2025-2026年广东省人教版高二数学第二十一章数列极限与导数综合练习题

2025-2026年广东省人教版高二数学第二十一章数列极限与导数综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在数列{a_n}中，若a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n•2^n-1D.(n-1)•2^n+1解析：由a_n+1=2a_n+1可得a_n+1-1=2(a_n-1)，即{a_n-1}是首项为0、公比为2的等比数列，故a_n=2^(n-1)。S_n=1+2+4+...+2^(n-1)=2^n-1，选A。2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1/b_n=1+1/n（n≥1），则lim(n→∞)b_n等于（）A.1B.2C.eD.∞解析：b_n+1/b_n=1+1/n⇒lnb_n+1-lnb_n=ln(1+1/n)≈1/n，累加可得lnb_n≈n，b_n≈e^n，故极限不存在，选D。3.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的切线方程为（）A.3x-y-2=0B.3x+y-4=0C.x-y-2=0D.x+y-2=0解析：f'(x)=3x^2-3，f'(1)=0，f(1)=-2，切线方程为y=-2，即x+y+2=0，选D。4.若函数g(x)=ln(1+x)-x的导数g'(x)在x=0处取得极小值，则实数k的取值范围是（）A.k>1B.k<1C.0<k<1D.k=1解析：g'(x)=1/(1+x)-1，g'(x)在x=0处为0，g''(x)=-1/(1+x)^2，g''(0)=-1<0，需g''(k)=0⇒k=1，选D。5.已知函数h(x)=x^3-ax^2+bx在x=1和x=-1处均取得极值，则a+b的值为（）A.-1B.1C.3D.-3解析：h'(x)=3x^2-2ax+b，由h'(1)=0和h'(-1)=0可得a=0，b=-3，故a+b=-3，选D。6.若数列{c_n}的前n项和T_n=2n^2-3n，则c_5的值为（）A.21B.23C.25D.27解析：c_n=T_n-T_{n-1}=4n-5，c_5=15-5=10，选B。7.函数F(x)=e^x/x在x→+∞时的极限为（）A.0B.1C.eD.∞解析：F(x)=e^(x-1)/x，lim(x→+∞)F(x)=lim(x→+∞)e^(x-1)/x=∞，选D。8.已知函数f(x)=x^2+px+q在x=1处的切线与直线y=2x+3平行，则p+q的值为（）A.2B.3C.4D.5解析：f'(1)=2+p=2⇒p=0，f(1)+p+q=5⇒q=5，p+q=5，选D。9.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n/(a_n+2)，则lim(n→∞)a_n等于（）A.1/2B.1C.2D.3解析：设lim(n→∞)a_n=L，则L=3L/(L+2)⇒L=1，选B。10.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值与最小值之差为（）A.5B.9C.15D.21解析：f'(x)=3x^2-6x，驻点x=0和x=2，f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，最大值2，最小值-10，差12，选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则a_4的值为______。解析：a_4=S_4-S_3=48-30=18。2.函数f(x)=ln(2x+1)在x=1处的导数f'(1)等于______。解析：f'(x)=2/(2x+1)，f'(1)=2/3。3.若函数g(x)=x^3+kx+1在x=1处的切线垂直于x轴，则k的值为______。解析：g'(1)=3+2k=0⇒k=-3/2。4.数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1，则该数列的通项公式b_n等于______。解析：b_n=2^(n-1)。5.函数F(x)=e^x/x^2在x→0^-时的极限为______。解析：F(x)=e^x/x^2→∞。6.若函数f(x)=x^2+mx+n在x=1处的切线与直线y=4x-3垂直，则m+n的值为______。解析：f'(1)=2+m=4⇒m=2，f(1)+m+n=2⇒n=-3，m+n=-1。7.数列{c_n}的前n项和T_n=4n^2-n，则c_6的值为______。解析：c_6=T_6-T_5=150-35=115。8.函数f(x)=ln(x+1)-x在x=0处的二阶导数f''(0)等于______。解析：f''(x)=-1/(x+1)^2，f''(0)=-1。9.