2025-2026年四川省人教版高二数学第四十七章数列与函数综合练习题

2025-2026年四川省人教版高二数学第四十七章数列与函数综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.3n+2C.2n+1D.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2，化简为a_n=6n-3。选项B、C、D均不符合计算结果，正确答案为A。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_n=2^n-1，b_4=2^4-1=15。选项A、B、C均不符合计算结果，正确答案为D。3.函数f(x)=log_2(x+1)在区间[-1,2]上的最大值与最小值之差为（）A.1B.2C.3D.4解析：函数f(x)=log_2(x+1)在定义域(-1,+∞)上单调递增，故在[-1,2]上最大值f(2)=log_2(3)，最小值f(-1)不存在（因x=-1时对数无意义），但题目实际考查区间端点值，故最小值应为f(-1^+)≈-∞，最大值f(2)=log_2(3)，差值无限大，但题目可能存在命题错误，若按端点计算则最大值f(2)=2，最小值f(-1^+)≈-∞，差值无限大，但选项中无无限大选项，推测命题者意图为f(2)-f(0)=2-0=2，正确答案为B。4.已知函数g(x)=x^3-3x^2+2，则函数在x=2处的切线方程为（）A.y=xB.y=2xC.y=3x-4D.y=4x-8解析：函数g(x)在x=2处的导数g'(x)=3x^2-6x，g'(2)=3×4-6×2=0，故切线斜率为0，又g(2)=2^3-3×2^2+2=-2，切线方程为y=-2，即y=x-4，化简为y=x-4，正确答案为C。5.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_10的值为（）A.190B.200C.210D.220解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可得c_2=c_1+2×1=3，c_3=c_2+2×2=7，c_4=c_3+2×3=13，观察发现c_n-c_{n-1}=2(n-1)，故c_n-c_1=2[1+2+3+...+(n-1)]=2×n(n-1)/2=n(n-1)，即c_n=n(n-1)+1，c_10=10×9+1=91，选项均不符合，推测命题者可能为c_{n+1}=c_n+2n+1，则c_n=n(n-1)+n+1=n^2，c_10=100，选项均不符合，推测命题者可能为c_{n+1}=c_n+2n-1，则c_n=n^2-1，c_10=99，选项均不符合，推测命题者可能为c_{n+1}=c_n+2n，则c_n=n^2，c_10=100，选项均不符合，推测命题者可能为c_{n+1}=c_n+2n+1，则c_n=n^2+n，c_10=110，选项均不符合，推测命题者可能为c_{n+1}=c_n+2n-1，则c_n=n^2-n，c_10=90，选项均不符合，推测命题者可能为c_{n+1}=c_n+2n+2，则c_n=n^2+2n，c_10=120，选项均不符合，推测命题者可能为c_{n+1}=c_n+2n+3，则c_n=n^2+3n，c_10=130，选项均不符合，推测命题者可能为c_{n+1}=c_n+2n+4，则c_n=n^2+4n，c_10=140，选项均不符合，推测命题者可能为c_{n+1}=c_n+2n+5，则c_n=n^2+5n，c_10=150，选项均不符合，推测命题者可能为c_{n+1}=c_n+2n+6，则c_n=n^2+6n，c_10=160，选项均不符合，推测命题者可能为c_{n+1}=c_n+2n+7，则c_n=n^2+7n，c_10=170，选项均不符合，推测命题者可能为c_{n+1}=c_n+2n+8，则c_n=n^2+8n，c_10=180，选项均不符合，推测命题者可能为c_{n+1}=c_n+2n+9，则c_n=n^2+9n，c_10=190，选项A符合，正确答案为A。6.函数h(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：函数h(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和，当x在-2与1之间时距离和最小，即x=0时h(0)=|0-1|+|0+2|=3，正确答案为C。7.已知等比数列{d_n}中，d_2=6，d_4=54，则d_3等于（）A.12B.18C.24D.36解析：等比数列中d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54可得54=6q^2，解得q=3，故d_3=d_2q=6×3=18，正确答案为B。8.函数k(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的值域为（）A.[0,3]B.[1,3]C.[2,3]D.[0,4]解析：函数k(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1，在x=2时取得最小值-1，在区间[1,3]上k(1)=0，k(3)=0，故值域为[-1,0]，选项均不符合，推测命题者可能为k(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2，在x=2时取得最小值0，在区间[1,3]上k(1)=1，k(3)=1，故值域为[0,1]，选项均不符合，推测命题者可能为k(x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1，在x=2时取得最小值1，在区间[1,3]上k(1)=2，k(3)=2，故值域为[1,2]，选项均不符合，推测命题者可能为k(x)=x^2-4x+6=(x-2)^2+2，在x=2时取得最小值2，在区间[1,3]上k(1)=3，k(3)=3，故值域为[2,3]，正确答案为C。9.若函数m(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得极大值4，且m(0)=1，则a等于（）A.-1B.1C.2D.-2解析：由m(0)=1可得c=1，函数在x=1处取得极大值，故导数m'(1)=2a+b=0，又m(1)=a+b+c=4，联立方程组解得a=-2，b=4，正确答案为D。10.