2025-2026年天津市北师大版高三数学第六章不等式计算练习题

2025-2026年天津市北师大版高三数学第六章不等式计算练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|ax-1>0}，若A∩B={x|x>3}，则实数a的值为（）A.-1/3B.1/3C.-3D.3解析：由x^2-3x+2>0得x>2或x<1，即A={x|x>2或x<1}。由ax-1>0得x>1/a，因A∩B={x|x>3}，需1/a=3，解得a=1/3。故选B。2.不等式|2x-1|<3的解集为（）A.(-1,2)B.(-2,4)C.(-4,-1)D.(1/2,2)解析：|2x-1|<3等价于-3<2x-1<3，解得-1<x<2。故选A。3.若a>b>0，则下列不等式一定成立的是（）A.a^2>b^2B.1/a>1/bC.a^3>b^3D.a/2>b/2解析：因a>b>0，故a^3>b^3（指数函数单调性）。其他选项不恒成立，如1/a<1/b。故选C。4.不等式3x-1/x>2的解集为（）A.(-∞,-1)∪(1/3,+∞)B.(-1,1/3)C.(-∞,-1)∪(0,1/3)D.(0,+∞)解析：原式等价于(3x-1)/x-2>0，即(3x-1-2x)/x>0，得(x-1)/x>0，解得x>1或x<0。故选A。5.若f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.[1,+∞)解析：x^2-2x+3=(x-1)^2+2在(1,+∞)上单调递增，f(x)单调递增需a>1。故选B。6.不等式组{x^2-4x+3>0,|x-1|<2}的解集为（）A.(-1,3)B.(1,3)C.(-1,1)∪(3,+∞)D.(-1,1)∪(1,3)解析：x^2-4x+3>0解得x>3或x<1，|x-1|<2解得-1<x<3，取交集得(-1,1)∪(1,3)。故选D。7.若实数x满足x^2+4x-5≥0且x-3<0，则1/x+1/(x+5)的最小值为（）A.-1B.-1/4C.1/4D.1解析：x^2+4x-5≥0解得x≥1或x≤-5，x-3<0得x<3，故x∈[1,3)。设y=1/x+1/(x+5)=6/(x(x+5))，x∈[1,3)时y单调递减，最小值在x=3处取到，y=1/4。故选C。8.不等式sqrt(x+1)<x+1的解集为（）A.(-1,0)B.(-1,1)C.[0,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,+∞)解析：两边平方得x+1<(x+1)^2，即x^2+x>0，解得x>0或x<-1，但sqrt(x+1)需x≥-1，故x∈(0,+∞)。故选D。9.若a>b>1，则下列不等式正确的是（）A.a^b>b^aB.b^a>a^bC.a^a>b^bD.a^1>a^b解析：因a>b>1，故a^a>b^b（幂函数单调性）。其他选项不成立，如a^b>a^a。故选C。10.不等式组{x^2+y^2≤4,y>x}的整数解的个数是（）A.4B.5C.6D.7解析：圆x^2+y^2=4与直线y=x的交点为(√2,√2)，满足y>x的半圆区域有(0,0),(1,1),(2,0),(0,2),(-1,1),(1,-1)共6个整数点。故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.不等式|3x-2|≥5的解集用集合表示为_________。参考答案：{x|x≥7/3或x≤-1}解析：|3x-2|≥5等价于3x-2≥5或3x-2≤-5，解得x≥7/3或x≤-1。2.若a=2^m，b=2^n，且m<n<0，则a+b与2^(m+n)的大小关系是_________。参考答案：a+b>2^(m+n)解析：因m<n<0，故2^m>2^n>0，a+b=2^m+2^n>22^(n/2)=2^(n+1/2)>2^(n)=2^(m+n)。3.不等式x^2-2|x|+1>0的解集为_________。参考答案：(-∞,-1)∪(1,+∞)解析：x^2-2|x|+1=(|x|-1)^2>0，解得|x|≠1，即x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)。4.若f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值是_________。参考答案：3解析：f(x)表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为1-(-2)=3。5.不等式组{x^2-3x+2>0,x^2+x-6≤0}的解集为_________。参考答案：[1,2]解析：x^2-3x+2>0解得x>2或x<1，x^2+x-6≤0解得-3≤x≤2，取交集得[1,2]。6.若a>1，b>1，且log_a(b)+log_b(a)=4，则a+b的最小值是_________。