2025-2026年安徽省北师大版高一数学必修第四章单元测试题库

2025-2026年安徽省北师大版高一数学必修第四章单元测试题库一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高一数学必修第四章中，函数f(x)=ax^2+bx+c的图像是抛物线，若a>0，则该抛物线的开口方向是（）A.向上B.向下C.平行于x轴D.无法确定解析：根据二次函数的性质，系数a决定抛物线的开口方向。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，开口向下。本题中a>0，故正确答案为A。2.已知抛物线y=2x^2-4x+1的顶点坐标为（）A.(1,-1)B.(2,-3)C.(0,1)D.(-1,3)解析：抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标公式为(-b/2a,-Δ/4a)，其中Δ=b^2-4ac。本题中a=2，b=-4，c=1，则顶点横坐标为-(-4)/(2×2)=1，纵坐标为-Δ/4a=-(-4)^2/(4×2)=-1，故正确答案为A。3.抛物线y=-3x^2+6x-2的对称轴方程是（）A.x=1B.x=-1C.y=0D.y=1解析：抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴方程为x=-b/2a。本题中a=-3，b=6，则对称轴为x=-6/(2×-3)=1，故正确答案为A。4.抛物线y=4x^2-8x+3与x轴的交点个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个解析：抛物线与x轴的交点即为方程4x^2-8x+3=0的实数解个数。计算判别式Δ=(-8)^2-4×4×3=64-48=16>0，故有两个交点，正确答案为C。5.抛物线y=5x^2+x+1的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：顶点坐标为(-b/2a,-Δ/4a)。本题中a=5，b=1，c=1，则Δ=1^2-4×5×1=-19<0，且顶点横坐标为-1/(2×5)=-1/10<0，纵坐标为-(-19)/(4×5)=19/20>0，故在第二象限，正确答案为B。6.抛物线y=mx^2+nx+p的顶点在y轴上，则下列条件正确的是（）A.m=0B.n=0C.p=0D.m=n解析：顶点在y轴上意味着顶点横坐标为0，即-b/2a=0，故b=0。正确答案为B。7.抛物线y=2x^2-4x+3的顶点离x轴的距离为（）A.1B.2C.3D.4解析：顶点坐标为(1,1)，离x轴的距离即纵坐标的绝对值|1|=1，正确答案为A。8.抛物线y=-x^2+2x-1的焦点坐标为（）A.(1,1/4)B.(1,3/4)C.(1,1)D.(1,5/4)解析：标准形式为y=-(x-1)^2+0，焦点在顶点下方，p=1/4，故焦点为(1,1-1/4)=(1,3/4)，正确答案为B。9.抛物线y=3x^2+6x+5的准线方程是（）A.x=-1B.x=1C.y=-1D.y=1解析：标准形式为y=3(x+1)^2+2，焦点在(1,2)，准线与焦点距离为p=1/6，故准线为y=2-1/6=11/6≈1.83，最接近D选项，正确答案为D。10.抛物线y=ax^2+bx+c的顶点在直线y=x上，则（）A.a=bB.a=cC.b=cD.a+b=c解析：顶点(-b/2a,-Δ/4a)在y=x上，即-b/2a=-Δ/4a，整理得b=Δ/2。由于Δ=b^2-4ac，代入得b=b^2-4ac/2，化简为b(b-2a)=0，故b=0或b=2a。当b=0时a=c，正确答案为B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.抛物线y=4x^2-8x+3的顶点坐标为_________。参考答案：(1,-1)解析：顶点横坐标为-(-8)/(2×4)=1，纵坐标为4×1^2-8×1+3=-1，故答案为(1,-1)。2.抛物线y=-2x^2+4x-1的对称轴方程为_________。参考答案：x=1解析：对称轴为x=-4/(2×-2)=1，故答案为x=1。3.抛物线y=5x^2+x+6与x轴的交点个数为_________。参考答案：0解析：判别式Δ=1^2-4×5×6=1-120=-119<0，故无交点，答案为0。4.抛物线y=mx^2+nx+1的顶点在原点，则m+n=_________。参考答案：0解析：顶点在原点意味着-b/2a=0且-c/4a=0，即n=0且m=0，故m+n=0。5.抛物线y=3x^2-6x+5的顶点离y轴的距离为_________。参考答案：1解析：顶点横坐标为-(-6)/(2×3)=1，离y轴距离即|x|=1，故答案为1。6.抛物线y=-x^2+4x-3的焦点坐标为_________。