若数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=1/2a_n，则lim(n→∞)a_n等于______。解析：lim(n→∞)a_n=0。10.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最小值点为______。解析：最小值点为x=-1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}是等差数列，则其前n项和S_n一定是关于n的二次函数。错误。当首项为0时，S_n=na_1。2.函数f(x)=e^x在x→-∞时的极限为0。错误。极限为∞。3.若函数g(x)在x=c处取得极值，则g'(c)必为0。正确。4.数列{b_n}的前n项和T_n=2^n-1，则{b_n}是等比数列。正确。b_n=2^(n-1)。5.函数F(x)=ln(1+x)-x在x=0处的导数为0。正确。f'(0)=0。6.若函数h(x)=x^3-px+q在x=1和x=-1处均取得极值，则p=2q。正确。h'(1)=0且h'(-1)=0⇒p=2q。7.数列{c_n}的前n项和T_n=n^2+n，则{c_n}是等差数列。正确。c_n=2n。8.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值点为x=3。错误。最大值点为x=0。9.若数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+1，则{a_n+1}是等比数列。正确。{a_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列。10.函数f(x)=ln(x+1)-x在x→+∞时的极限为-1。正确。f(x)→-1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[-1,4]上的最大值和最小值。解：f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)，驻点x=1和x=3，f(-1)=-15，f(1)=5，f(3)=1，f(4)=5，最大值5，最小值-15。2.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，求该数列的通项公式a_n。解：a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5。3.求函数g(x)=ln(2x+1)/x在x→+∞时的极限。解：g(x)=e^(ln(2x+1)-x)→e^0=1。4.若函数h(x)=x^3+px^2+q在x=1处的切线与直线y=4x-3平行，求p+q的值。解：h'(1)=3+2p=4⇒p=1/2，h(1)+p+q=1⇒q=-3/2，p+q=-1。5.求函数F(x)=e^x/x在x→0+时的极限。解：F(x)=e^(x-1)/x→1。6.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=3b_n/(b_n+2)，求lim(n→∞)b_n。解：设lim(n→∞)b_n=L，L=3L/(L+2)⇒L=3/2。7.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的切线方程。解：f'(2)=6，f(2)=0，切线方程为y=6x-12。8.若函数g(x)=x^3-px+q在x=1和x=-1处均取得极值，求p与q的关系。解：g'(1)=3-2p=0⇒p=3/2，g'(-1)=-3+2p=0⇒p=3/2，g(1)+p+q=0⇒q=-3/2，g(-1)+p+q=0⇒q=-3/2，p=3q。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[-2,3]上的最大值与最小值。解：f'(x)=3x^2-6x，驻点x=0和x=2，f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，最大值2，最小值-10。2.若数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求a_5的值。解：a_5=S_5-S_4=75-48=27。3.求函数F(x)=ln(2x+1)-x在x=0处的导数。解：F'(x)=2/(2x+1)-1，F'(0)=1。4.若函数g(x)=x^3+kx+1在x=1处的切线与直线y=2x+3平行，求k的值。解：g'(1)=3+k=2⇒k=-1。5.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的二阶导数。解：f''(x)=6x-6，f''(1)=0。6.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=2b_n+1，求b_6的值。解：b_n=2n，b_6=12。7.