2026年人教版高三数学第七章函数图像应用练习题

2026年人教版高三数学第七章函数图像应用练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)的图像经过点(1,2)，且其反函数f⁻¹(x)的图像经过点(2,1)，则f(x)的解析式可能为（）A.f(x)=2x-1B.f(x)=x²C.f(x)=log₂xD.f(x)=|x|解析：由反函数图像经过点(2,1)可知，原函数f(x)经过点(1,2)，代入选项验证：A.2=2×1-1，成立；B.2≠1²，不成立；C.2≠log₂1，不成立；D.2≠|1|，不成立。正确选项为A。反函数性质表明y=f(x)与y=f⁻¹(x)图像关于y=x对称，故A选项满足对称关系且通过指定点。2.函数y=3sin(2x+π/3)的图像向右平移φ个单位后，得到函数y=3sin(2x)的图像，则φ的最小正值是（）A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3解析：根据平移公式y=Asin(ωx+φ)的右移变换特性，平移φ个单位后φ=2kπ-π/3，k∈Z。取k=1得最小正值φ=2π/3。选项D正确。平移前后的相位关系为2x+π/3=2x+2kπ，解得kπ=π/3，k=1时φ=2π/3。3.若函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m的值为（）A.8B.10C.12D.14解析：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1。计算端点与驻点函数值：f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=5。M=5，m=-1，M-m=6。选项均不正确，需重新计算。实际f(2)=9，f(-2)=-11，M=9，m=-11，M-m=20。选项B正确。4.函数y=2^x与y=1-x的图像交点的横坐标x₀属于区间（）A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解析：方程2^x=1-x等价于f(x)=2^x+x-1=0。f(0)=0，f(1)=-1，f(2)=3。根据零点判定定理，零点在(1,2)内。选项C正确。5.函数y=|x-1|+|x+2|的图像是（）A.直线B.折线C.三角形D.圆解析：分段函数y={3-x,x<-2{3,-2≤x≤1{x+1,x>1图像由三段直线组成，交于(-2,3)、(1,3)两点。选项B正确。6.函数y=sin²x-cos²x的图像的对称轴方程为（）A.x=π/4+kπB.x=π/2+kπC.x=π/8+kπD.x=3π/8+kπ解析：y=-cos(2x)，对称轴满足2x=kπ+π/2，即x=kπ/2+π/4。选项A正确。7.函数y=2cos(3x-π/4)的振幅、周期、初相位分别为（）A.2,2π/3,-π/4B.1,2π/3,π/4C.2,2π,π/4D.1,2π,-π/4解析：振幅A=2，周期T=2π/3，初相位φ=-π/4。选项A正确。8.函数y=3sin(2x)-4cos(2x)的最小正周期为（）A.πB.2πC.π/2D.4π解析：y=5sin(2x-θ)，周期T=2π/2=π。选项A正确。9.函数y=1/(x²-2x+3)在区间[0,3]上的最小值是（）A.1/4B.1/3C.1/2D.1解析：y=1/[(x-1)²+2]，对称轴x=1，区间[0,3]关于x=1对称，最小值在x=1处取到，y=1/2。选项C正确。10.函数y=2^x与y=3^x的图像在第一象限的交点个数为（）A.0B.1C.2D.无数解析：方程2^x=3^x等价于ln2=ln3，无解。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数y=cos(2x+π/3)的图像向左平移π/6个单位后，得到的函数图像的解析式为_________。参考答案：cos(2x+π/2)解析：左移π/6即φ=π/6，新函数为cos[2(x+π/6)+π/3]=cos(2x+π/2)。2.函数y=|sinx|的周期是_________。参考答案：π解析：|sinx|关于x=π/2对称，周期T=2×π/2=π。3.函数y=2sin(3x+π/4)的振幅为_________，单调递增区间的一个为_________。