全称量词和存在量词（六种常考题型）解析版

L5全称量词和存在量词(六种常考题型)

全称量词与知识点j强二全称量词命题与存在量词命题

全称量词命题是型二

■判断全称、存在量词命题的真假

存在量词与知识点2型三根据含量词命题的真假求参数

存在量词命题全称量词和

存在量词息型四全称量词命题的否定与真假判断

命题的否定

1.命题的真假：知识点型三存在量词命题的否定与真假判断

2.全称量词命题与!

存在量词命题的否定里兰根据命题的否定求参数

知识点1全称量词与全称量词命题

全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给

符号V

全称量词命题含有全称量词的命题

形式“对〃中任意一个X,有p(x)成立"，可用符号简记为“VX£M，P(JV)”

知识点2存在量词与存在量词命题

存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的

符号3

存在量词命题含有存在量词的命题

形式“存在M中的一个x,有〃(x)成立"，可用符号简记为“3X£M,〃(X)”

知识点3命题的否定

1.命题否定的真假：

一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假.

2.全称量词命题与存在量词命题的否定

(1)全称量词命题夕VxeM,p(x)的否定：f(x)；

全称量词命题的否定是存在量词命题.

(2)存在量词命题p：Bx<=〃(一丫)的否定：V.r(=M,—

存在量词命题的否定是全称量词命题.

_______________________

题型一全称量词命题与存在量词命题

1.下列命题中是存在量词命题的是（）

A.平行四边形的对边相等B.同位角相等

C.任何实数都存在相反数D.存在实数没有倒数

【答案】D

【分析】利用全程量词和存在量词的定义，找出命题中对应的量词即可得出ABC为全称量词命题，D选项

为存在量词命题.

【详解】根据全称晟词和存在最词的定义可知，

A选项，“平行四边形的对边相等'是所有的平行四边形性质，是全称量词命题：

B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题；

C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；

D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.

故选：D

2,设非空集合P,Q满足PqQ,则表述正确的是（）

A.VxeQ,有xePB.VxeP,有xwQ

C.Hr纪Q,使得xePD.使得x史。

【答案】B

【分析】根据子集的定义即可求解.

【详解】因为尸CQ,则由子集的定义知集合尸中的任何一个元素都在。中，

而。中元素不一定在P中（集合相等或不相等两种情况），故B正确，ACD错误.

故选：B

3.（多选）下列语句是存在量词命题的是（）

A.有的无理数的平方是有理数

B.有的无理数的平方不是有理数

C.对于任意xiZ,2x+1是奇数

D.存在『R,2x+1是奇数

【答案】ABD

【分析】根据存在量词和全称量词即可

【详解】因为“有的”“存在''为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A、B、D均为存在量词命题，选项

C为全称量词命题.

故选：ABD

4.判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题.

⑴凸多边形的外角和等于360。:

(2)矩形的对角线不相等；

(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；

(4)有些实数a,b能使|。一4=向+同；

⑸方程3x-2)，=10有整数解.

【答案】(1)全称量词命题

(2)全称量词命题

(3)全称量词命题

(4)存在量词命题

(5)存在最词命题

【分析】由己知结合全称量词命题及存在量词命题的定义分别检验各命题.

【详解】(1)命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于360，故为全称量词命题.

(2)命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题.

(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题

(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题.

(5)命题可以改写为：存在一对整数x,)，，使3工-2)，=10成立.故为存在量词命题.

5.用量词“V”表达下列命题：

(1)实数都能写成小数形式；

(2)凸〃边形(〃23,〃eN)的外角和等于360。;

(3)任意一个实数乘-1都等于它的相反数.

【答案】(DVxwR,x能写成小数形式.

⑵是凸〃边形，n>3,且〃wN},x的外角和等于360。.

(3)VxGR.一X.

【分析】根据全称命题以及特称命题的形式，即可求解.

【详解】(1)VxwR,X能写成小数形式.

(2)是凸〃边形,n>3，且/ieN},x的外角和等于360。.

(3)VxeR,x(-l)=-x.

6.将“方程f+i=o无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成.

【答案】VXGR.X24-1*0

【分析】根据全称量词命题的形式改写即可.

【详解】由已知，“方程/+1=0无实根”是全称量词命题，

故可改写为：VA-eR,x24-l^(),

故答案为：V.reR,x24-1^0.

题型二判断全称、存在量词命题的真假

7.下列命题中是真命题的为()

A.HreN,使4x<-3B.VxeR,x2+2>0

C.VXGN,2v>x2D.3XGZ,使3X—2=0

【答案】B

【分析】对于A,通过解不等式判断，对于B,由一个数的平方非负判断，对于C,举例判断，对于D,解

方程判断.