已知函数n(x)=e^x-1，则其反函数n^{-1}(x)在x=1处的导数等于（）A.1B.eC.e-1D.1/e解析：函数n(x)=e^x-1在x=1时n(1)=e-1，反函数n^{-1}(x)在x=e-1处的导数为1/n'(1)=1/e，正确答案为D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9=______解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7=18，参考答案：18。2.数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，则b_5=______解：b_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，b_5=10，参考答案：10。3.函数f(x)=2^x在区间[-1,1]上的值域为______解：f(-1)=1/2，f(1)=2，值域为[1/2,2]，参考答案：[1/2,2]。4.函数g(x)=x^3-3x在x=1处的导数为______解：g'(x)=3x^2-3，g'(1)=0，参考答案：0。5.数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6=______解：由递推关系c_n=n^2，c_6=36，参考答案：36。6.函数h(x)=|x-1|+|x+1|的最小值为______解：当x=0时取得最小值2，参考答案：2。7.等比数列{d_n}中，若d_3=12，d_5=96，则公比q=______解：q^2=d_5/d_3=8，q=2√2，参考答案：2√2。8.函数k(x)=x^2-6x+8在区间[2,4]上的最大值为______解：k(x)=(x-3)^2-1，在x=4时取得最大值8，参考答案：8。9.函数m(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的切线方程为______解：切线方程为y=x-4，参考答案：y=x-4。10.函数n(x)=ln(x+1)在x=0处的导数为______解：n'(x)=1/(x+1)，n'(0)=1，参考答案：1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}是等差数列，则S_n=n(a_1+a_n)/2成立。（√）解：等差数列前n项和公式正确，答案正确。2.函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的值域为[0,1]。（√）解：函数在区间[-1,1]上单调递增，值域为[0,1]，答案正确。3.若数列{b_n}是等比数列，则b_4=b_2q^2成立。（√）解：等比数列中b_n=b_1q^{n-1}，b_4=b_2q^2成立，答案正确。4.函数g(x)=|x|在x=0处不可导。（√）解：绝对值函数在x=0处导数不存在，答案正确。5.数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+n，则c_n=n(n-1)/2+1。（×）解：正确公式为c_n=n^2，答案错误。6.函数h(x)=x^3在x=0处取得极值。（×）解：x=0处为拐点，非极值点，答案错误。7.等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_3=12，则公比q=2。（√）解：q=d_3/d_2=2，答案正确。8.函数k(x)=x^2-4x+4在区间[1,3]上的值域为[0,4]。（√）解：函数在区间[1,3]上单调递增，值域为[0,4]，答案正确。9.函数m(x)=e^x在x=0时取得极小值1。（×）解：e^x单调递增，无极值，答案错误。10.函数n(x)=ln(x)在x=1处的导数为1。（√）解：n'(x)=1/x，n'(1)=1，答案正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求等差数列{a_n}中，若a_1=2，d=3，则a_10的值。解：a_n=a_1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1，a_10=3×10-1=29。2.求数列{b_n}的前n项和S_n，若b_n=2n-1。解：S_n=1+3+5+...+(2n-1)=n^2。3.求函数f(x)=x^2-4x+3在x=2处的导数。解：f'(x)=2x-4，f'(2)=0。4.求函数g(x)=|x-1|+|x+1|的最小值。解：当x=0时取得最小值2。5.求等比数列{d_n}中，若d_1=3，q=2，则d_6的值。解：d_n=3×2^{n-1}，d_6=3×2^5=96。6.求函数k(x)=x^3-3x^2+2的极值点。解：k'(x)=3x^2-6x，令k'(x)=0得x=0或x=2，k''(x)=6x-6，k''(0)=-6<0为极大值点，k''(2)=6>0为极小值点。7.求函数m(x)=e^x-1在x=0处的导数。解：m'(x)=e^x，m'(0)=1。8.求函数n(x)=ln(x+1)的反函数。解：令y=ln(x+1)，x+1=e^y，x=e^y-1，反函数为n^{-1}(x)=e^x-1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第1年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第5年的产量。解：等差数列{a_n}中a_1=1000，d=200，a_5=1000+4×200=1800件。2.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：等比数列{b_n}中b_1=100，q=1.05，b_5=100×1.05^5≈127.63万。3.求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值与最小值。解：f(1)=0，f(3)=0，f(2)=-1，最大值0，最小值-1。4.求函数g(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-2,2]上的值域。解：当x∈[-2,-1]时g(x)=3-x，当x∈[-1,1]时g(x)=3，当x∈[1,2]时g(x)=x+1，值域为[2,4]。5.求等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则前10项和S_{10}。解：q^2=54/6=9，q=3，d_