苏科版九年级数学上册：点与圆、直线与圆的位置关系（能力提升）

点与圆、直线与圆的位置关系

题型一圆外切四边形

1.如图，。0是四边形48co的内切圆.若乙1。8=70。，则乙。。。二()

A.110°B.125°C.140°D.145°

【答案】A

【详解】解：：。。是四边形/BCD的内切圆，

•.Z.0AB=Z.OAD,Z.ODA=Z.ODC,Z.OCD=Z.OCB,Z.OBC=Z.OBA,

'：z.0AB+Z.OAD+Z.ODA+Z.ODC4-Z.OCD+乙OCB4-Z.OBC+LOBA=360°,

^Z.OAB+Z.OBA+Z.ODC+Z.OCD=Z.OAD+Z.ODA4-Z.OCB+LOBC=180°,

'.■/.AOB=70°,Z.OAB+^OBA+Z.AOB=180°,Z.ODC+Z-OCD+乙DOC=180°,

:.乙COD=180°-70°=110°,

故选：A：

2.如图，四边形力BCD是OO的外切四边形，AB=9,CD=15.则四边形A8CD的周长为

D

【答案】48

【详解】解：如图，令。。与边力8,5。,。。,力。的切点分别为£：,F,G,H,

•••四边形力BCD是O。的外切四边形，

：，AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG,

^AH+DH+BF+CF=AE+DGBE+CG

MD+BC=AB+CD=9+15=24,

四边形的周长为

AD+BC+AB+CD=24+24=48.

故答案为：48.

3.如图，OO与四边形ABCD的各边依次切于M,N,G,H.

（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；

（2）若四边形ABCD增加条件ADIIBC而成为梯形，梯形的中位线长为m,其他条件不变，试用m表示梯

形的周长.

【答案】（1）AB+CD=AD+BC,证明详见解析；（2）4m.

【详解】（1）AB+CD=AD+BC

证明：由切线长定理，得：AM=AH,BN=BM,CN=CG,DG=DH,

所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC,

即AB+CD=AD+BC

（2）AD||BC,在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，

AD+BC=2m,

梯形的周长;AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2x2m=4m

4.如图1,四边形力8co的边均与。。相切，切点分别为E,F,G,且43HA0,连接。。,。0平

分«乙力DC.

(2)如图2,记45与。。的公共点为点H,连接EG/H交于点/,若EG1FH,求证：四边形48CD对角互补;

(3)如图3,。。的半径为r,连接AC,8D,AC与。。交于点M,N,8。与。。交于点P,Q,AC1BD,连接

PM,令PM=x,MN=y,求y关于％的函数解析式.(不考虑自变量工的取值范围)

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)y=叱*

【分析】此题考查切线的判定定理，圆周角定理，圆外切四边形的性质，切线长定理，勾股

【详解】(1)证明：如图I,连接0G,过点。作。，J_4。于点从

•••CD与。。相切,

.-.0G1CD,又。。平分心40C,

：.0C=OH,

"D与O0相切.

OG,OH,HG,

••-00是四边形48co的内切圆,

・•.0E1AB,OF1BC,0GlMOHLAD,

•••△OE力=LOHA=90°,

在四边形力EOH中，zA+Z.EOH=360°-90°-90°=180°,

同理可证，Z-FOG+LC=180°.

-EG1FH,

：ZiGH+乙1HG=90°,

•:乙EOH=2乙EGH,乙GOF=2乙GHF,

3OG+乙EOH=180°,

山+zC=180°,

••・四边形48CD对角互补.