3

【详解】对于A,由4x<-3,得》<-；，所以不存在自然数使4x<-3成立，所以A错误，

对于B,因为VxwR时，%2>0»所以Y+222〉。.所以B正确，

对于C,当x=2时，2"=/=4,所以C错误，

2

对于D,由3x—2—0,得x=§@Z,所以D错误，

故选:B

8.命题〃：Vx>l,4+2X—3>0,命题4：HreR,2x2-4x+3=0,则()

A.p真q真B.〃假q假C.〃假0真D.〃真q假

【答案】D

【分析】对于命题〃：根据特称命题结合二次函数分析判断；对于命题夕：根据存在命题结合二次函数的4

判别式分析判断.

【详解】对于命题〃：令/=6>1,则y=r+2/-3=2『+”3开口向上，对称轴为/=-1,

4

且儿=尸0,则y=2『+/-3>0,

所以Vx>l,五+2x-3>0,即命题〃为真命题；

对于命题9：因为△=(7)2-4x2x3=—8<0,

所以方程2/_4x+3=0无解，即命题4为假命题；

故选：D.

9.判断下•列命题的真假.

(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；

(2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形；

(3)存在一个实数》,使得方程d+x+8=0成立；

(4)3xGR,x2-3x+2=0；

(5)eZ,(x-y)2=x2-2xy+y2.

【答案】(1)假命题

(2)真命题

(3)假命题

(4)真命题

(5)真命题

【分析】(1)举反例说明命题为假命题：(2)举特例说明存在性；(3)用判别式△判断二次方程根的情况;

(4)举特例说明存在性；(5)可证明结论恒成立.

【详解】(1)是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为应，就不能用正有理数表示.

(2)是真命题，如有一个内角为30。的直角三角形就不是等腰三角形.

⑶是假命题，方程f+x+x=o的判别式△=-31<0,故方程无实数根.

⑷是真命题，x=2或x=l,都能使f-3工+2=0成立.

(5)是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，所以对整数也成立.

10.用数学符号表示下列命题，并判断命题的真假性.

(1)当x>0时，x2-2x+2>0；

(2)自然数不都是正整数；

（3）至少存在一个实数x,使得f>（）.

【答案】（1）答案见解析

⑵答案见解析

（3）答案见解析

【分析】（1）（2）（3）应用数学语言V、三描述已知命题，进而判断其真假.

【详解】（1）命题表示为“近>0,x2-2x+2>0n.

因为2X+2=（X-1）2+1>0,所以该命题为真命题.

（2）命题表示为N,X&N，.

因为OwN,0&N.,所以该命题为真命题.

（3）命题表示为“玉wR,

因为22=4>0,所以该命题为真命题.

11.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假.

（1）所有的实数。、b,方程or+〃=（）恰有唯一解.

3

（2）存在实数x,使V-21+3=丁

4

【答案】（1）全称量词命题，假命题

（2）存在量词命题，假命题

【分析】（1）利用全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再举例判断其真假；

（2）利用全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再利用二次函数的性质判断其真假;

【详解】（1）解：该命题是全称量词命题.

当〃=（）,8=0时方程有无数解，

故该命题为假命题.

（2）该命题是存在量词命题.

VX2-2X+3-（X-1）2+2>2,

・•・不存在实数X,使丁-2'+3=:，

4

故该命题是假命题.

12.能说明全称量词命题"代1<工，一3、+2）=0”为假命题的洌子是（）

A.x=0B.x=\C.x=2D.x=3

【答案】D

【分析】求出方程的根，即可判断.

【详解】因为X，-3.1+2)=。，即M工一2)(x-l)=(),解得x=0或x=l或x=2,

所以当工工0且工工1且XH2时均能说明全称量词命题“VxeR,x(x2-3x+2)=0”为假命题，

故符合题意的为D.

故选：D

题型三根据含量词命题的真假求参数

13.若命题“任意xeR,使/>屋，为真命题，则实数。的取值范围是()

A.tz<0B.a<0C.«>()D.«>()

【答案】B

【分析】根据全称命题为真命题，结合实数的性质，可求得。的范围，即得答案.

【详解】由于任意;veR,都有不之0，

故要使命题”任意xeR,使f>〃'、为真命题，需有〃<0，

故选:B

14.已知命题”x口黑，方2+2/10?为假命题，则实数a的取道范围是_______________.

【答案】(f』

【分析】根据条件，可得方程有实数根，再求出实数。的取值范围是即可.