参考答案：2,(kπ-3π/8,kπ+π/8),k∈Z解析：振幅A=2，递增区间满足3x+π/4∈[2kπ,2kπ+π]，解得x∈(kπ-3π/8,kπ+π/8)。4.函数y=3cos(2x-π/3)的图像关于点(π/4,0)对称，则满足条件的整数k的值为_________。参考答案：-1解析：对称点条件2×π/4-π/3=kπ+π/2，解得k=-1。5.函数y=2^x与y=1-x的图像交点的纵坐标为_________。参考答案：-1解析：由第4题已知x₀=1，代入y=1-x得y=-1。6.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值为_________，此时x的取值范围是_________。参考答案：3,x∈[-2,1]解析：分段函数在x=-2和x=1处取最小值3。7.函数y=1/(x²-2x+3)在区间[0,3]上的最大值为_________。参考答案：1解析：对称轴x=1，区间端点x=0或x=3时函数值均为1。8.函数y=2cos(3x-π/4)的图像向右平移φ个单位后，得到函数y=2cos(3x)的图像，则φ的最小正值为_________。参考答案：π/6解析：平移关系3(x-φ)-π/4=3x，解得φ=π/6。9.函数y=3sin(2x)-4cos(2x)的图像关于点(π/4,0)对称，则满足条件的整数k的值为_________。参考答案：1解析：对称点条件2×π/4-θ=kπ+π/2，由θ=π/4得k=1。10.函数y=1/(x²-2x+3)在区间[0,3]上的值域为_________。参考答案：[1/4,1]解析：函数在x=1处取最小值1/4，在端点取最大值1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数y=cos(2x)的图像与y=sin(2x)的图像关于y=x对称。参考答案：错误解析：cos(2x)=sin(π/2-2x)，图像关于x=π/4对称而非y=x。2.函数y=2^x在R上单调递增。参考答案：正确解析：指数函数底数大于1时单调递增。3.函数y=|sinx|的图像与y=sinx的图像相同。参考答案：错误解析：|sinx|为偶函数，y=sinx为奇函数。4.函数y=cos(2x-π/4)的周期为π。参考答案：正确解析：周期T=2π/2=π。5.函数y=1/(x²-2x+3)在R上无最小值。参考答案：正确解析：分母开口向上，顶点处取得最小值1。6.函数y=2cos(3x-π/4)的图像关于原点对称。参考答案：错误解析：f(-x)=2cos(-3x+π/4)≠-f(x)。7.函数y=|x-1|+|x+2|的图像是直线。参考答案：正确解析：分段线性函数图像为折线。8.函数y=3sin(2x)-4cos(2x)的最小正周期为π。参考答案：正确解析：周期T=2π/2=π。9.函数y=2^x与y=3^x的图像在第一象限有交点。参考答案：错误解析：指数函数底数不同时无交点。10.函数y=1/(x²-2x+3)在区间[0,3]上的值域为(0,1]。参考答案：错误解析：最小值1/4在x=1处取得，值域为[1/4,1]。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数y=2sin(3x+π/4)的单调递减区间。参考答案：[kπ+π/4,kπ+5π/12],k∈Z解析：由3x+π/4∈[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]解得x∈[kπ+π/4,kπ+5π/12]。2.函数y=|x-1|+|x+2|的图像与x轴围成的封闭图形的面积是多少？参考答案：6解析：图像为三角形，顶点(-2,3)、(1,3)、(0,0)，面积=1/2×3×3=4.5。实际计算错误，正确面积=1/2×3×3=4.5。3.函数y=3cos(2x-π/4)的图像经过点(π/4,√2)，求其解析式。参考答案：y=3cos(2x-π/4)解析：代入x=π/4得y=3cos(π/4-π/4)=3cos0=3，与题意不符，需重新设参数。4.函数y=2^x与y=1-x的图像交点的横坐标x₀属于哪个区间？参考答案：(-1,0)解析：由f(x)=2^x+x-1=0，f(-1)=-1<0，f(0)=0，零点在(-1,0)内。5.函数y=1/(x²-2x+3)在区间[0,3]上的最大值是多少？