2026年人教版高一数学第四章对数函数练习题

2026年人教版高一数学第四章对数函数练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=logₐ(x+1)在(0,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是______。选项：A.(0,1)∪(1,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)解析：根据对数函数的单调性，当底数a>1时，对数函数在定义域内单调递增；当0<a<1时，对数函数在定义域内单调递减。题目要求f(x)=logₐ(x+1)在(0,+∞)上单调递减，因此底数a必须满足0<a<1。选项B正确。其他选项均不符合题意，选项A包含a>1的情况，选项C仅包含a>1的情况，选项D包含a=1的情况，而a=1时函数为log₁(x+1)=0，不满足单调递减的条件。2.若log₃(2x-1)=1，则x的值为______。选项：A.2B.3C.4D.5解析：根据对数运算性质，logₐN=b等价于a^b=N。将log₃(2x-1)=1转化为指数形式，得3^1=2x-1，即2x-1=3。解得x=2。选项A正确。其他选项均不符合等式解。3.函数f(x)=log₂(3-x)的定义域为______。选项：A.(-∞,3)B.(-∞,2)∪(2,+∞)C.[3,+∞)D.(-∞,3]解析：对数函数的真数必须大于0，即3-x>0。解得x<3。因此定义域为(-∞,3)。选项A正确。其他选项均不符合定义域要求，选项B包含真数小于0的情况，选项C包含真数小于0的情况，选项D包含x=3的情况，而x=3时真数为0，不满足对数函数的定义。4.若logₐ(5)=m，logₐ(3)=n，则logₐ(15)的值为______。选项：A.m+nB.m-nC.mnD.m/n解析：根据对数的运算性质，logₐ(MN)=logₐM+logₐN。将15分解为5×3，得logₐ(15)=logₐ(5×3)=logₐ(5)+logₐ(3)=m+n。选项A正确。其他选项均不符合对数运算性质。5.函数f(x)=2-log₃(1-x)的值域为______。选项：A.(0,+∞)B.(-∞,2]C.[0,+∞)D.(-∞,1)解析：由于对数函数log₃(1-x)的真数1-x必须大于0，即x<1。当x趋近于1时，1-x趋近于0，log₃(1-x)趋近于负无穷，因此2-log₃(1-x)趋近于正无穷。当x趋近于负无穷时，1-x趋近于正无穷，log₃(1-x)也趋近于正无穷，因此2-log₃(1-x)趋近于负无穷。因此值域为(-∞,2]。选项B正确。其他选项均不符合值域范围。6.若函数f(x)=logₐ(x+1)在(-1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______。选项：A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.[1,+∞)解析：根据对数函数的单调性，当底数a>1时，对数函数在定义域内单调递增。题目要求f(x)=logₐ(x+1)在(-1,+∞)上单调递增，因此底数a必须满足a>1。选项B正确。其他选项均不符合题意，选项A包含0<a<1的情况，选项C包含0<a<1的情况，选项D包含a=1的情况，而a=1时函数为log₁(x+1)=0，不满足单调递增的条件。7.若log₃(9x)=4，则x的值为______。选项：A.3B.9C.27D.81解析：根据对数运算性质，logₐN=b等价于a^b=N。将log₃(9x)=4转化为指数形式，得3^4=9x，即81=9x。解得x=9。选项B正确。其他选项均不符合等式解。8.函数f(x)=log₄(2x-1)在区间[1,2]上的值域为______。选项：A.(0,1)B.(0,log₄(3)]C.[0,log₄(3)]D.(0,log₄(3))解析：当x=1时，2x-1=1，log₄(2x-1)=log₄(1)=0。当x=2时，2x-1=3，log₄(2x-1)=log₄(3)。由于对数函数log₄(x)在(0,+∞)上单调递增，因此log₄(2x-1)在[1,2]上的值域为[0,log₄(3)]。选项C正确。其他选项均不符合值域范围，选项A和B的值域不包含0，选项D的值域不包含log₄(3)。9.若logₐ(2)<logₐ(3)，则实数a的取值范围是______。选项：A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.[1,+∞)解析：当0<a<1时，对数函数logₐ(x)在(0,+∞)上单调递减，因此logₐ(2)>logₐ(3)。当a>1时，对数函数logₐ(x)在(0,+∞)上单调递增，因此logₐ(2)<logₐ(3)。因此实数a必须满足a>1。选项B正确。其他选项均不符合题意，选项A包含0<a<1的情况，选项C包含0<a<1的情况，选项D包含a=1的情况，而a=1时logₐ(2)=log₁(2)=0，logₐ(3)=log₁(3)=0，不满足logₐ(2)<logₐ(3)的条件。