【详解】题中的命题为全称量词命题，

因为其是假命题，所以其否定“$K?R,奴2+2/10”为真命题，

即关于x的方程*+2x+l=0有实数根.

所以〃=0或〈，即a=()或〃41且。工0,所以aWl,

4-4«>0

所以实数a的取值范围是(-a」].

故答案为：.

15.已知命题〃:Vxw[l,2],x2-〃之0,命题/DkcR,x?+2ar+2-4H0,若命题〃和F都是真命题，则实

数〃的取值范围是.

【答案】(-151}

【分析】先根据命题的真假求出。的范围，取交集可得答案.

【详解】当〃：Wxc[l,2],x2心0为真时，«<1；

当g:VxwR,x?+2ax+2-aH0为真时，A=4«2-4(2—a)<0,即一2<avl；

因为命题〃和F都是真命题，所以且“21或三-2.

故答案为：(F-2J51).

16.若命题“$%?R,/-4廿折0?为假命题，则实数。的取值范围为.

【答案】{。答>4}

【分析】根据一元二次方程根的情况即可求解.

【详解】•・•命题“$x?R,4x+〃=0?为假命题，.••方程V—4工+所0无实数根.贝ljA=(-4『一4a<0,解得a>4.

故答案为：{a\a>4]

17.已知集合4=何-24“45},B={x\fn+\<x<2fn-\},且3=0.若命题p：“VxeB,XfA”是真命

题，求〃?的取值范围；

【答案】2<m<3

【分析】首先判断出BUA,对列不等式计算求解可得用的取值范围.

【详解】由于命题〃：xeA”是真命题，

所以A,

"7+142/77-1,

BW0,则-w+l>-2,解得2K"2<3

2m-1<5,

综上机的取值范围是2金〃43.

18.已知集合4={目-2W5},B={^m+\<x<2m-1],且8H0.

(1)若命题P：xeA”是真命题，求机的取值范围；

(2)若命题g：“3xcA,是真命题，求〃i的取值范围.

【答案】⑴[2,3]

(2)[2,4]

【分析】(1)根据命题〃为真命题，得到从而得到不等式组，求出〃?的取值范闱；

(2)根据命题，/为真命题，得到AC8W0,从而得到不等式组，求出，”的取值范围.

【详解】(1)命题小"VxwB,xeA”是真命题，故

/〃+142m-1

所以《机+12-2,解得2KwK3,

2/n-l<5

故加的取值范围是［2,3］.

(2)由于命题q为真命题，则AC3N0,

因为4工0,所以〃2+1K2〃L1,所以〃此2,

当加N2时，一定有〃2+123,

要想满足ACBH0,则要满足〃2+145,解得〃?44,

故Ac8H0时，2</??<4,

故加的取值范围为［2,4］.

19.已知集合4=囱一14工44},B={x\x<-2^x>5}.

⑴求貂4、触4卜①

(2)若集合。=卜|2机<%</〃+1},且七°wC,A为假命题，求〃?的取值范围.

【答案］(1)\4={乂-24x45},(\A)u8={xk<—l或x>4}

(2)m4一2或m>1

【分析】(1)利用补集、交集的定义计算可得集合4送、(QA)U/

(2)分析可知AcC=0,分C=0、CV0两种情况讨论，结合AcC=0可得出关于实数机的不等式(组),

综合可得出实数用的取值范围.

【详解】(1)解：已知集合河={1|一匹工"4},A={x|x<-2或工>5},

则％4={小<-1或x>4},斗|-2W5},(\"4={小<-1或工>4}.

(2)解：因为3x°eC,与€人为假命题，则DxwC,X/A为真命题，所以，AcC=0.

①当2〃后〃2+1时，即当〃后/时，C=0,则4cC=0成、九

②当2〃?<〃?+1时，即当〃7<1时，CH0,由题意可得〃+214-1或2〃之4,

解得m4-2或m>2.此时加<-2.

综上所述，m4-2或〃?2/.

20.已知命题〃:WxeR,x2+2m-3>0»命题夕：3xcR,x2-2RLX+m+2<0.

(1)若命题〃为真命题，求实数〃?的取值范围；

(2)若命题p,,至少有一个为真命题，求实数，〃的取值范围.

3

【答案】(1)力〃加>孑•

3

⑵{"小〃<-1或机>;}

【分析】(1)根据命题是真命题，将不等式转化为/>3-2”对xeR恒成立，即可求”的取值范围;

(2)求命题夕为真命题时机的取值范围，再求两个集合的并集.

