广东潮州市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量监测数学试题（试卷+解析）

2025-2026学年度第二学期高一级期末教学质量监测

数学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置

上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上

要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1.若复:数2二」一（i为虚数单位），则|z|二（）

1-i

A.—B.4C.1D.2

22

2.在中，已知4。为BC边上的中线，则而=（）

I__।__1—1—1—.1------I—I—

A.-AB+-ACB.-AB——ACC.-AB一一ACD.-AB+-AC

44442222

3.抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（）

A.正面向上的概率为0.48B.反面向上的概率是0.48

C.正面向上的频率为0.48D.反面向上的频率是0.48

4.已知〃，〃是互不重合的直线，仅是互不重合的平面，下列命题正确的是（）

A.*aHb,bua,贝Ua〃aB.若qJLa,b工a,则4〃b

C.若a〃a,a/甲,则a〃6D.若。口£=人，aua,a±b,则。_L夕

5.已知一个圆锥的母线长与底面直径均为2,则圆锥的体积为（）

A.yB.nC,当nD,6兀

6.甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为0.4,乙独立破译密码的概率为0.6,则恰有

一人破译密码的概率为（）

A.0.4B.0.6C.0.52D.0.76

7.己知M=（3,-1）,B=（l,2）,则向量M在向量5上的投影向量为（）

二、

C.

8.“凤凰塔”是我市的古建筑之一，始建于明万历十三年（1585）,塔有七层八面，第一、二层为石砌，第三

层以上为砖砌，塔身中空，夹壁中有螺旋形台阶可登顶层，塔基须弥座分雕龙、凤、鹤、4、羊等各种祥

禽瑞兽和精美的花卉，建造工程浩大，彰显我市占代人们的智载为了测量其高度，设凤凰塔高为AB，在

与点B同一水平面且共线的三点C,D，£处分别测得顶点A的仰角为30。，45°,60°,且

CD=DE=37m,则凤凰塔的高AB约为（）（参考数据：^6«2.449）

A.40mB.45mC.50mD.55m

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求,全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.已知向量M=B=（2,x—1）,则下列结论正确的是（）

A.若少_1行，则x=gB.若刃区，则x=2

C.若x=l,则M与5夹角为.D.\a+b\>y/2

31

10.射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为二，一.记事件A为“两人都击中“，事

42

件3为“至少I人击中”，事件C为“无人击中”，则下列说法正确的是（）

A.事件A与C是互斥事件B.事件8与C是对立事件

7

C.事件A与9相互独立D.P（AuB）=-

8

ii.已知正方体ABC。—44GA的楂长为1，下列说法正确的是（）

A.若点P为线段GA上的任意一点，则AOJ.8P

B.若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的表面积为3兀

C.异面直线4。与片B所成角为45,

D.若点。为体对角线5A上的动点，则NAQC的最大值为g

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.某高中三个年级共有学生200。人，其中高一800人，裔二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠

情况，准备从仝校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一

年级应抽取的人数是.

13.在△ABC中，若=BC=3,NC=120。，则AC=.

14.在复平面内，向量。4对应的复数4=l+2i,3X绕点。逆时针旋转90°后对应的复数为z?,则z?二

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.已知复数z=（1—〃?-2）+〃z（，〃+l）i,〃2eR.

（1）若z是纯虚数，求〃?；

（2）在复平面内，z对应的点位于第三象限，求加的取值范围.

16.如图，在△ABC中，。是BC上的点，AB=36，BD=4,C=y,AD=币.

（1）求角B的大小；

（2）求△AC£）的面积.

17.为了提高学生安全意识，迪庆州某校利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛，加强对学生的安全教

育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水

自救的方法，提高了应急脱险能力.现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92,96,99.103,104,

105,113,114,117,117,121,123,124,126,129,132,134,136,141,142.抽取了乙组20名同学

的戌绩，将成绩分成[100/10）,[110,120）,[120,130）,[130,140）,[140,150]五组，并画出了其频率分布直方

图.

上频率/组距

0.030l...................._।

0.025卜...........

0.020t...............

0・015卜---------1

o.oiot-i—

o<nIIII,

o\100110120130140150乙组的成绩

（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的第8（）百分位数，并根据频率分布直方图估计乙组2（）名同

学成绩的众数；

（2）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一

组的概率.

18.如图，在四楂锥中，POJ_平面A8CDAB//DC，

AD1DC,DA=AB=PD=2,。。=4,E,F分别为楂CD,尸。的中点.

（1）求证：P3//平面AE/;

（2）求证：4£_1平面夕8。；

（3）求点。到平面PBC的距离.