10.若函数f(x)=log₃(2x-1)在区间(1,+∞)上单调递增，则实数k的取值范围是______。选项：A.k>0B.k<0C.k=0D.k∈R解析：由于对数函数log₃(2x-1)的真数2x-1必须大于0，即x>1/2。题目要求f(x)=log₃(2x-1)在(1,+∞)上单调递增，而底数3>1，因此函数在(1,+∞)上单调递增。实数k的取值范围与函数的单调性无关，因此k可以取任意实数。选项D正确。其他选项均不符合题意，选项A和B均限制了k的取值范围，选项C限制了k的取值范围为0，而实际上k可以取任意实数。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若log₃(2a-1)=1，则a=______。解析：根据对数运算性质，logₐN=b等价于a^b=N。将log₃(2a-1)=1转化为指数形式，得3^1=2a-1，即2a-1=3。解得a=2。2.函数f(x)=log₂(x-1)的定义域为______。解析：对数函数的真数必须大于0，即x-1>0。解得x>1。因此定义域为(1,+∞)。3.若logₐ(4)=2，则a=______。解析：根据对数运算性质，logₐN=b等价于a^b=N。将logₐ(4)=2转化为指数形式，得a^2=4。解得a=±2。由于对数函数的底数必须大于0且不等于1，因此a=2。4.若log₃(5)=m，log₃(2)=n，则log₃(10)的值为______。解析：根据对数的运算性质，logₐ(MN)=logₐM+logₐN。将10分解为5×2，得log₃(10)=log₃(5×2)=log₃(5)+log₃(2)=m+n。5.函数f(x)=3-log₁₀(1-x)的值域为______。解析：由于对数函数log₁₀(1-x)的真数1-x必须大于0，即x<1。当x趋近于1时，1-x趋近于0，log₁₀(1-x)趋近于负无穷，因此3-log₁₀(1-x)趋近于正无穷。当x趋近于负无穷时，1-x趋近于正无穷，log₁₀(1-x)也趋近于正无穷，因此3-log₁₀(1-x)趋近于负无穷。因此值域为(-∞,3]。6.若函数f(x)=logₐ(x+2)在(-2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______。解析：根据对数函数的单调性，当底数a>1时，对数函数在定义域内单调递增。题目要求f(x)=logₐ(x+2)在(-2,+∞)上单调递增，因此底数a必须满足a>1。7.若log₅(25x)=3，则x的值为______。解析：根据对数运算性质，logₐN=b等价于a^b=N。将log₅(25x)=3转化为指数形式，得5^3=25x，即125=25x。解得x=5。8.函数f(x)=log₁₀(3x+2)在区间(-1,0)上的值域为______。解析：当x=-1时，3x+2=-1，log₁₀(3x+2)无意义。当x=0时，3x+2=2，log₁₀(3x+2)=log₁₀(2)。由于对数函数log₁₀(x)在(0,+∞)上单调递增，因此log₁₀(3x+2)在(-1,0)上的值域为(-∞,log₁₀(2))。9.若logₐ(3)>logₐ(2)，则实数a的取值范围是______。解析：当0<a<1时，对数函数logₐ(x)在(0,+∞)上单调递减，因此logₐ(3)<logₐ(2)。当a>1时，对数函数logₐ(x)在(0,+∞)上单调递增，因此logₐ(3)>logₐ(2)。因此实数a必须满足a>1。10.若函数f(x)=log₃(1+kx)在(-1,1)上单调递减，则实数k的取值范围是______。解析：由于对数函数log₃(1+kx)的真数1+kx必须大于0，即kx>-1。当x=-1时，kx>-1，即-k>-1，得k<1。当x=1时，kx>-1，即k>-1。因此k的取值范围是(-1,1)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若log₃(x+1)=log₃(2x-1)，则x=2。解析：根据对数函数的单调性，当logₐM=logₐN时，必有M=N。因此x+1=2x-1，解得x=2。该命题正确。2.函数f(x)=log₂(x²-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)。解析：对数函数的真数必须大于0，即x²-1>0。解得x<-1或x>1。因此定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)。该命题正确。3.若logₐ(4)=2，则a=2或a=-2。解析：根据对数运算性质，logₐN=b等价于a^b=N。将logₐ(4)=2转化为指数形式，得a^2=4。解得a=±2。由于对数函数的底数必须大于0且不等于1，因此a=2。该命题错误。4.若log₃(5)=m，log₃(2)=n，则log₃(10)的值为m+n。解析：根据对数的运算性质，logₐ(MN)=logₐM+logₐN。将10分解为5×2，得log₃(10)=log₃(5)+log₃(2)=m+n。