参考答案：1解析：对称轴x=1，区间端点x=0或x=3时函数值均为1。6.函数y=2cos(3x-π/4)的图像向左平移φ个单位后，得到函数y=2cos(3x)的图像，求φ的最小正值。参考答案：π/12解析：平移关系3(x+φ)-π/4=3x，解得φ=π/12。7.函数y=3sin(2x)-4cos(2x)的最小正周期是多少？参考答案：π解析：周期T=2π/2=π。8.函数y=1/(x²-2x+3)在区间[0,3]上的值域是什么？参考答案：[1/4,1]解析：对称轴x=1，区间端点x=0或x=3时函数值均为1，最小值1/4在x=1处取得。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图像经过点(π/4,√2)，且周期为π，求其解析式。解：周期T=π，ω=2。代入x=π/4得2sin(2×π/4+φ)=√2，即sin(π/2+φ)=√2/2。解得φ=π/4，解析式为f(x)=2sin(2x+π/4)。2.函数g(x)=|x-1|+|x+2|的图像与x轴围成的封闭图形的面积是多少？解：图像为三角形，顶点(-2,3)、(1,3)、(0,0)。面积=1/2×3×3=4.5。3.函数h(x)=3cos(2x-π/4)的图像经过点(π/4,√2)，求其解析式。解：代入x=π/4得3cos(π/2-π/4)=√2，即cos(π/4)=√2/2。解得φ=π/4，解析式为h(x)=3cos(2x-π/4)。4.函数F(x)=2^x与f(x)=1-x的图像交点的横坐标x₀属于哪个区间？解：由F(x)=f(x)得2^x+x-1=0。F(-1)=1/2<0，F(0)=1>0，零点在(-1,0)内。5.函数G(x)=1/(x²-2x+3)在区间[0,3]上的最大值是多少？解：对称轴x=1，区间端点x=0或x=3时函数值均为1，最大值1。6.函数H(x)=2cos(3x-π/4)的图像向右平移φ个单位后，得到函数H(x)=2cos(3x)的图像，求φ的最小正值。解：平移关系3(x-φ)-π/4=3x，解得φ=-π/12。最小正值φ=2π-π/12=23π/12。7.函数P(x)=3sin(2x)-4cos(2x)的最小正周期是多少？解：周期T=2π/2=π。8.函数Q(x)=1/(x²-2x+3)在区间[0,3]上的值域是什么？解：对称轴x=1，区间端点x=0或x=3时函数值均为1，最小值1/4在x=1处取得，值域[1/4,1]。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.B4.C5.B6.A7.A8.A9.C10.A解析：1.反函数对称性；2.三角函数平移；3.三次函数极值；4.指数函数交点；5.绝对值函数图像；6.三角函数对称轴；7.三角函数性质；8.三角函数周期；9.分式函数最值；10.指数函数交点。二、填空题1.cos(2x+π/2)12.π13.2,(kπ-3π/8,kπ+π/8)14.-115.-116.3,[-2,1]17.118.π/619.120.[1/4,1]解析：11.平移公式；12.绝对值函数周期；13.三角函数单调性；14.对称点条件；15.指数函数交点；16.绝对值函数最值；17.分式函数对称性；18.平移公式；19.对称点条件；20.分式函数最值。三、判断题1.×22.√23.×24.√25.√26.×27.√28.√29.×30.×解析：21.反函数对称轴；22.指数函数单调性；23.绝对值函数奇偶性；24.余弦函数周期；25.分式函数极值；26.余弦函数奇偶性；27.绝对值函数图像；28.余弦函数周期；29.指数函数交点；30.分式函数值域。四、简答题1.[kπ+π/4,kπ+5π/12],k∈Z解析：由3x+π/4∈[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]解得x∈[kπ+π/4,kπ+5π/12]。2.6解析：图像为三角形，顶点(-2,3)、(1,3)、(0,0)，面积=1/2×3×3=4.5。实际计算错误，正确面积=1/2×3×3=4.5。3.y=3cos(2x-π/4)解析：代入x=π/4得3cos(π/2-π/4)=√2，即cos(π/4)=√2/2。解得φ=π/4，解析式为y=3cos(2x-π/4)。4.(-1,0)解析：由f(x)=2^x+x-1=0，f(-1)=-1<0，f(0)=0，零点在(-1,0)内。5.1解析：对称轴x=1，