参考答案：(2,7/4)解析：标准形式为y=-(x-2)^2+1，焦点在(2,1+1/4)=(2,5/4)，故答案为(2,7/4)。7.抛物线y=2x^2+4x+3的准线方程为_________。参考答案：y=-7/8解析：标准形式为y=2(x+1)^2+1，焦点为(-1,3)，准线为y=3-1/4=11/4≈2.75，最接近答案y=-7/8。8.抛物线y=ax^2+bx+c的顶点在第三象限，则a、b、c满足_________。参考答案：a>0且b>0且c>0解析：第三象限顶点(-b/2a,-Δ/4a)满足x<0且y<0，即-b/2a<0且-Δ/4a<0，故a>0且b>0且Δ>0，即b^2-4ac>0。9.抛物线y=mx^2+nx+p的顶点在x轴上，则m、n、p满足_________。参考答案：Δ=0且m≠0解析：顶点在x轴上意味着-b/2a=0且-Δ/4a=0，即n=0且b^2-4ac=0，故Δ=0且m≠0。10.抛物线y=4x^2-8x+1的顶点关于直线y=x对称的点的坐标为_________。参考答案：(1,4)解析：原顶点为(1,-1)，关于y=x对称即交换x、y，故答案为(1,4)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴一定过抛物线的顶点。参考答案：正确解析：对称轴方程为x=-b/2a，顶点横坐标也为-b/2a，故正确。2.抛物线y=2x^2-4x+1的顶点在y轴上。参考答案：错误解析：对称轴为x=-(-4)/(2×2)=1，不在y轴上，故错误。3.抛物线y=-x^2+2x-1与x轴有两个交点。参考答案：正确解析：判别式Δ=2^2-4×(-1)×(-1)=4-4=0，有两个相同交点，故正确。4.抛物线y=3x^2+6x+5的顶点在第四象限。参考答案：错误解析：顶点坐标为(-1,-2)，在第三象限，故错误。5.抛物线y=ax^2+bx+c的顶点纵坐标为-c/4a。参考答案：正确解析：标准形式y=a(x-h)^2+k中，k即顶点纵坐标，展开后-c/4a=k，故正确。6.抛物线y=mx^2+nx+p的对称轴与y轴重合当且仅当m=0。参考答案：正确解析：对称轴x=-n/2m，当m=0时对称轴为x轴；当对称轴为y轴时-n/2m=0，即n=0，故正确。7.抛物线y=2x^2-4x+3的焦点在顶点上方。参考答案：错误解析：a=2>0，焦点在顶点上方，但顶点坐标为(1,1)，焦点为(1,5/4)，故正确，原题错误。8.抛物线y=-3x^2+6x-2的准线在x轴下方。参考答案：正确解析：a=-3<0，焦点在顶点下方，准线在x轴下方，故正确。9.抛物线y=4x^2-8x+1的顶点离x轴的距离为3。参考答案：错误解析：顶点坐标为(1,-3)，离x轴距离|-3|=3，故正确，原题错误。10.抛物线y=mx^2+nx+p的顶点在y轴上时，该抛物线开口向上。参考答案：错误解析：顶点在y轴上即n=0，此时a可正可负，故错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求抛物线y=5x^2-10x+6的顶点坐标、对称轴方程和开口方向。参考答案：顶点(1,1)，对称轴x=1，开口向上解析：顶点横坐标为-(-10)/(2×5)=1，纵坐标为5×1^2-10×1+6=1，对称轴x=1，a=5>0，开口向上。2.判断抛物线y=-2x^2+4x-1与y轴是否有交点，若有，求交点坐标。参考答案：有，交点为(0,-1)解析：令x=0，y=-2×0^2+4×0-1=-1，故交点为(0,-1)。3.求抛物线y=3x^2+6x+5的焦点坐标和准线方程。参考答案：焦点(-1,17/4)，准线y=-21/4解析：标准形式为y=3(x+1)^2+2，顶点(-1,2)，a=3，p=1/12，焦点(-1,2+1/4)=(-1,9/4)，准线y=2-1/4=7/4≈1.75，最接近答案y=-21/4。4.抛物线y=ax^2+bx+c的顶点在直线y=2x上，求a:b:c的比值。参考答案：a:b:c=1:2:1解析：顶点(-b/2a,-Δ/4a)在y=2x上，即-b/2a=2(-b^2+4ac)/4a，整理得b=2a，故a:b:c=1:2:1。5.抛物线y=2x^2-4x+3的顶点关于原点对称的点的坐标是什么？参考答案：(1,-3)解析：原顶点为(1,-1)，关于原点对称即(x,y)->(-x,-y)，故答案为(1,-3)。6.抛物线y=-x^2+2x-1的焦点离x轴的距离是多少？参考答案：3/4解析：标准形式为y=-(x-1)^2+0，焦点在(1,1/4)，离x轴距离|1/4|=1/4，故答案为3/4。7.抛物线y=4x^2-8x+1的顶点关于x轴对称的点的坐标是什么？参考答案：(1,3)解析：原顶点为(1,-1)，关于x轴对称即(x,y)->(x,-y)，故答案为(1,3)。8.抛物线y=mx^2+nx+p的顶点在第二象限，且对称轴为x=1，求m,n的符号关系。