该命题正确。5.函数f(x)=log₄(2x-1)在区间[1,2]上的值域为[0,log₄(3)]。解析：当x=1时，2x-1=1，log₄(2x-1)=log₄(1)=0。当x=2时，2x-1=3，log₄(2x-1)=log₄(3)。由于对数函数log₄(x)在(0,+∞)上单调递增，因此log₄(2x-1)在[1,2]上的值域为[0,log₄(3)]。该命题正确。6.若logₐ(2)<logₐ(3)，则实数a的取值范围是a>1。解析：当0<a<1时，对数函数logₐ(x)在(0,+∞)上单调递减，因此logₐ(2)>logₐ(3)。当a>1时，对数函数logₐ(x)在(0,+∞)上单调递增，因此logₐ(2)<logₐ(3)。因此实数a必须满足a>1。该命题正确。7.若函数f(x)=log₃(2x-1)在区间(1,+∞)上单调递增，则实数k的取值范围是k∈R。解析：由于对数函数log₃(2x-1)的真数2x-1必须大于0，即x>1/2。题目要求f(x)=log₃(2x-1)在(1,+∞)上单调递增，而底数3>1，因此函数在(1,+∞)上单调递增。实数k的取值范围与函数的单调性无关，因此k可以取任意实数。该命题正确。8.若log₅(25x)=3，则x=5。解析：根据对数运算性质，logₐN=b等价于a^b=N。将log₅(25x)=3转化为指数形式，得5^3=25x，即125=25x。解得x=5。该命题正确。9.函数f(x)=log₁₀(3x+2)在区间(-1,0)上的值域为(-∞,log₁₀(2))。解析：当x=-1时，3x+2=-1，log₁₀(3x+2)无意义。当x=0时，3x+2=2，log₁₀(3x+2)=log₁₀(2)。由于对数函数log₁₀(x)在(0,+∞)上单调递增，因此log₁₀(3x+2)在(-1,0)上的值域为(-∞,log₁₀(2))。该命题正确。10.若函数f(x)=log₃(1+kx)在(-1,1)上单调递减，则实数k的取值范围是(-1,1)。解析：由于对数函数log₃(1+kx)的真数1+kx必须大于0，即kx>-1。当x=-1时，kx>-1，即-k>-1，得k<1。当x=1时，kx>-1，即k>-1。因此k的取值范围是(-1,1)。该命题正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述对数函数的单调性。解析：对数函数的单调性取决于底数a的取值范围。当底数a>1时，对数函数logₐ(x)在(0,+∞)上单调递增；当0<a<1时，对数函数logₐ(x)在(0,+∞)上单调递减。2.求函数f(x)=log₂(x+3)的定义域。解析：对数函数的真数必须大于0，即x+3>0。解得x>-3。因此定义域为(-3,+∞)。3.若log₅(2a-1)=2，求a的值。解析：根据对数运算性质，logₐN=b等价于a^b=N。将log₅(2a-1)=2转化为指数形式，得5^2=2a-1，即25=2a-1。解得a=13。4.若log₃(5)=m，log₃(2)=n，求log₃(10)的值。解析：根据对数的运算性质，logₐ(MN)=logₐM+logₐN。将10分解为5×2，得log₃(10)=log₃(5)+log₃(2)=m+n。5.求函数f(x)=2-log₁₀(x-1)的值域。解析：由于对数函数log₁₀(x-1)的真数x-1必须大于0，即x>1。当x趋近于1时，x-1趋近于0，log₁₀(x-1)趋近于负无穷，因此2-log₁₀(x-1)趋近于正无穷。当x趋近于正无穷时，x-1趋近于正无穷，log₁₀(x-1)也趋近于正无穷，因此2-log₁₀(x-1)趋近于负无穷。因此值域为(-∞,2]。6.若函数f(x)=logₐ(x+4)在(-4,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围。解析：根据对数函数的单调性，当底数a>1时，对数函数在定义域内单调递增。题目要求f(x)=logₐ(x+4)在(-4,+∞)上单调递增，因此底数a必须满足a>1。7.若log₇(49x)=4，求x的值。解析：根据对数运算性质，logₐN=b等价于a^b=N。将log₇(49x)=4转化为指数形式，得7^4=49x，即2401=49x。解得x=49。8.简述对数函数的运算性质。解析：对数函数的运算性质包括：（1）logₐ(MN)=logₐM+logₐN；（2）logₐ(M/N)=logₐM-logₐN；（3）logₐ(a^k)=klogₐM；（4）logₐ(M)=logₐN等价于M=N。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某城市人口增长模型为f(t)=10^0.02t，其中f(t)表示t年后的人口数量（单位：万人），求5年后的人口数量。解析：将t=5代入f(t)=10^0.02t，得f(5)=10^0.02×5=10^0.1≈1.2589。因此5年后的人口数量约为1.2589万人。2.某商品价格下降模型为f(t)=log₂(100-2t)，其中f(t)表示t年后商品的价格（单位：元），求3年后商品的价格。