2025-2026年重庆市北师大版高三数学第十五章数列计算练习题

2025-2026年重庆市北师大版高三数学第十五章数列计算练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n•2^n-1D.2^n+n解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，结合b_n=2^n-1可得S_n=n•2^n-1。选项C正确。3.若数列{c_n}的前n项和T_n满足T_n=4n^2-n，则c_4的值等于（）A.24B.28C.30D.32解析：由T_n=4n^2-n，可得c_1=T_1=3。当n≥2时，c_n=T_n-T_{n-1}=(4n^2-n)-[4(n-1)^2-(n-1)]=8n-7，验证n=1时成立，故c_n=8n-7，c_4=8×4-7=25。选项B正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_8=64，则d_5的值等于（）A.16B.32C.8D.4解析：由等比数列性质d_2•d_8=d_5^2=64，解得d_5=±8。结合等比数列项的符号规律，若d_1>0，则奇数项为正，故d_5=8。选项C正确。5.已知数列{e_n}的前n项和为n^2+n，则e_n与n的关系式为（）A.e_n=2nB.e_n=2n-1C.e_n=2n+1D.e_n=n解析：当n=1时，e_1=T_1=2。当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+n-1]=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n。选项A正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=√(f_n+3)（n∈N），则f_2的值等于（）A.√5B.√6C.√7D.√8解析：由递推关系f_2=√(f_1+3)=√(2+3)=√5。选项A正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9。同理a_5+a_9=2a_7=2(a_3+a_7)/2=18，故a_5+a_9=24。选项C正确。8.已知数列{h_n}的前n项和为n^3，则h_5的值等于（）A.125B.135C.145D.155解析：当n=1时，h_1=T_1=1。当n≥2时，h_n=T_n-T_{n-1}=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1，验证n=1时成立，故h_n=3n^2-3n+1，h_5=3×25-15+1=61。选项B正确。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n+1=2i_n+1（n∈N），则i_10的值等于（）A.1023B.1024C.2047D.2048解析：由递推关系i_n+1=2i_n+1，变形为i_n+1+1=2(i_n+1)，可得数列{i_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即i_n+1=2^n，故i_n=2^n-1。i_10=2^10-1=1023。选项A正确。10.在等比数列{j_n}中，若j_3=8，j_5=32，则j_7的值等于（）A.64B.128C.256D.512解析：由等比数列性质j_3•j_7=j_5^2=1024，且j_3=8，解得j_7=128。选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，则该数列的通项公式a_n=_________。解：由S_n=3n^2-2n，可得a_1=S_1=1。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(3n^2-2n)-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，验证n=1时成立，故a_n=6n-5。2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=3b_n（n∈N），则该数列的前n项和S_n=_________。解：由递推关系b_n+1=3b_n，可得数列{b_n}是首项为2，公比为3的等比数列，即b_n=2•3^(n-1)。前n项和S_n=2(3^n-1)/(3-1)=3^n-1。3.若数列{c_n}的前n项和为T_n=n(n+1)/2，则c_4的值等于_________。解：当n=1时，c_1=T_1=1。当n≥2时，c_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-[（n-1）n/2+（n-1）]=2n-1，验证n=1时成立，故c_n=2n-1，c_4=7。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_8=16，且公比q>1，则d_5的值等于_________。解：由等比数列性质d_2•d_8=d_5^2=16，解得d_5=4。结合q>1，奇数项为正，故d_5=4。5.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=2e_n+1（n∈N），则e_6的值等于_________。解：由递推关系e_n+1=2e_n+1，变形为e_n+1+1=2(e_n+1)，可得数列{e_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即e_n+1=2^n，故e_n=2^n-1。e_6=2^6-1=63。6.若等差数列{f_n}的公差d=2，且a_3+a_7=18，则a_5的值等于_________。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9。7.已知数列{g_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则g_5的值等于_________。解：当n=1时，g_1=S_1=2。当n≥2时，g_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，验证n=1时成立，故g_n=2n，g_5=10。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=3h_n（n∈N），则h_4的值等于_________。解：由递推关系h_n+1=3h_n，可得数列{h_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即h_n=3^(n-1)。h_4=3^3=27。9.在等比数列{j_n}中，若j_3=4，j_5=32，则j_4的值等于_________。解：由等比数列性质j_3•j_5=j_4^2=128，解得j_4=8√2。10.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^3，则a_3的值等于_________。解：当n=1时，a_1=S_1=1。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1，验证n=1时成立，故a_n=3n^2-3n+1，a_3=19。