3

【详解】⑴若命题〃为真命题，则d>3-2〃?对xeR恒成立，因此3-2/"0,解得加>东

因此，实数〃z的取值范围是|〃?〃>不

(2)若命题q为真命题，则A=(-2⑼2-4(〃?+2)>0,即〃/一〃L2>0，解得"?<一1或〃z>2.

因此，实数m的取值范围是｛〃"〃<—1或2｝；

若命题p,q至少有一个为真命题,

33

可得〈旭，〃〉7'D{〃""7<一1或7〃>2}={m\m<-1或〃？>5}.

2

3

所以实数机的取值范围｛m\m<T或心；｝.

题型四全称量词命题的否定与真假判断

21.命题“Ux>0,Y+x+l>0”的否定是()

A.Vx<(),x2+x+l>0B.3x>0,x2+A+1<0

C.Hr<0,xi+x+\>0D.Vx>(),X2+JT+1<0

【答案】B

【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求解.

【详解】因为全称命题的否定是特称命题，

所以，命题“Vx>0,f+x+l>0”的否定是”3x>0,f+x+iwu”.

故选:B.

22.以下四个命题中，真命题的个数是()

①喏”则。，〃中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a,b,使得a+b="：③”所有奇

数都是素数''的否定是“至少有•个奇数不是素数

A.0B.1

C.2D.3

【答案】C

【分析】对于①，写出原命题的逆命题，举反例判断：对于②，举特例验证；对于③，写出原命题的的否

定，再进行判断.

【详解】对于①，原命题的逆命题为：若小。中至少有一个不小于I,则〃+力22,而。=2,8=-2满足

条件m人中至少有一个不小于1,但此时。+匕=0,故①是假命题；

对于②，当4=8=2时，a+b=abt故②是真命题；

对于③，“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，可知③是真命题.

故选:C.

23.已知命题〃：,-耳26,q:xwZ,若〃和F都不成立，则由工的值构成的集合是________.

【答案】㈠,0,1,2}

【分析】根据题意，确定x满足的不等式和条件，求出x的值即可.

【详解】因为〃：,一乖6不成立，所以-^^7卜6成立，即解得一2c<3；

又因为F不成立，所以9：xeZ成立，所以由K的值构成的集合是{-1,04,2}.

故答案为：{-1OL2}.

24.写出下列命题的否定，并判断真假.

(1)所有的矩形都是平行四边形：

(2)每•个素数都是奇数；

⑶有些实数的绝对值是正数；

(4)某些平行四边形是菱形.

【答案】(1)命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假台题.

(2)命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题

(3)命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题

(4)命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.

【分析】根据全称命题和特称命题的否定定义求解即可.

【详解】(1)命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题.

(2)命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题.

(3)命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题.

（4）命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.

题型五存在量词命题的否定与真假判断

25.下列命题的否定是真命题的是（）

A.GN,\lnr+]GN

B.菱形都是平行四边形

C.丸eR,一元二次方程丁-次_1=（）没有实数根

D.平面四边形A8CD,其内角和等于360。

【答案】C

【分析】对A,特称命题的否定为全称命题，由〃?=0,计算即可判断真假；对B,全称命题的否定为特称

命题，再由菱形与平行四边形的关系即可判断真假；对C,全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号

即可判断真假；对D,由四边形的内角和计算即可判断原命题为其，特称命题的否定为全称命题为假命题.

2

【详解】对于A,3weN,yjm+1€N»其否定为：V/neN,厢W必N，

由"7=。时，J（）+1=1€N,则原命题为真命题，其否定为假命题，故Ad、正确；

对于B,每个菱形都是平行四边形，其否定为：存在一个菱形不是平行四边形，

原命题为真命题，其否定为假命题，故B不正确；

对于C,3aeR,一元二次方程『-or-1=0没有实根，

其否定为：VoeR,一元二次方程/-or-1=0有实根，

由A=/+4>O,可得原命题为假命题，命题的否定为真命题，故C正确；

对于D,平面四边形A8CO,其内角和等于360。为真命题，命题的否定为假命题，故D不正确；

故选：C.

26.命题〃：玉>1,/一2'>0的否定为（）

A.Vx>l,x2-2'<0B.Vx<LX2-2V<0

C.3x<LX2-2^<0D.Hr>Lx2-2v<0

【答案】A

【分析】根据题意，由特称命题的否定是全称命题即可得到结果.

【详解】原命题的否定为Dx>l,2，40.

故选:A

27.（多选）下列四个命题的否定为真命题的是（）

A.p:所有四边形的内角和都是360。

B.q:BxeR,x2+2x+2<0

C.广玉延卜门是无理数｝,一是无理数

D.s:对所有实数小都有同>0

【答案】BD

【分析】A选项，判断出〃为真命题；B选项，写出F,得到其为真命题；C选项，举出反例得到〃为真

命题；D选项，举出反例得到$为假命题.