解析：将t=3代入f(t)=log₂(100-2t)，得f(3)=log₂(100-2×3)=log₂(94)。由于log₂(94)无法精确计算，可以使用计算器得f(3)≈6.548。因此3年后商品的价格约为6.548元。3.某细菌繁殖模型为f(t)=log₃(1+2^t)，其中f(t)表示t小时后细菌的数量（单位：个），求2小时后细菌的数量。解析：将t=2代入f(t)=log₃(1+2^t)，得f(2)=log₃(1+2^2)=log₃(5)。由于log₃(5)无法精确计算，可以使用计算器得f(2)≈2.079。因此2小时后细菌的数量约为2.079个。4.某放射性物质衰变模型为f(t)=log₁₀(1000×0.9^t)，其中f(t)表示t年后物质的剩余量（单位：克），求3年后物质的剩余量。解析：将t=3代入f(t)=log₁₀(1000×0.9^t)，得f(3)=log₁₀(1000×0.9^3)=log₁₀(1000×0.729)=log₁₀(729)。由于log₁₀(729)无法精确计算，可以使用计算器得f(3)≈2.865。因此3年后物质的剩余量约为2.865克。5.某城市交通流量模型为f(t)=log₄(200+10t)，其中f(t)表示t小时后交通流量（单位：辆/小时），求4小时后交通流量。解析：将t=4代入f(t)=log₄(200+10t)，得f(4)=log₄(200+10×4)=log₄(240)。由于log₄(240)无法精确计算，可以使用计算器得f(4)≈3.906。因此4小时后交通流量约为3.906辆/小时。6.某投资增长模型为f(t)=log₅(1000×1.05^t)，其中f(t)表示t年后投资的收益（单位：元），求5年后投资的收益。解析：将t=5代入f(t)=log₅(1000×1.05^t)，得f(5)=log₅(1000×1.05^5)=log₅(1000×1.2762815625)=log₅(1276.2815625)。由于log₅(1276.2815625)无法精确计算，可以使用计算器得f(5)≈4.096。因此5年后投资的收益约为4.096元。7.某森林面积增长模型为f(t)=log₈(500+50t)，其中f(t)表示t年后森林面积（单位：公顷），求6年后森林面积。解析：将t=6代入f(t)=log₈(500+50t)，得f(6)=log₈(500+50×6)=log₈(800)。由于log₈(800)无法精确计算，可以使用计算器得f(6)≈2.774。因此6年后森林面积约为2.774公顷。8.某城市空气质量指数模型为f(t)=log₁₀(100-5t)，其中f(t)表示t小时后空气质量指数（单位：AQI），求3小时后空气质量指数。解析：将t=3代入f(t)=log₁₀(100-5t)，得f(3)=log₁₀(100-5×3)=log₁₀(85)。由于log₁₀(85)无法精确计算，可以使用计算器得f(3)≈1.929。因此3小时后空气质量指数约为1.929。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.A5.B6.B7.B8.C9.B10.D二、填空题1.22.(1,+∞)3.24.m+n5.(-∞,3]6.a>17.58.(-∞,log₁₀(2))9.a>110.(-1,1)三、判断题1.√2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√四、简答题1.解析：对数函数的单调性取决于底数a的取值范围。当底数a>1时，对数函数logₐ(x)在(0,+∞)上单调递增；当0<a<1时，对数函数logₐ(x)在(0,+∞)上单调递减。2.解析：对数函数的真数必须大于0，即x+3>0。解得x>-3。因此定义域为(-3,+∞)。3.解析：根据对数运算性质，logₐN=b等价于a^b=N。将log₅(2a-1)=2转化为指数形式，得5^2=2a-1，即25=2a-1。解得a=13。4.解析：根据对数的运算性质，logₐ(MN)=logₐM+logₐN。将10分解为5×2，得log₃(10)=log₃(5)+log₃(2)=m+n。5.解析：由于对数函数log₁₀(x-1)的真数x-1必须大于0，即x>1。当x趋近于1时，x-1趋近于0，log₁₀(x-1)趋近于负无穷，因此2-log₁₀(x-1)趋近于正无穷。当x趋近于正无穷时，x-1趋近于正无穷，log₁₀(x-1)也趋近于正无穷，因此2-log₁₀(x-1)趋近于负无穷。因此值域为(-∞,2]。6.解析：根据对数函数的单调性，当底数a>1时，对数函数在定义域内单调递增。题目要求f(x)=logₐ(x+4)在(-4,+∞)上单调递增，因此底数a必须满足a>1。7.解析：根据对数运算性质，logₐN=b等价于a^b=N。将log₇(49x)=4转化为指数形式，得7^4=49x，即2401=49x。解得x=49。8.解析：对数函数的运算性质包括：（1）logₐ(MN)=logₐM+logₐN；（2）logₐ(M/N)=logₐM-logₐN；（3）logₐ(a^k)=klogₐM；（4）logₐ(M)=logₐN等价于M=N。