参考答案：10解析：log_a(b)+log_b(a)=4等价于log_a(b)+1/log_a(b)=4，设t=log_a(b)，则t+(1/t)=4，t=2，b=a^2，a+b≥2√(ab)=2a=10（当a=b^2=4时取等）。7.不等式sqrt(4-x^2)<x+1的解集为_________。参考答案：(-√3,2)解析：sqrt(4-x^2)<x+1等价于4-x^2<(x+1)^2，即3x>0且x^2+x-3>0，解得x∈(0,√3)∩(√3,+∞)=(-√3,2)。8.若f(x)=x^2-px+q在x=1和x=-1处取负值，则p+q的取值范围是_________。参考答案：(-4,0)解析：f(1)=1-p+q<0，f(-1)=1+p+q<0，两式相加得p+q<-2，相减得p-q>0，故p+q∈(-4,0)。9.不等式组{y≤x+1,y≥x^2}的平面区域面积是_________。参考答案：1/6解析：抛物线y=x^2与直线y=x+1交于(1,2)和(-1,0)，面积S=∫[-1]^1[(x+1)-x^2]dx=(x^2/2-x^3/3)|_(-1)^1=1/6。10.若a,b,c>0且a+b+c=1，则a^2+b^2+c^2的最小值是_________。参考答案：1/3解析：由(a+b+c)^2=1得a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1，由均值不等式ab+bc+ca≤3(a^2+b^2+c^2)/2，代入得a^2+b^2+c^2≥1/3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b>0，则a^3-b^3>a^2-b^2。参考答案：正确解析：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)，a^2-b^2=(a-b)(a+b)，因a>b>0，故a^2+ab+b^2>a+b，不等式成立。2.不等式|1-x|+|x-2|>1对所有实数x成立。参考答案：正确解析：|1-x|+|x-2|表示数轴上x到1和2的距离之和，最小值为1，故恒大于1。3.若a>b>1，则log_a(b)>log_b(a)。参考答案：错误解析：设t=log_a(b)，则log_b(a)=1/t，因a>b>1，故0<t<1，log_a(b)<1。4.不等式组{x^2+y^2≤1,x+y>1}的平面区域是圆内部分。参考答案：错误解析：x^2+y^2≤1表示圆内，x+y>1表示直线上方，交集是圆内但不含直线部分。5.若f(x)=x^2-2x+3，则f(x)在(-∞,1)上单调递减。参考答案：正确解析：f(x)的对称轴为x=1，在(-∞,1)上单调递减。6.不等式sqrt(x^2+1)>x对所有实数x成立。参考答案：错误解析：当x=0时，sqrt(1)>0，不等式不成立。7.若a>b>0，则1/a^2>1/b^2。参考答案：正确解析：因a>b>0，故1/a>1/b>0，平方后不等式仍成立。8.不等式组{x^2-4x+3≤0,|x-1|<2}的解集是[1,3]。参考答案：错误解析：x^2-4x+3≤0解得1≤x≤3，|x-1|<2解得-1<x<3，交集为[1,3)，不含3。9.若a,b>0，则a+b≥2√(ab)。参考答案：正确解析：由均值不等式(a+b)/2≥√(ab)，即a+b≥2√(ab)。10.不等式x^2-3x+2>0与x^2+x-6>0的解集相同。参考答案：错误解析：前者解集为(-∞,1)∪(2,+∞)，后者解集为(-3,2)，不相同。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知a>b>0，且a^2+b^2=2，求证a+b>2。证明：由均值不等式(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=2+2ab≥2，因ab>0，故a+b>√2+√2=2。2.若f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值及取值范围。解：f(x)表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为1-(-2)=3。取值范围是[3,+∞)。3.不等式x^2-4|x|+3>0的解集是什么？解：x^2-4|x|+3=(|x|-1)(|x|-3)>0，解得|x|>3或|x|<1，即x∈(-∞,-3)∪(-1,1)∪(3,+∞)。4.若a,b,c>0，且a+b+c=1，求a^2+b^2+c^2的最小值。解：由(a+b+c)^2=1得a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1，由均值不等式ab+bc+ca≤3(a^2+b^2+c^2)/2，代入得a^2+b^2+c^2≥1/3。最小值为1/3。5.不等式组{y≤x+1,y≥x^2}的平面区域是什么形状？解：区域是抛物线y=x^2与直线y=x+1的下方部分，包括边界，形状是抛物线段与直线段围成的封闭区域。6.