19.设平面内两个非零向量房,%的夹角为0,定义一种运算"®"：而g”二同同sin6.试求解下列问

题：

（1）若向量2=b=2,ci.&=2下>，求M③/?的值；

（2）设d=（x，x）,B=（w，%），试用向量小B的坐标表示2③B的值；

⑶设点A（—2,l）,B（-l,2）,C（0,4）,求△ABC的面税

2025-2026学年度第二学期高一级期末教学质量监测

数学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置

上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上

要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回.

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.)

1.若复:数2二」一(i为虚数单位)，则|z|二()

1-i

A.—B.4C.1D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数除法运算求出复数z即可求出|z|.

i-(l+i)-1+i11.

【详解】依题意,z=---------------=---------=------1--1,

(l-i)(l+i)222

所以Iz|二J(-1)2+(1)2=乌

V444

故选：A

2.在AABC中，已知AO为BC边上的中线，则而=()

1—1—1一1一1—1—

A.—AB-\—ACB.—AB—ACC.—AB—ACD.—ABH—AC

44442222

【]D

【解析】

【详解】由向量加法的平行四边形法则可得，通+*=2通，

所以而=」而+，/.

22

3.抛掷一枚硬币10（）次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（）

A.正面向上的概率为0.48B.反面向上的概率是0.48

C.正面向上的频率为0.48D.反面向上的频率是0.48

【答案】C

【解析】

【分析】根据频率和概率的定义逐项判定可得答案.

【详解】对于A,正面向上的概率为0.5,是固定不变的，故错误；

对于B,反面向上的概率也是0.5,是固定不变的，故错误；

对于C,抛掷一枚硬币l（X）次，正面向上的次数为48次，根据频率的定义可知，正面向上的频率为0.48,

正确；

对于D,抛掷•枚硬币100次，正面向上的次数为48次，反面向上的次数为52次，根据频率的定义可

知，反面向上的频率是。.52,故错误.

故选：C.

4.已知。，〃是互不重合的直线，a、夕是互不重合的平面，下列命题正确的是（）

A.若4〃〃，bua,则a〃aB.若a_La,b上a,则

C.若R/a,aH/3,则万D.若aA分二〃，。ua,a±b,则

【答案】B

【解析】

【详解】对于A：由bua，得a//a或〃ua,A错误；

对于B：由。_La,〃JLa,得a//b,B正确；

对于C：由W/a,a//fl,得〃或《〃相交，C错误；

对干D：在正四面体A8C。中，令平面ABC、平面4BO分别为平面/Q，直线AB为直线〃，

由线段的中点与点C确定的直线为。，满足二〃，aua，aLb,而a,〃不垂直，D错误.

5.已知一个圆锥的母线长与底面直径均为2,则圆锥的体积为（）

A.-B.nC.在三D.兀

33

【答案】C

【解析】

【详解】底面直径为2,则半径r=1.

故局h-^22—I2=-

所以体积V=—/mr2=—•5/3・兀・12=n.

333

6.甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为0/1,乙独立破译密码的概率为0.6,则恰有

一人破译密码的概率为()

A.0.4B.0.6C.0.52D.0.76

【答案】C

【解析】

【分析】设出事件，结合互斥事件，独立事件和对立事件的概率公式求解概率即可.

【详解】设甲独立破译密码为事件A,乙独立破译密码为事件6,

则伶有一人破译密码为A与+,小而A反彳B互斥，

由互斥事件概率公式得P(AB+AB)=P(AB)+P(AB),

由题意得A,方相互独立，入8相互独立，

由独立事件概率公式得P(AB)=P(A)xP(历=P(A)x[[-P(B)],

P(AB)=P(A)xP(B)=P(B)x[l-尸(A)],

由题意得P(A)=0.4,P(B)=0,6,MP(AB)=0.4x[1-0.6]=0.16,

P(AB)=0.6x[l-0.4]=0.36,得到P(AB+AB)=0.52,

则恰有一人破译密码的概率为0.52,故C正确.

故选：C

7.已知)=(3,-1),5=(1,2),则向量M在向量月上的投影向量为()

(\2、(21)(12)(2

[55)[55)[55)[55)

【答案】A

【解析】

ci-b—

【详解】由题意得投影向审公式为川—rb,

其中五石=3乂1+（—1）乂2=1,忸（=12+22=5,

_（\

所以a肝b=亍1故高方.方卜*1,2）=（短17^）

8.“凤凰塔”是我市的古建筑之一，始建于明万历十三年（1585）,塔有七层八面，第一、二层为石砌，第三

层以上为砖砌，塔身中空，夹壁中有螺旋形台阶可登顶层，塔基须弥座分雕龙、凤、鹤、马、羊等各种祥

禽瑞兽和精美的花卉，建造工程浩大，彰显我市古代人们的智慧.为了测量其高度，设凤凰塔高为在

与点8同一水平面且共线的三点C,。，E处分别测得顶点A的仰角为30。，45°,60°,且

CO=DE=37m,则风凰塔的高A3约为（）（参考数据：指“2.449）

A.40mB.45mC.50mD.55m

【答案】B

【解析】

【分析】利用邻补角余弦互为相反数，结合余弦定理列等式，消去角度直接解出塔高.