(3)一。。是四边形ABCD的内切圆,

MB+CO=AD+BC,①

记RC与8。的交点为点7,

"AC1BO,

.'.AB2+CD2=AD2+BC2=AT2+BT2+CT2+DT2,②

由①②可得48-CD=AD-BC,

设48+CD=AD+BC=m,AB-CD=AD•BC=n,

•••/^，。。和力0口0都是方程/一如+九=0的两根，

又RB工••.AB=BC,AD=CD,

乂AC工BD,.••8Z)平分44BC,

•••PQ为直径,

连接MQ,则4PMQ=90。,

A

D

P

B

C

:.MQ=yJPQ2—PM2=V4r2—x2,

PMMQ_xV4r2r2

.-.MT=

•.♦PQ为直径，AC1BD,

，MN=2MT,

题型二三角形内切圆与外接圆综合

1.如图，△力BC是一张周长为24cm的三角形的纸片，=7cm,。。是它的内切圆，小明准备用剪刀在。。

的右侧沿着与。。相切的任意一条直线MN剪下AAMN,则剪下的三角形的周长为（）

12cmB.11cm

10cmD.随直线MN的变化而变化

【答案】C

【详解】解：设00与人从BC.AC,直线MN分别相切于点。、F、H,

.•△A8c的周长为24cm,BC=7cm,

AB+AC=AD+BD+CFAF=24-7=17(cm),

vBD=BE,CF=CE,

:.BD+CF=BE+CE=BC=7cm,

AD+AF=AB+AC-(BD+CF)=17-7=10(cm),

•••HM=DM,HN=FN,

AM+MN+AN=AM+HM+HN+AN=AM+DM+FN+AN=AD+AF=10cm,

・•・剪下的三角形的周长为10cm,

故选：c.

2.如图，四边形/BCD为。。的内接四边形，Z-ABC=90°,BC平分4ABC,BD=772,AB6,则△ABC的

内心与外心之间的距离为（）

【答案】B

【详解】解：作0F18A于F,DE上BC于E,

•••BD平分乙ABC,DF1BA,DELBC,

DF=DE,乙DFB=乙DEB=90°,

又Z.ABC=90°,

ALEDF=90°,即NFO力+Z-ADE=90°,

•••四边形ABC。为。。的内接四边形，/-ABC=90°,

:.LADC=180°-乙ABC=90°,即4EOC+Z.ADE=90°,

:.LFDA=乙EDC,

在ADFA和△DEC中，

Z.DFA=乙DEC

DF=DE,

/.FDA=乙EDC

•••△DFA=△DEC(ASA),

•••AF=CE,

vBD=BD,DF=DE,

Rt△BDF三Rt△BOE(HL),

:.BF=BE,

四边形8EDF是正方形，BO是对角线，

•••BD=7V2,

正方形BED『的边长为7,

AB=6,

AF=CE=BF-AB=7-6=lt

•••BC=BE+CE=7+1=8,

:.AC=7AB?+8c2=V62+82=10,

作AABC的内切圆，圆心为M,N为切点，连接MN,OM.

由切线长定理可知：4V=丝产=4,

:.O/V=(M—A/V=5—4=1,

vS“BC=•RC=+8C+AC)-MN,

:.gx6x8=：x(6+8+10).MN,

:.MN=2,

即内切圆半径为2,

在Rl△OMN中，OM=y/MN2+0N2=V22+I2=V5.

:.a/lBC的内心与外心之间的距离为遥，

故选:B.

F/-------7)

3.直角三角形两条直角边分别为6和8,则此三角形的内切圆半径为,外接圆半径为

【答案】25

【详解】解：如图所示：

A/\

由内切圆性质可知AE==BG,FC=CG=DF=DG,

•・•直角三角形的两条直角边分别为6和8,

•••由勾股定理得斜边长为VG+82=10,

则内切圆半径OF=FC=-[(AC-AF)+(BC-BG)]=-[{AC-AE)+(BC-BE)]=-(AC+BC-AB)=

222

*6+8-10)=2,

再由直角三角形外接圆半径为斜边的一半，可知此三角形的外接圆半径为3x10=5.

4.如图，点。是△力8c外接圆的圆心，点/是ZMBC的内心，连接。8、1A.若4C/U=40。，则乙0"的度数

为___________•

【答案】10。/10度

【详解】解:如图,连接OC，

.••加平分ZJMC,

••2CA1=40°,

=2/.CAI=2x40°=80°,

•・•点。是△A8C外接圆的圆心，

：/8OC=2/.BAC=2x80°=160°,

-03=0C,

••Z0BC=Z,OCB=|x(180°-ZBOC)=1x(180°-160°)=10°,

故答案为：10°.

题型三圆与四边形综合

1.如图是一张四边形纸片48CD,已知48=BC=3dm,AD=CD=6dm,乙4=乙。=90°,要在该纸片

中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是()

A

A.1dmB.2dmC.V3dmD.1V5din

【答案】B

【详解】解：设内切圆圆心为。，半径为丁，连接。4。&。。,。。及四个切点(如图);

根据切线的性质定理可知，每条半径r都与四边形4BCD的各边垂直。

,：SABCD=^ABr-^-^BC-r+^CDr+^D/l-r,

SABCD=1X3X6+1X3X6=18,

W(3+3+6+6)r=18,

即18=9r,

•••r=2(dm).

故选:B.

2.如图，在正方形ABC。中，AB=6,点G是平面内的一动点，月.DG=2,F是BG的中点，E是8c上一动点,

连接AE,EF,则4E+EF的最小值为()

A.3x/10-1B.3V5-3C.9D.672-3

【答案】A

【详解】解：•••四边形A8G9是正方形，AB=6.

