C2,如图2即为所求;

y

-6

-4

■3

-2

0

二3-

•^4--

.2-

%

图2

(3)△42&。2的面积=4X6--X2X6--X2X4-—X4X2=10,

222

故答案为；10.

【点评】本题考查了作图-位似变换，作图-轴对称变换，三角形的面积，掌握轴对称图形和位似图形

的性质是解题的关键.

17.【答案】（1）20,40；

（2）不能.

【解答】解：⑴由题意得，所=40-2X10=202?，£”=100-2义10=40Cem）.

2

第16页（共22页）

故答案为:20；40；

(2)设收纳盒高为用加，

y(100-2x)(40-2x)=350*

，xi=15,冷=55(舍去)，

，收纳盒长、宽、高分别为35c”?、1()“〃、15c,/〃，

10c，”V15cm,

・••玩具机械狗不能放入该收纳盒.

【点评】本题主要考查了长方体展开图的特点，一元二次方程的实际应用，正确找到等量关系列出方程

是解题关键.

18.【答案】(1)证明：是中线,AB=AC,

•••CD^BC，N4OC=90"，ZBAD=ZCAD=|ZBAC»

又・・1N平分NM4。，

•'•ZNAC=yZMAC*

,ZDAN=ZCAD+ZNA0(ZBAC+ZMAC)=90"，

又・・・CE_L4V,

/.ZAEC=90°,

，四边形力OCE是矩形：

(2)4V13.

【解答】(1)证明：•・1。是中线，AB=AC,

ZJDC=90°,ZBAD=ZCAD^-ZBAC»

乂♦:AN平分/MAD,

・•・/NAC=；/HAC，

•••ZDAN=ZCAD+ZNA0(ZBAC+ZMAC)=90"，

乙

又♦:CELAN,

，/4EC=90°,

，四边形力。"是矩形：

(2)解:・：BC=12,

第17页(共22页)

：,CD=6,

工AD^/AC2-CD2=8*

•・•四边形力。C£是矩形,

：,ZBCE=90a,CE=AD=S,

BEWCE2+BC2=V122+82=4^13•

【点评】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵

活运用.

19.【答案】(1)200M

（2）①尸他;

②4=4,6=邑

5

③见解析：

(3)(40,2)或(20,4).

【解答】解：(1)*：FAXLi=FBXL2f£|=lw,A2=0.4W,或=80N,

・♦.户8=121%=200(N),

0.4

・•・重物8所受拉力为200M

故答案为：200：

（2）①由丹X〃=&X£2得80乂1=孙，则丁=迎,

・・・歹关于x的函数解析式为），=9,

x

故答案为：y=毁：

②当x=20时，〃=毁=4

20

当x=50时，8=迎=8,

505

故答案为：4；—；

5

③列表如下：

描点，连线，可得该函数的图象，如图1即为所求;

第18页（共22页）

图1

（3）如图2,

SI2

由题意，设。（«,他），

a

丁点力的坐标为（20,0）,点8的坐标为（0,2）,

SaOH8=《X2a-Xx20X^2.-Xx2X20=a+8°°-2°，

22a2a

由4+世2・20=40,

a

解得〃i=40,“2=20，

经检验，a=40和口=20是所列方程的解，

当a=40时，8080=2,当a=20时，毁=4,

a4020

，点。的坐标为（40,2）或或（20,4）.

【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解

答的关键.

20.【答案】（1）2；V31；

第19页（共22页）

（2）BD=2BC,理由见解答过程;

(3)27”或2&;理由见解答过程.

【解答】解：(1)・・・DE」CD，DE诉

3

ACD=3DE=3V7,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

:.AB〃CD、AB-CD=3V7»

:•△DEPS/\BAP,

•DEDPHnV7DP

ABBP3776

：,DP=2.

•；AE工BD,

在尸中，由勾股定理得：APWAB^-BP^=7(