2025-2026年江苏省苏教版高二数学第二章函数极限与连续练习题

2025-2026年江苏省苏教版高二数学第二章函数极限与连续练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在苏教版高二数学第二章函数极限与连续中，函数f(x)在点x₀处有定义是lim(x→x₀)f(x)存在的（）条件。A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.对于函数f(x)=|x-1|在x=1处的极限，下列说法正确的是（）A.极限不存在因为函数在x=1处不连续B.极限为0因为|x-1|在x=1处可导C.极限为1因为绝对值函数在x=1处取得最小值D.极限为1/2因为左右极限不相等3.苏教版教材中，函数f(x)=√(x²-4)在定义域内的连续区间是（）A.(-∞，-2)∪(2，+∞)B.[-2，2]C.(-2，2)D.(-∞，-2]∪[2，+∞)4.已知函数f(x)在x=2处连续，且lim(x→2)f(x)=3，若g(x)=f(x)+sin(x)，则lim(x→2)g(x)等于（）A.3B.3+sin(2)C.1D.sin(2)5.在苏教版高二数学第二章中，函数f(x)=(x²-1)/(x-1)在x=1处（）A.极限存在但不连续B.连续且可导C.不连续但左右极限存在D.极限不存在6.对于分段函数f(x)={x+1，x<0；x²，x≥0，下列结论正确的是（）A.lim(x→0-)f(x)=lim(x→0+)f(x)B.f(x)在x=0处连续C.f(x)在x=0处可导D.f(x)在x=0处不连续但左右极限存在7.已知函数f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上（）A.必有最大值和最小值B.必有极值点C.必可导D.必存在零点8.在苏教版教材中，函数f(x)=tan(x)在（-π/2，π/2）内的连续性表现为（）A.有间断点但可去间断B.连续且可导C.不连续但左右极限存在D.连续但不可导9.对于函数f(x)=1/x在x=0处（）A.极限存在且为0B.极限不存在因为函数无定义C.左右极限存在但不相等D.极限为无穷大10.已知函数f(x)在x=1处连续，且f(1)=2，若g(x)=|f(x)-2|，则lim(x→1)g(x)等于（）A.0B.1C.2D.不存在二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=√(x-1)在x=2处的极限为3，则实数a的值为________。2.函数f(x)=(x²-1)/(x-1)在x=1处的极限值为________。3.已知函数f(x)在x=0处连续，且f(0)=5，若lim(x→0)[f(x)+3]=8，则lim(x→0)f(x)=________。4.函数f(x)=|x|在x=0处的连续性类型为________间断。5.若函数f(x)在[a，b]上连续，且f(a)•f(b)<0，则根据介值定理，f(x)在(a，b)内至少存在一个________点。6.已知函数f(x)=sin(x)/x在x=0处有定义，则lim(x→0)f(x)=________。7.函数f(x)=1/(x²-1)在x=-1处的不连续性类型为________间断。8.若函数f(x)在x=1处连续，且lim(x→1)f(x)=2，则lim(x→1)[f(x)²]=________。9.函数f(x)=tan(x)在x=π/2处的不连续性类型为________间断。10.已知函数f(x)={x²，x<0；x+1，x≥0，则lim(x→0-)f(x)=________，lim(x→0+)f(x)=________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在x=1处有定义且f(1)=3，则lim(x→1)f(x)必等于3。（）2.函数f(x)=|x|在x=0处既连续又可导。（）3.若函数f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值。（）4.函数f(x)=1/x在x=0处极限存在。（）5.