【详解】设塔高〃，则BE=®h,BD=h,BC=Ch，在ABDESBOC中,

3

cosZBDE=-cosZBDC,

因为CD=OE=37m,

所以由余弦定理得

"丫

/?2+372-3二门。（后\2

BD?+DE?-BE?_BD?+DC2-BC?13J_"+37--（＞/3力）,

2BDDE-2BDDC2-/?-37-2〃37

4、、

化简得一〃2=2x37?,

3

解得h=卫巫。37x2.449二45.31,〃,故塔高约为45〃z.

22

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)

9.已知向量4=(戈,1),万二(2/—1),则下列结论正确的是()

A.若万上万，则x=；B.若源区，则x=2

C.若x=l,则M与B夹角为2D.\a+h\>^

【答案】AD

【解析】

【分析】A,利用向量垂直时数量积为0的性质求解.B,通过向量平行性质求解.C,通过数量枳和模求解

向量夹角.D,用坐标表示出另后利用坐标求模的范围.

【详解】选项A,因为之J_6，所以限〃=()，2x+x-l=0,解得x=g,A正确.

选项B,因为彳/区，所以设x(x-l)=lx2,解得x=2或一1，B错误.

选项C,x=l时，3=(1,1),5=(2,0),同=，-+]2=曰忖=2,

所以85<之上>=崩=高=¥，所以夹角是7，c错误.

选项D,a+b=(x+2,x),a+b=^(x+2)2+x2=+4x+4=>/2•\]x2+2x+2»

函数)，=/+2x+2为开口向上的二次函数，对称轴为x=-l,

所以当x=-l时，(7x2+2x+2)=J(-l)2-2+2=l,

所以1+,之近,D正确.

31

10.射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为二，一.记事件A为“两人都击中“，事

42

件3为“至少I人击中”，事件C为“无人击中”，则下列说法正确的是()

A.事件A与C是互斥事件B.事件8与C是对立事件

7

C.事件A与9相互独立D.P(AuB)=-

8

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据事件之间的关系，以及互斥事件，对立事件的概念，相互独立事件的概率公式逐一判断即得.

【详解】依题意，P(A)=1xl=1,P(B)=l-P(R)=l-(l-1)(l-i)=^,

-311

P(C)=P(B)=(1--)(1

42o

对于A,因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事

件A与C是互斥事件，即A正确；

对于B,因“至少1人击中”包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，故其对立事件即“无人击

中”，即B正确；

33721

对于C,依题意，因Ac〃=A，则P(AcB)=P(A)=?而尸(人乂乃;六乂大二二工产(AcB),故

88864

事件A与0不相互独立，即C错误；

7

对于D,因=故P(AU3)=P(8)=W，故D正确.

8

故选:ABD.

11.已知正方体48。。一44弓。的棱长为1,下列说法正确的是()

A.若点尸为线段GA上的任意一点，则

B.若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的表面积为3兀

C.异面直线4。与片。所成角为45°

D.若点Q为体对角线8R上的动点，则NAQC的最大值为g

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用线面垂直性质定理即可证明可得A正确；求出正方体外接球半径即可知球体的

表面积为3兀，即B正确；易知异面直线4。与4。所成角为即为或其补角，求得其大小为

60、即C错误；当AQ_L8Q时，AQ取得最小值，利用余弦定理可求得NAQC的最大值为年，可得

D正确.

【详解】连接BG，B2,8C，如下图所示:

对干A,由正方体性质可知GO，平面8CGA，又与Cu平面8CG4,所以G"_L8C，

又BC1上B(,且8GAGR=G，80,。。1匚平面8。1九

所以与。_1_平面8GA，

显然A0〃BC，所以可得A。，平面8G2；

又BPu平面BGA，所以4O_L3P,

即点尸为线段G2上的任意一点时，AD工BP电成立,即A正确：

对于B,易知该正方体的外接球直径即为该正方体的体对角线，

设该球半径为R,则1+1+1=(2周2,

所以该球体的表面积为4兀尿=3兀，即B正确；

对于C,连接80,48,如下图所示：

易知BD//BR,所以异面直线4。与BR所成角为即为ZA.DB或其补角,

在公48。中，AB=BD=AD=6,所以/4。8=60’，

即异面直线4。与4。所成角为60,所以C错误;

对于D,连接AC,8。，如下图所示:

易知AQ=CQ,当AQ,CQ最小时，可使NAQC最大;

当AQ_L6RM,AQ取得最小值为上更=迈，

V33

修「闺依）2」,即可得以℃=”

由余弦定理可知cosZAQC=

2x互亚23

33

2兀

所以NAQC的最大值为即D正确.