•••连接AC、8。交于点。,

点。为8D的中点.

vDG=2,

•••点G的轨迹是以点。为圆心，2为半径的圆.

•••0是8。的中点，尸是3G的中点,

・•・连接。/，

.•・。尸是ABOG的中位线.

OF=-2DG,

•••OF=1,

•••点F的轨迹是以点。为圆心，1为半径的圆.

作点4关于8C的对称点M,连接ME,BM,OM,

:.AE=ME,

•••AE+EF=ME+EF.

当点O,F,E,M在同一直线上时，AE+EF=ME+EF取得最小值，为0M-。尸的长,

过点。作。H1AB于点H,

•••0是正方形对角线的交点，

0H=3,BH=3.

•・•点M与点/关于BC对称，

二MB=AB=6,乙MBE=/.ABE=90°,

二点A,B,M三点共线，

:.MH=MB+BH=9.

•••在RtaOHM中，

0M=y/OH2+MH2=V32+92=3vTU.

•••ME+E"的最小值为OM-OF,

AE+£尸的最小值为3«U-1.

3.如图，在四边形？18CD中，^DAB=^LBCD=90°,AC=AB,若CD=3,BC=4,则四边形ABC。的面

积_______

【答案】11

【详解】解：•••在四边形力BCO中，LDAB=Z.BCD=90°,

.・.4B、C、。四点共圆，

设圆心为。，则点。是8。的中点

如图，连接8D,则8D为。。的直径，

在RtZkBC。中，CD=3,BC=4.

BD=>JCD2+BC2=5,

15

二OB=-BD=—

22

过点A作力El8C于点E,

vAC=AB,

CE=BE=-2BC=2,

连接OE,则。EIBC,

二月、。、£共线，

OE=y/OB2-BE2=

2

VAO=BO=

2

:.AE=AO+OE=4,

AB=y/AE24-BE2=2后

・•・AD=>JBD2-AB2=后

•••S四边形ABC。=S^ABD+SABCD=lAD-AB+|co-5C=1xVsx2V5+Ix3x4=54-6=11.

4.如图，。。的半径为1,4,P，B,C是OO上的四个点，^APC=Z-CPB=60°.

（1）请判断△48C的形状？说明理由；

（2）当点。位于晶的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.

【详解】（1）解：A/1BC是等边三角形.理由如下：

在00中，•.284。与“PB是BC所对,的圆周角，乙4BC与乙1PC是4C所对的圆周角,

.,.Z.BAC=Z-CPB,/.ABC=Z.APC,

又••Z/1PC=乙CPB=60°,

；ZABC=Z.BAC=60°,

••・△48。为等边三角形；

（2）解：当点P为的中点时，四边形4PBe的面积最大.理由如下：

如图，过点尸作PEJLAB,垂足为£过点C作CF148,垂足为F.

♦&APB=3AB・PE£ABC=\AB・CF,

,.S因边形APBC=a+。/），

当点P为48的中点时，PE+CF=PC,PC为O。的直径，

此时四边形力PBC的面积最大.

又二。。的半径为1,

・••其内接正三角形的边长4B=V3,

••,S囚边形4P8C=2X2xV5=V5

题型四圆与圆的位置关系

1.在矩形力8。0中，AB=6,BC=8,与直线力。相切.如果O0与。B相交，且点6在0。内，那么

OD的半径长厂可以是（）

A.6B.10C.14D.18

【答案】C

【详解】解：：四边形48C。是矩形，48=6,BC=8,OB与直线4。相切

••.C8的半径R=AB=6,

由勾股定理得两圆圆心距80=>/AB2+AD2=V62+82=10

•.•点8在。。内，00半径为r,点8到圆心。的距离为80=10

:.BD<r,

即7>10

•••0。与。8相交，

•••两圆相交满足|r-R\<BD<r^R

代入R=6,BD=10得|r-6|<10<r+6

解不等式得4<r<16

结合r>10得r的取值范围为10<r<16

选项中只有14符合该范围.

2.如图，两圆与直线Z相切，定圆。的半径是4cm,动圆P的半径是2cm.动圆在直线，上移动，当两圆相切

时，。，P两点的距离等于（）

•O

P-

A.2cm或6cmB.2cmC.4cinD.6cm

【答案】A

【详解】解：设圆。的半径为R,圆P的半径为r,则R=4cm,r=2cm.