求函数f(x)=ln(x+1)-x在x→+∞时的极限。解：f(x)→-1。8.若函数h(x)=x^3-px+q在x=1和x=-1处均取得极值，求p与q的关系。解：p=3q。六、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述数列极限的定义及其几何意义。解：数列极限定义：若对任意ε>0，存在N，当n>N时|a_n-L|<ε，则lim(n→∞)a_n=L。几何意义：数列项a_n无限接近L。2.证明函数f(x)=x^3在x=0处取得极小值。解：f'(x)=3x^2，f'(0)=0，f''(x)=6x，f''(0)=0，f'''(x)=6>0，极小值。3.若数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+1，证明{a_n}是等比数列。解：a_n+1-1=2(a_n-1)，{a_n-1}是首项为-1、公比为2的等比数列。4.讨论函数f(x)=x^3-3x^2+2的单调性。解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，增区间(-∞,0)和(2,+∞)，减区间(0,2)。5.证明数列{b_n}的前n项和T_n=2n^2-3n是关于n的二次函数。解：T_n=2n^2-3n，是二次函数。6.若函数g(x)=ln(1+x)-x在x=0处的导数为0，证明该函数在x>0时单调递减。解：g'(x)=1/(1+x)-1，g'(x)<0，单调递减。7.讨论函数F(x)=e^x/x在x→+∞时的极限。解：F(x)=e^(x-1)/x→∞。8.若函数h(x)=x^3-px+q在x=1和x=-1处均取得极值，证明p=2q。解：h'(1)=3-p=0⇒p=3，h'(-1)=-3+p=0⇒p=3，h(1)+p+q=0⇒q=-3，h(-1)+p+q=0⇒q=-3，p=2q。9.证明数列{c_n}的前n项和T_n=n^2+n是关于n的二次函数。解：T_n=n^2+n，是二次函数。10.讨论函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最值问题。解：驻点x=0和x=2，端点x=-2和x=3，f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，最大值2，最小值-10。11.若数列{a_n}满足a_n+1=1/2a_n，证明lim(n→∞)a_n=0。解：a_n=(1/2)^n，lim(n→∞)a_n=0。12.讨论函数f(x)=ln(2x+1)-x在x→0+时的极限。解：f(x)→ln1-0=0。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.D3.A4.D5.D6.B7.D8.D9.B10.C解析：1.递推关系可转化为等比数列；2.累加法求极限；3.导数几何意义；4.导数极值问题；5.导数几何意义；6.数列和求通项；7.洛必达法则；8.导数几何意义；9.递推关系求极限；10.极值与最值。二、填空题1.1812.2/313.-3/214.2^(n-1)15.∞16.-117.11518.-119.020.x=-1解析：11.通项公式求法；12.导数计算；13.导数几何意义；14.递推关系求通项；15.极限计算；16.导数几何意义；17.数列和求通项；18.二阶导数计算；19.递推关系求极限；20.极值点判断。三、判断题1.×22.×23.√24.√25.√26.√27.√28.×29.√30.√解析：21.等差数列和为二次函数当且仅当首项不为0；22.e^x→0；23.极值点导数为0；24.等比数列判定；25.导数计算；26.极值点导数关系；27.数列和求通项；28.极值点判断；29.递推关系求通项；30.极限计算。四、简答题1.最大值5，最小值-15。解析：驻点x=1和x=3，端点x=-1和x=4，计算函数值。2.a_n=4n-5。解析：a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5。3.1。解析：g(x)=e^(ln(2x+1)-x)→e^0=1。4.-1。解析：h'(1)=3+k=4⇒k=1/2，h(1)+k+q=1⇒q=-3/2，k+q=-1。5.1。解析：F(x)=e^(x-1)/x→1。6.3/2。解析：设lim(n→∞)b_n=L，L=3L/(L+2)⇒L=3/2。7.y=6x-12。解析：f'(2)=6，f(2)=0，切线方程。8.p=3q。解析：g'(1)=3-2p=0⇒p=3/2，g'(-1)=-3+2p=0⇒p=3/2，p=3q。五、应用题1.最大值2，最小值-10。解析：驻点x=0和x=2，端点x=-2和x=3，计算函数值。2.27。解析：a_5=S_5-S_4=75-48=27。3.1。解析：F'(x)=2/(2x+1)-1，F'(0)=1。4.-1。解析：g'(1)=3+k=2⇒k=-1。5.0。解析：f''(x)=6x-6，f''(1