故选：ABD

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.某高中三个年级共有学生200D人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠

情况，准备从全校学生中抽取8（）人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一

年级应抽取的人数是________-

【答案】32

【解析】

800

【详解】高一年级应抽取的人数是x80=32.

800+600+600

13.在△ABC中，若AB=屈,BC=3,ZC=120°,则AC=

【答案】1

【解析】

【分析】利用余弦定理列方程，亿简求得AC.

（详解】依题意意=储+。一-28sC，

,1

13=9+/?2+2X3XZ?X-=>/7=1,负根舍去.

2

所以AC=1.

故答案为：1

14.在复平面内，向量而对应的复数Z]=l+2i,Q4绕点。逆时针旋转90,后对应的复数为z2,贝I"?二

【答案】-2+i

【解析】

【分析】利用复数的几何意义结合复数的模相等求解即可.

【详解】由题意可设Z2=。+历（a<0,Z?>0）,z2对应的向量为（。力）,4对应的向量为（1,2）,

由旋转性质得z2和z,模相等，且它们对应的向量垂直,

则：,

a+2b=0,

故答案为：-2+i.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.已知复数z=（，/-m-2）++1）i,GR.

（1）若z是纯虚数，求〃?；

（2）在复平面内，z对应的点位于第三象限，求加的取值范围.

【答案】（1）帆=2；

（2）

【解析】

【分析】（1）根据纯虚数的定义得到方程和不等式，求出机=2；

（2）根据复数对应的点所在象限，得到不等式，求出答案.

【小问1详解】

m2—ni-2=0

因为z是纯虚数，所以1/八八，

工0

由in2—m—2=0»解得“7=2或一1,

由，〃。〃+1）得，〃2工0且〃7工一1,故相=2.

【小问2详解】

ivr-m-2<0,

因为z对应的点位于第三象限，所以〈

"?（〃？+1）v0

-1</n<2

所以解得，〃的取值范围是（1,0）.

-1<〃7<0

16.如图，在△A8C中，。是BC上的点，AB=3&，BD=4,C=y,AD=@.

（1）求角8的大小;

（2）求△ACD的面积.

【答案】（1）;；（2）地.

62

【解析】

【分析】

（1）在中，利用余弦定理即可求解.

（2）由（1）可得/84。=巳，从而可得AC=3,BC=6,即。C=2,再利用三角形的面积公式即

2

可求解.

【详解】解：(1)在△ABD中cos§=+8.2AD?=27+11―7=更

2xABxBD2x3V3x42

又所以8=看

(2)由(1)知8=乡，C=-,所以=¥

632

又AB=3>/J，所以AC=3,BC=6,

由80=4，知OC=2,

所以SAC/)=-xACxZ)CxsinC=lx3x2x—=—

~2222

17.为了提高学生安全意识，迪庆州某校利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛，加强对学生的安全教

育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水

自救的方法，提高了应急脱险能力.现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92,96,99,103,104,

105,113,114,117,117,121,123,124,126,129,132,134,136,141,142.抽取了乙组20名同学

的成绩,将成绩分成[100.110）.[110.120）口20,130）,[130,140）.[140.150]万组,并成出了其频率分布百方

图.

（I）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的第8（）百分位数，并根据频率分布直方图估计乙组20名同

学成绩的众数；

（2）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同•

组的概率.

【答案】（1）第80百分位数为133,众数135

【解析】

【分析】（1）根据百分位数、众数的定义计算即可;

（2）根据古典概型公式计算即可.

【小问1详解】

720x80%=16,

132+134130+140

・•・甲组20名同学成绩的第80百分位数为-------=133,众数为=135；

2

【小问2详解】

甲组20名同学的成绩不低于140分的有2个，

乙组20名同学的成绩不低于140分的有0.015x10x20=3个，

记事件A为“取出的2个成绩不是同一组”，

任意选出2个成绩的所有样本点共C：=10个，

其中两个成绩不是同一组的样本点共C；-C；=6个，

・・.p（A）=—=-.

v7105

18.如图，在四棱锥P—A5C力中，平面45CDAB//DC，

ADA.DC,DA=AB=PD=2,ZX?=4,E,尸分别为棱CD,PQ的中点

（1）求证：PB//平面AEF；

（2）求证：AE_L平面心。；

（3）求点。到平面的距离.

【答案】（1）证明如下：

如图，连接BE，设BOIAE=0,连接。尸，

因A8〃QC,DE=-DC=AB=2,可得A8E。是平行四边形，则00=03,

2

又DF=PF，则得OF//P8,

因OFu平面AEF，平面故尸8//平面

（2）证明如下：

由（1）已得口ABED，因DA=A8=2，故四边形ABED为菱形，则A£_L8Q,

因P£>_L平面ABCD