【详解】A选项，所有四边形的内角和都是360。，故〃为真命题，则f为否命题，A错误；

B选项，-i<7:V,veR,%2+2x+2>0»由于f+2.r+2=(x+l『+1>0,故r为真命题，B正确；

C选项，当大=兀时，/也是无理数，故/•为真命题，则一，•为假命题，C错误；

D选项，当。=0时，同=。，故5为假命题，故r•为真命题，D止确.

故选：BD

28.写出下列命题的否定：

⑴王方形的四边相等；

⑵能被5整除的整数，末位数字都是0；

(3)有的三角形是直角三角形；

(4)至少存在一个实数%,使d+l=0；

(5)存在一个四边形，它的对角线互相垂直平分.

【答案】(1)存在一个正方形，它的四边不都相等；

(2)能被5整除的整数，末位数字不都是0；

(3)所有的三角形都不是直角三角形；

(4)BxwR,/+100；

(5)任意四边形的对角线不互相垂直或不互相平分.

【分析】根据命题的否定的形式艮］可求解.

【详解】(1)正方形的四边相等的否定为存在一个正方形，它的四边不都相等；

(2)能被5整除的整数，末位数字都是0的否定为能被5整除的整数，末位数字不都是0；

(3)有的三角形是直角三角形的否定为所有的三角形都不是直角三角形；

(4)至少存在一个实数■使丁+1一0的否定为VxeR,/।1,0；

（5）存在一个四边形，它的对角线互相垂直平分的否定为任意四边形的对角线不互相垂直或不互相平分.

29.若命题“玉任A,使VL•纪B”为假命题，则下列命题一定为真的是（）

A.都有近》,8B.VxcQ,都有夜x任8

C.Vx任A,都有JlreBD.yxeQ,都有缶

【答案】C

【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】因为命题“玉后4，使血工必打”为假命题，

所以其否定为真命题，

即Vx任A,都有y/2xw8为真命题，

故选：C

题型六根据命题的否定求参数

30.已知命题p：3xe{.r|l<v<3},x-«>0,若力是真命题，则实数。的取值范围是（）

A.a<\B.a>3C.a<3D.a>3

【答案】D

【分析】根据给定条件写出命题"，再由全称量词命题是真命邈即可得解.

【详解】因命题p：3x£{x|1<.r<3},x-a>0,则有命题-P：V.v€{x\1<¥<3},x-a<0,

又是真命题，即x£{Mlw3},恒成立，于是得破3,

所以实数〃的取值范围是生3.

故选：D

31.已知命题p："Vxe[L2],x2-a>0^,命题/“HreR,/+2ar+4=0，\若命题和命题夕都是真

命题，则实数。的取值范围是（）

A.aW-2或〃=1B.a<-2^\<a<2C.a>\D.a>2

【答案】D

【分析】先考虑〃，9均为真命题得到〃的取值范围，然后根据r?,，/的真假性得到关r〃的不等式，即可求

解出。的取值范围.

【详解】若Dxe[l,2],x2-a>0,则

：.a<\.

若3xeR,x2+2ar+4=0,

则A-(2a)216>0,

解得或心2.

•・•命题力和命题都是真命题，

.“启一2或

：.a>2.

故选D.

【点睛】本题考查根据全称命题、特称命题的真假求解参数范围，难度一般.利用命题的真假求解参数范围

时，可先考虑命题都为真的情况下对•应的参数范围，然后再根据实际的命题真假得到关于参数的不等式(注:

若命题为假，只需对为真时参数范用取补集)，由此求解出参数范围.

32.若“也。£艮/2+2/+2=m”的否定是假命题，则实数机的取值范围是—.

【答案】［1,笆)

【分析】利用存在量词命题的否定是假命题得“川£匕年+2.%+2=M”是真命题，再利用存在量词命题为

真得关于工的方程/+2x+2-〃?=0有实根，最后利用判别式计算得结论.

【详解】因为“入。cR芯+2/+2=〃?”的否定是假命题，

所以“2A-0GR,x(j+2x0+2=6”是真命题，

因此关于x的方程/+2x+2-〃l0有实根，

所以A=22—4X1X(2-/M)N0,解得TMNI.

因此实数"7的取值范围是〃?21.

故答案为：［1,+8).

33.(1)设p：4x-3<l；q,.r-(2z/+i)<0,若〃是c/的充分条件，求实数。的取值范围；

(2)若命题“Vx£R,/一以+在0”为假命题，求实数。的取值范围