•••两圆相切，

•••分两圆外切和两圆内切两种情况：

当两圆外切时，如图1,圆心距OP=R+r=4+2=6cm；

当两圆内切时，如图2,圆心距OP=R—丁=4-2=2cm.

P\

jI

综上所述，。，P两点的距离等于2cm或6cm.

3.已知点M(O,1),N(-3,7)到直线L的距离分别为2和3,满足条件的直线L的条数是

【答案】4

【详解】解：如图所示：

N(-3,7)

:.MN=J(-3-O'+(7-=V9+36=745=3瓜

,••两圆半径分别为心=2,r2=3,

•,•G+/2=5

•••3>/5>5,即MN>q+q

•••两圆外离，外离的两圆共有4条公切线

•••故满足条件的直线L的条数为4条.

4.己知04和OB的半径分别为5和1,4?=3,O。与04、OB都内切，那么O。半径r的取值范围是

【答案】>Kr咛

【详解】解：设O。半径为「，

•••6。与0408都内切，

，。,4=|r-5|,0B=|r-1],

•••A8=3,

二当rN5时，0A=r—5,OB=r—1,

MCA-0B\=|(r-5)-(r-l)|=4>3,

根据三角形三边关系，任意两边之差的绝对值小于等于第三边，

：.\GA-0B\<AB,

不成立，此情况无解：

当l<r<5时，0A=5-r,0B=r-l,

MCA-0B\=|(5-r)-(r-1)|=|6-2r|,04+OB=(5—r)+(r—1)=4,

MOA-OB\<AB<OA+OB

|6-2r|<3,

:,-3<62r<3>

解得评"(符合条件；

当?"Ml时，0A=5-r,OB=l-r,

则卜64-08|=|(5-丁)一(1-「)|=4>3,不成立，此情况无解.

综上所述，。。半径r的取值范围是

1.如图，。。是aA5c的外接圆，48是直径，过点。作0Q_LC4,垂足为点。，延长。。交00于点£

过点E作P/1A3,垂足为点化作射线。。交C4的延长线『尸点，连接£尸，

(1)求证：OD=OP；

(2)求证：正是。。的切线.

D

【答案】见试题解答内容

Z.EPO=BDO=90°

【解答】证明：(1)在••.△OPE和AOQB中乙EOP=乙BOD

OE=OB

：M)PE"ODB(AAS),

：・OD=()P：

(2)如图：连接£4,EB,

.•A8是直径,

・••乙AE8=4C=90°,

.••42+43=90。，〃EO+NOEB=90°.

,:乙3=LDEB

'-ZJ2=Z-AEO.

••4C=48OE=90。

-.CFWOE,

：・M)DP=LAFP,41=〃EO,

•••NJ=Z.2.

：OD=OP,

■-Z.ODP=Z.OPD.

■:乙OPD=^APF,

'.Z-AFP=ZJ\PF

：,AF=AP.

(AF=AP

在AAPE和△?1尸E中Nl=42,

\AE=AE

:AAPE三&AFE(SAS),

­.ZJ\FE=ZAPE=90°

."££)=90。

又经过半径的外端,

・••正是。0的切线.

2.如图，在等腰△A8C中，CA=CB,AO是腰3c边上的高，△ACQ的内切圆。£分别与边人。、8c相切

于点RG,连接AE、BE.

（1）求证：A尸=8G；

试探索线段E”与线段A8的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）见试题解答内容；（2）EH=\AB

【解答】解：（1）设△AC。的内切圆0E与边AC相切于点人

△4CD的内切圆。E与边8C相切于点G,所以C/=CG.

同理：AI=AF.

:CA=CB,C/=CG,：,AI=RG.

又•.•4/=4£：.AF=BG.

（2）EH=^AB,

理由：连接4£、BE、CE,

.E是CO的内切圆的圆心,

.•.C£平分乙4C3.

^zACE=Z.BCE,

在MCE和ZiBCE中，

(CA=BC

乙ACE=乙BCE,

<CE=CE

・••△ACE三△BCE(SAS).

:.ZAEC=Z~BEC,AE=BE,

・••E是△ACO的内切圆的圆心，乙AOC=9()。,

"£。=90。+以OC=135。，

从而乙4£8=90°,又AE=BE,

.•.△A8E为等腰直角三角形，

：EHL\B于H,

3.如图,AN是OM的直径，NBIIx轴，A8交0M于点C.

(1)若点A(0,6),N(0,2),乙48N=30。，求点8的坐标;

(2)若。为线段NB的中点，求证：直线CO是OM的切线.

【答案】(1)6(4V3,2)；(2)见试题解答内容

【解答】解：(1)的坐标为(0,6),N(0,2),