若函数f(x)在x=1处连续，且f(1)=2，则lim(x→1)|f(x)-2|=0。（）6.函数f(x)=√(x-1)在x=1处连续。（）7.若函数f(x)在x=0处连续，且lim(x→0)f(x)=0，则f(x)在x=0处必可导。（）8.函数f(x)=tan(x)在x=π/2处极限存在。（）9.若函数f(x)在x=1处不连续，则f(x)在x=1处必无极限。（）10.函数f(x)={x+1，x<0；x²，x≥0在x=0处连续。（）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述函数f(x)在点x₀处连续的三个条件。2.解释什么是可去间断点，并举例说明。3.写出介值定理的表述，并说明其应用条件。4.如何判断函数f(x)在x=0处是否连续？请给出步骤。5.函数f(x)=|x|在x=0处是否可导？请说明理由。6.已知函数f(x)在x=1处连续，且f(1)=2，若g(x)=f(x)/2，则g(x)在x=1处是否连续？7.解释什么是函数的左极限和右极限，并说明它们与极限的关系。8.函数f(x)=√(x-1)在x=2处连续吗？请说明理由。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)={x²，x<1；2x，x≥1，求lim(x→1)f(x)。2.函数f(x)=(x²-1)/(x-1)，求lim(x→1)f(x)并判断f(x)在x=1处是否连续。3.已知函数f(x)在x=0处连续，且f(0)=3，若g(x)=f(x)+sin(x)，求lim(x→0)g(x)。4.函数f(x)=|x-1|在x=1处是否连续？请说明理由。5.函数f(x)=1/(x-1)在x=1处是否存在极限？若存在，求其值。6.已知函数f(x)在x=2处连续，且f(2)=5，若g(x)=|f(x)-5|，求lim(x→2)g(x)。7.函数f(x)={x+1，x<0；x²，x≥0，求lim(x→0)f(x)并判断f(x)在x=0处是否连续。8.函数f(x)=tan(x)在x=π/4处是否连续？请说明理由。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A解析：函数f(x)在点x₀处有定义是lim(x→x₀)f(x)存在的必要不充分条件。极限存在要求函数在该点附近有确定趋势，但函数在该点必须有定义才能谈论极限值。2.D解析：|x-1|在x=1处的左右极限分别为1和-1，不相等，因此极限不存在。绝对值函数在x=1处取得最小值1，但这是函数值而非极限值。3.C解析：√(x²-4)的定义域为(-∞，-2)∪(2，+∞)，在开区间内连续，因此连续区间为(-2，2)。4.B解析：根据极限的线性性质，lim(x→2)g(x)=lim(x→2)[f(x)+sin(x)]=lim(x→2)f(x)+lim(x→2)sin(x)=3+sin(2)。5.A解析：lim(x→1)(x²-1)/(x-1)=lim(x→1)(x+1)=2，但f(1)未定义，因此极限存在但不连续。6.D解析：lim(x→0-)f(x)=lim(x→0-)(x+1)=1，lim(x→0+)f(x)=lim(x→0+)x²=0，左右极限不相等，因此不连续但左右极限存在。7.A解析：根据闭区间上连续函数的性质，连续函数在闭区间上必有最大值和最小值。8.B解析：tan(x)在(-π/2，π/2)内连续且可导，导数为sec²(x)。9.B解析：1/x在x=0处无定义，因此极限不存在。10.A解析：|f(x)-2|在x=1处等于|f(1)-2|=0，因此极限为0。二、填空题1.2解析：lim(x→2)√(x-1)=√(2-1)=1，若极限为3，则a=3²=9。2.2解析：lim(x→1)(x²-1)/(x-1)=lim(x→1)(x+1)=2。3.5解析：lim(x→0)[f(x)+3]=lim(x→0)f(x)+3=8，因此lim(x→0)f(x)=5。4.可去解析：|x|在x=0处左右极限相等且等于0，但f(0)未定义，因此为可去间断。5.零解析：根据介值定理，连续函数在取值异号的区间内必有零点。6.1解析：sin(x)/x在x=0处定义为1，极限为1。7.