若f(x)=log_a(x^2-2x+3)，求f(x)的定义域和单调区间（a>1）。解：定义域为x^2-2x+3>0，即x∈R。因x^2-2x+3=(x-1)^2+2在(1,+∞)上单调递增，f(x)在(1,+∞)上单调递增。7.若a>b>1，且log_a(b)+log_b(a)=4，求a+b的最小值。解：设t=log_a(b)，则t+(1/t)=4，t=2，b=a^2，a+b=a+a^2≥2√(aa^2)=2a=10（当a=4时取等）。最小值为10。8.不等式sqrt(x+1)<x+1的解集是什么？解：两边平方得x+1<(x+1)^2，即x^2+x>0，解得x>0或x<-1，但sqrt(x+1)需x≥-1，故x∈(0,+∞)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产A、B两种产品，每件A产品利润为10元，每件B产品利润为8元，生产每件A产品需消耗原料3kg，生产每件B产品需消耗原料2kg，工厂每天最多消耗原料100kg，且B产品产量不超过A产品的2倍。若要使利润最大，应如何安排生产？解：设生产A产品x件，B产品y件，利润z=10x+8y。约束条件为3x+2y≤100，y≤2x。当x=20时，y≤40，z=1020+840=560；当x=25时，y≤50，z=1025+825=625；当x=30时，y≤60，z=1030+860=630。最大利润为630元，生产A产品30件，B产品60件。2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值及取值范围。解：f(x)表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为1-(-2)=3。取值范围是[3,+∞)。3.若a>b>0，且a^2+b^2=2，求证a+b>2。证明：由均值不等式(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=2+2ab≥2，因ab>0，故a+b>√2+√2=2。4.不等式组{y≤x+1,y≥x^2}的平面区域是什么形状？解：区域是抛物线y=x^2与直线y=x+1的下方部分，包括边界，形状是抛物线段与直线段围成的封闭区域。5.若f(x)=log_a(x^2-2x+3)，求f(x)的定义域和单调区间（a>1）。解：定义域为x^2-2x+3>0，即x∈R。因x^2-2x+3=(x-1)^2+2在(1,+∞)上单调递增，f(x)在(1,+∞)上单调递增。6.若a>b>1，且log_a(b)+log_b(a)=4，求a+b的最小值。解：设t=log_a(b)，则t+(1/t)=4，t=2，b=a^2，a+b=a+a^2≥2√(aa^2)=2a=10（当a=4时取等）。最小值为10。7.不等式sqrt(x+1)<x+1的解集是什么？解：两边平方得x+1<(x+1)^2，即x^2+x>0，解得x>0或x<-1，但sqrt(x+1)需x≥-1，故x∈(0,+∞)。8.某学校组织春游，租用大巴车若干辆，每辆车限载45人，若每辆车坐40人，则多出15个座位；若每辆车坐42人，则还差18个座位。问租用了多少辆大巴车？解：设租用x辆车，则40x+15=42x-18，解得x=33。租用了33辆大巴车。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.C4.A5.B6.D7.C8.D9.C10.C二、填空题1.{x|x≥7/3或x≤-1}12.a+b>2^(m+n)13.(-∞,-1)∪(1,+∞)2.315.[1,2]16.1017.(-√3,2)18.(-4,0)19.1/620.1/3三、判断题1.√22.√23.×24.×25.√26.×27.√28.×29.√30.×四、简答题1.证明：由均值不等式(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=2+2ab≥2，因ab>0，故a+b>√2+√2=2。2.解：f(x)表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为1-(-2)=3。取值范围是[3,+∞)。3.解：x^2-4|x|+3=(|x|-1)(|x|-3)>0，解得|x|>3或|x|<1，即x∈(-∞,-3)∪(-1,1)∪(3,+∞)。4.解：由(a+b+c)^2=1得a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1，由均值不等式ab+bc+ca≤3(a^2+b^2+c^2)/2，代入得a^2+b^2+c^2≥1/3。最小值为1/3。5.解：区域是抛物线y=x^2与直线y=x+1的下方部分，包括边界，形状是抛物线段与直线段围成的封闭区域。6.解：定义域为x^2-2x+3>0，即x∈R。因x^2-2x+3=(x-1)^2+2在(1,+∞)上单调递增，f(x)在(1,+∞)上单调递增。7.解：设t=log_a(b)，则t+(1/t)=4，t=2，b=a^2，a