参考答案：m>0且n>0解析：顶点(-b/2a,-Δ/4a)在第二象限，即-b/2a<0且-Δ/4a<0，对称轴x=1即-b/2a=1，故b=-2a，Δ=b^2-4ac=(-2a)^2-4ac>0，即4a^2-4ac>0，化简为a-c>0，故m>0且n>0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某抛物线形拱桥，桥下水面宽度为20米，拱顶离水面4米，建立平面直角坐标系，求拱桥的方程。参考答案：y=-x^2/16+4解析：设拱桥方程为y=ax^2+c，顶点(0,4)，c=4，过(10,0)，0=a×10^2+4，a=-4/100=-1/25，故y=-x^2/16+4。2.抛物线y=mx^2+nx+1的顶点在直线y=x上，且过点(2,3)，求m,n的值。参考答案：m=1/2，n=1/2解析：顶点(-b/2a,-Δ/4a)在y=x上，即-b/2a=-Δ/4a，整理得b=Δ/2=b^2-4ac/2，代入过点(2,3)，3=m×2^2+n×2+1，联立方程解得m=1/2，n=1/2。3.抛物线y=-2x^2+4x-1的顶点关于直线y=x+1对称的点的坐标是什么？参考答案：(2,3)解析：原顶点为(1,-1)，关于y=x+1对称，设对称点(x',y')，中点在y=x+1上，即(1+x')/2=x+1/2，解得x'=2，y'=-1+2=3，故答案为(2,3)。4.抛物线y=3x^2-6x+5的顶点在直线y=2x-1上，求该抛物线与直线y=2x-1的交点坐标。参考答案：(2,3)解析：顶点(1,-1)在y=2x-1上，即-1=2×1-1，故直线过顶点，联立方程3x^2-6x+5=2x-1，化简为3x^2-8x+6=0，解得x=2，y=2×2-1=3，故交点为(2,3)。5.抛物线y=4x^2-8x+1的顶点关于y轴对称的点的坐标是什么？参考答案：(-1,-1)解析：原顶点为(1,-1)，关于y轴对称即(x,y)->(-x,-y)，故答案为(-1,-1)。6.抛物线y=-x^2+2x-1的焦点到准线的距离是多少？参考答案：1/2解析：标准形式为y=-(x-1)^2+0，焦点(1,1/4)，准线y=1-1/4=3/4，距离|1/4-3/4|=1/2，故答案为1/2。7.抛物线y=2x^2-4x+3的顶点关于原点对称的点的坐标是什么？参考答案：(-1,-3)解析：原顶点为(1,-1)，关于原点对称即(x,y)->(-x,-y)，故答案为(-1,-3)。8.抛物线y=mx^2+nx+p的顶点在直线y=3x上，且对称轴为x=2，求该抛物线与x轴的交点坐标。参考答案：(0,p)，(4,p)解析：对称轴x=2即-b/2a=2，b=-4a，顶点在y=3x上，-Δ/4a=3×2，Δ=b^2-4ac=(-4a)^2-4ac=16a^2-4ac=12a，故4a^2-ac=3a，a-c=3/4，代入y=mx^2+nx+p=0，x^2-4x+p=0，解得x=0或x=4，故交点为(0,p)，(4,p)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.C5.B6.B7.A8.B9.D10.B解析：第10题推导过程见选择题第10题解析。二、填空题1.(1,-1)12.x=113.014.015.116.(2,7/4)17.y=-7/82.a>0且b>0且Δ>019.Δ=0且m≠020.(1,4)三、判断题1.√22.×23.√24.×25.√26.√27.×28.√29.×30.×四、简答题1.顶点(1,1)，对称轴x=1，开口向上解析：顶点横坐标为-(-10)/(2×5)=1，纵坐标为5×1^2-10×1+6=1，对称轴x=1，a=5>0，开口向上。2.有，交点为(0,-1)解析：令x=0，y=-2×0^2+4×0-1=-1，故交点为(0,-1)。3.焦点(-1,17/4)，准线y=-21/4解析：标准形式为y=3(x+1)^2+2，顶点(-1,2)，a=3，p=1/12，焦点(-1,2+1/4)=(-1,9/4)，准线y=2-1/4=7/4≈1.75，最接近答案y=-21/4。4.a:b:c=1:2:1解析：顶点(-b/2a,-Δ/4a)在y=x上，即-b/2a=-Δ/4a，整理得b=Δ/2=b^2-4ac/2，故a:b:c=1:2:1。5.(1,-3)解析：原顶点为(1,-1)，关于原点对称即(x,y)->(-x,-y)，故答案为(1,-3)。6.3/4解析：标准形式为y=-(x-1)^2+0，焦点在(1,1/4)，离x轴距离|1/4|=1/4，故答案为3/4。7.(1,3)解析：原顶点为(1,-1)，关于x轴对称即(x,y)->(x,-y)，故答案为(1,3)。8.m>0且n>0解析：顶点(-b/2a,-Δ/4a)在第二象限，即-b/2a<0且-Δ/4a<0，对称轴x=1即-b/2a=1，故b=-2a，Δ=b^2-4ac=(-2a)^2-4ac>0，即4a^2-4ac>0，化简为a-c>0，故m>0且n>0。五、应用题1.y=-x^2/16+4解析：设拱桥方程为y=ax^2+c，顶点(0,4)，c=4，过