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2+n，则该数列是等差数列。（）解：当n=1时，a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，验证n=1时成立，故a_n=4n-1。由于a_n与n成一次函数关系，故该数列是等差数列。正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=4，b_4=16，则该数列的公比q=2。（）解：由等比数列性质b_2•b_4=b_3^2=64，解得b_3=±8。若b_1>0，则b_3>0，故b_3=8。由b_2/b_1=b_3/b_2，可得q=2。正确。3.若数列{c_n}的前n项和为T_n=n^2+n，则该数列是等比数列。（）解：当n=1时，c_1=T_1=2。当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，验证n=1时成立，故c_n=2n。由于c_n与n成一次函数关系，故该数列是等差数列，不是等比数列。错误。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7=20。（）解：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，故a_5=10。同理a_5+a_7=2a_6=2(a_5+2d)=20+4d。由于d未知，故a_5+a_7不一定等于20。错误。5.若数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=2e_n（n∈N），则该数列的前n项和S_n=2^n-1。（）解：由递推关系e_n+1=2e_n，可得数列{e_n}是首项为1，公比为2的等比数列，即e_n=2^(n-1)。前n项和S_n=1(2^n-1)/(2-1)=2^n-1。正确。6.在等比数列{f_n}中，若f_3=8，f_5=32，则f_4=16。（）解：由等比数列性质f_3•f_5=f_4^2=256，解得f_4=±16。结合等比数列项的符号规律，若f_1>0，则偶数项为正，故f_4=16。正确。7.若数列{g_n}的前n项和为S_n=n^3，则该数列是等比数列。（）解：当n=1时，g_1=S_1=1。当n≥2时，g_n=S_n-S_{n-1}=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1，验证n=1时成立，故g_n=3n^2-3n+1。由于g_n与n的平方成二次函数关系，故该数列是等差数列，不是等比数列。错误。8.在等差数列{h_n}中，若公差d=3，且a_4+a_8=30，则a_6+a_10=42。（）解：由等差数列性质a_4+a_8=2a_6，故a_6=15。同理a_6+a_10=2a_8=2(a_6+2d)=42。正确。9.若数列{i_n}满足i_1=2，i_n+1=3i_n（n∈N），则该数列的前n项和S_n=3^n-1。（）解：由递推关系i_n+1=3i_n，可得数列{i_n}是首项为2，公比为3的等比数列，即i_n=2•3^(n-1)。前n项和S_n=2(3^n-1)/(3-1)=3^n-1。正确。10.在等比数列{j_n}中，若j_2=4，j_4=16，则j_3=8。（）解：由等比数列性质j_2•j_4=j_3^2=64，解得j_3=±8。结合等比数列项的符号规律，若j_1>0，则j_3>0，故j_3=8。正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，验证n=1时成立，故a_n=2n。2.在等差数列{b_n}中，若a_1=5，a_5=15，求该数列的通项公式及前10项和。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_5=15可得15=5+4d，解得d=2.5，故a_n=5+2.5(n-1)=2.5n+2.5。前10项和S_10=10×(5+2.5×10)/2=275。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+1（n∈N），求该数列的通项公式。解：由递推关系c_n+1=2c_n+1，变形为c_n+1+1=2(c_n+1)，可得数列{c_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即c_n+1=2^n，故c_n=2^n-1。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，求该数列的通项公式。解：由等比数列性质d_2•d_4=d_3^2=64，解得d_3=±8。若d_1>0，则d_3>0，故d_3=8。由d_3/d_2=q，可得q=2。由d_2/d_1=q，可得d_1=2。故d_n=2•2^(n-1)=2^n。5.已知数列{e_n}的前n项和为T_n=n^3，求该数列的通项公式。解：当n=1时，e_1=T_1=1。当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1，验证n=1时成立，故e_n=3n^2-3n+1。6.在等差数列{f_n}中，若a_3+a_7=18，求该数列的公差d。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故2a_5=18，解得a_5=9。由a_5=a_1+4d，可得d=3/2。7.若数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=3g_n（n∈N），求该数列的前n项和S_n。解：由递推关系g_n+1=3g_n，可得数列{g_n}是首项为2，公比为3的等比数列，即g_n=2•3^(n-1)。前n项和S_n=2(3^n-1)/(3-1)=3^n-1。8.在等比数列{j_n}中，若j_3=8，j_5=32，求该数列的公比q。解：由等比数列性质j_3•j_5=j_4^2=256，解得j_4=±16。若j_1>0，则j_4>0，故j_4=16。由j_4/j_3=q，可得q=2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增产设备10台，若第一年生产设备50台，求该工厂第8年的产量。解：由等差数列{a_n}满足a_1=50，d=10，可得a_8=a_1+7d=50+70=120台。2.某城市人口每年增长5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列{b_n}满足b_1=100，q=1.05，可得b_5=b_1•1.05^4≈127.63万。3.某企业投资额每年递增20%，若初始投资为100万元，求5年后的投资总额。解：前5年投资额为100(1+0.2)^5-100=148.86万元。4.某林场树木高度每年增长10%，若初始高度为2米，求10年后的树木高度。解：由等比数列{c_n}满足c_1=2，q=1.1，可得c_10=c_1•1.1^9≈6.19米。5.某产品成本每年降低5%，若初始成本为100元，求3年后的成本。解：由等比数列{d_n}满足d_1=100，q=0.95，可得d_3=d_1•0.95^2=9