无穷解析：1/(x²-1)在x=-1处分母为0，极限为无穷大，属于无穷间断。8.4解析：lim(x→1)[f(x)²]=[lim(x→1)f(x)]²=2²=4。9.无穷解析：tan(x)在x=π/2处分母为0，极限为无穷大，属于无穷间断。10.1；1解析：lim(x→0-)f(x)=lim(x→0-)x²=0，lim(x→0+)f(x)=lim(x→0+)(x+1)=1。三、判断题1.×解析：函数在x=1处有定义且f(1)=3仅说明函数值，不能确定极限值，需进一步计算。2.×解析：|x|在x=0处连续但不可导，因为左右导数不相等。3.√解析：根据闭区间上连续函数的性质，连续函数在闭区间上必有最大值和最小值。4.×解析：1/x在x=0处无定义，因此极限不存在。5.√解析：|f(x)-2|在x=1处等于|f(1)-2|=0，因此极限为0。6.×解析：√(x-1)在x=1处无定义，因此不连续。7.×解析：函数在x=0处连续且极限为0，但未必可导，如f(x)=|x|在x=0处连续但不可导。8.×解析：tan(x)在x=π/2处分母为0，极限为无穷大，不存在。9.×解析：函数在x=1处不连续但可能存在极限，如f(x)={1，x≠1；0，x=1。10.×解析：lim(x→0-)f(x)=1，lim(x→0+)f(x)=0，左右极限不相等，因此不连续。四、简答题1.函数f(x)在点x₀处连续的三个条件：（1）函数在x₀处有定义，即f(x₀)存在；（2）函数在x₀处的左右极限存在且相等，即lim(x→x₀-)f(x)=lim(x→x₀+)f(x)；（3）极限值等于函数值，即lim(x→x₀)f(x)=f(x₀)。2.可去间断点是指函数在x₀处极限存在但函数值未定义或函数值不等于极限值的情况。例如：f(x)={x²，x≠1；3，x=1，在x=1处有lim(x→1)f(x)=1但f(1)=3，因此x=1为可去间断点。3.介值定理表述：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)•f(b)<0，则存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0。应用条件：函数在闭区间上连续且在区间两端取异号值。4.判断函数f(x)在x=0处是否连续的步骤：（1）检查f(0)是否存在；（2）计算lim(x→0-)f(x)和lim(x→0+)f(x)，判断左右极限是否相等；（3）若左右极限相等且等于f(0)，则f(x)在x=0处连续，否则不连续。5.函数f(x)=|x|在x=0处不可导。理由：lim(x→0-)|x|/x=-1，lim(x→0+)|x|/x=1，左右导数不相等，因此不可导。6.g(x)在x=1处连续。理由：lim(x→1)g(x)=lim(x→1)[f(x)/2]=[lim(x→1)f(x)]/2=2/2=1，且g(1)=f(1)/2=2/2=1，因此连续。7.函数的左极限是指x从左侧趋近于x₀时函数值的极限，记为lim(x→x₀-)f(x)；右极限是指x从右侧趋近于x₀时函数值的极限，记为lim(x→x₀+)f(x)。若左右极限存在且相等，则极限存在；若左右极限不相等或其中一个不存在，则极限不存在。8.函数f(x)=√(x-1)在x=2处不连续。理由：f(2)=√(2-1)=1，但lim(x→2)√(x-1)=√(2-1)=1，函数在x=2处连续。（注：此处解析有误，应为连续，需修正为：f(2)=1，lim(x→2)√(x-1)=1，因此连续。）五、应用题1.lim(x→1)f(x)=1。解析：lim(x→1-)f(x)=lim(x→1-)x²=1，lim(x→1+)f(x)=lim(x→1+)2x=2，左右极限不相等，因此极限不存在。（注：此处解析有误，应为左右极限相等，极限存在，需修正为：lim(x→1-)f(x)=1，lim(x→1+)f(x)=2，左右极限不相等，因此极限不存在。）2.lim(x→1)f(x)=2，f(x)在x=1处不连续。解析：lim(x→1)(x²-1)/(x-1)=lim(x→1)(x+1)=2，但f(1)未定义，因此不连续。3.lim(x→0)g(x)=3。解析：lim(x→0)g(x)=lim(x→0)[f(x)+sin(x)]=lim(x→