2027年高考数学一轮复习(创新设计)第3节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式

第3节和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式课标要求1.会推导两角差的余弦公式.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并会简单应用.1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β):cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ;

(2)公式C(α＋β):cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ;

(3)公式S(α－β):sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ;

(4)公式S(α＋β):sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ;

(5)公式T(α－β):tan(α－β)＝tanα(6)公式T(α＋β):tan(α＋β)＝tanα2.辅助角公式asinα＋bcosα＝a2+b2sin(α＋φ)，其中sinφ＝ba3.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α＝2sinαcosα.

(2)公式C2α:cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)公式T2α:tan2α＝2tanα1.两角和与差的公式的常用变形:(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ;(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ;(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－tanα2.降幂公式:cos2α＝1+cos2α2，sin2α＝tan2α＝1−cos2α3.升幂公式:1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，1±sin2α＝(sinα±cosα)2.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.()(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()(3)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()(4)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求得来的.()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2.(人教A必修一P223T2改编)已知sin(α－π)＝35，则cos2α＝.答案7解析sin(α－π)＝－sinα＝35，故sinα＝－3所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×−33.(苏教必修二P55例2改编)求值cos15°＝.

答案2解析cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝2+4.(北师大必修二P156例4改编)已知tanα＝2，tanβ＝－13，则tan(α－β)＝.答案7解析tan(α－β)＝tan＝2−−考点一公式的基本应用例1(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，则cos(α－β)＝()A.－3m B.－mC.m3 D.3(2)(2024·全国甲卷)已知cosαcosαA.23＋1 B.23－1C.32 D.1－答案(1)A(2)B解析(1)由cos(α＋β)＝m得cosαcosβ－sinαsinβ＝m.①由tanαtanβ＝2得sinαsin由①②得cos所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－3m，故选A.(2)根据题意有cosα即1－tanα＝33，所以tanα＝1－3所以tanα+π4＝tan感悟提升三角函数公式的应用策略(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘，符号反”.(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.训练1(1)(2025·新高考Ⅱ卷)已知0<α<π，cosα2＝5A.210 B.C.3210 (2)(2026·鹰潭模拟)若α∈−π2,π2，tanα＝cosα答案(1)D(2)3解析(1)由题得cosα＝2cos2α2－1＝2×15－1＝－因为0<α<π，所以sinα＝1−cos所以sinα−π4＝22(sinα－cos(2)tanα＝sinα即sinα(3－sinα)＝cos2α＝1－sin2α，整理可得sinα＝13因为α∈−π2,π2，sin2所以cosα＝1−1所以sinα+π6＝sinαcosπ6＋cos＝13×32＋考点二公式的逆用及变形例2(1)(2026·西安调研)cos160°cos130°－sin(－160°)cos40°＝()A.32 B.C.－12 D.－(2)tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°＝.

答案(1)A(2)－3解析(1)cos160°cos130°－sin(－160°)cos40°＝cos160°cos(90°＋40°)＋sin160°cos40°＝－cos160°sin40°＋sin160°cos40°＝sin(160°－40°)＝sin120°＝32(2)因为tan(70°＋50°)＝tan70°+tan50°＝tan120°＝－3，所以tan70°＋tan50°＝－3＋3tan70°tan所以tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°＝－3.感悟提升三角函数公式的活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，角之间的关系，创造条件逆用公式.(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把(3)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.训练2(1)(多选)(2026·合肥质检)下列代数式的值为14A.cos275°－sin275°B.tan15°C.cos36°cos72°D.2cos20°cos40°cos80°(2)化简:cos40°(1＋3tan10°)＝.

答案(1)BCD(2)1解析(1)对于A，cos275°－sin275°＝cos150°＝cos(180°－30°)＝－cos30°＝－32对于B，tan15°＝sin15°cos15°cos215°+sin对于C，cos36°cos72°＝sin36°cos36°cos72°＝14·sin144°对于D，2cos20°cos40°cos80°＝2cos20°sin20°cos40°cos80°＝sin40°cos40°cos80°＝12sin80°cos80°sin(180°−160°)(2)cos40°(1＋3tan10°)＝cos40°1+＝cos40°·cos10°+＝2cos40°＝2cos40°sin40°cos10°考点三角的变换问题例3(1)(2026·兰州诊断)已知sinπ12−αA.－58 B.C.－78 D.(2)已知α∈π2,π，β∈0,π2，若sin(α＋β)＝13，cosβA.13 B.C.539答案(1)C(2)C解析(1)法一cos5π6+2＝2cos25π12＝2cos2π2＝2sin2π12−α法二cosπ6−2α＝1－2×116所以cos5π6+2＝－cosπ6−2α(2)因为α∈π2,π，β∈sin(α＋β)＝13>0，cosβ＝所以α＋β∈π2则sinβ＝1−cocos(α＋β)＝－1−sin2所以sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝13×33感悟提升1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.2.当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.3.常见的角的变换:2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝α+β2＋α−β2，π3＋α＝π2－π6−α训练3(1)(2026·银川调研)已知α∈(0，π)，cosα+π6A.1114 B.C.3314 (2)(2026·浙江名校联考)已知α，β∈π3,5π6，若sinα+π6A.1665 B.C.5665 D.答案(1)A(2)A解析(1)因为α∈(0，π)，则α＋π6∈π又cosα+π6可得sinα+所以sinα＝sinα＝sinα+π6cosπ6－cosα+π6(2)由题意可得α＋π6∈π2,π，β－5π所以cosα+π6＝－35，sin所以sin(α－β)＝－sinα＝－45×513＋万能公式(1)sinα＝2tanα21+tan2(3)tanα＝2tanα上述三个公式统称为万能公式.典例已知α，β∈(0，π)，tanα2＝12，sin(α－β)＝513，则cos答案56解析∵tanα2∴sinα＝2tanαcosα＝1−tan∵α，β∈(0，π)，cosα>0，∴α∈0,π∴α－β∈−π,π∵sin(α－β)＝513>0，∴α－β∈0,∴cos(α－β)＝1213∴cosβ＝cos(－β)＝cos(α－β－α)＝cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα＝1213×35＋训练已知6sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝0，α∈π2,π，则tanα＝，sin2α+答案－23解析∵6sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝6si＝6tan即6tan2α＋tanα－2＝0，解得tanα＝－23或tanα＝1∵α∈π2,π，∴tanα＝－∴sin2α＝2tanα1+tancos2α＝1−tan∴sin2α+π3＝sin2αcosπ3＋cos＝－1213×12＋一、单选题1.(2026·重庆质检)sin47°sin103°＋sin43°cos77°＝()A.－32 B.C.－12 答案B解析sin47°sin103°＋sin43°cos77°＝cos43°sin77°＋sin43°cos77°＝sin(77°＋43°)＝sin120°＝322.(2026·保定模拟)若cos2α＝sin2α，则sinα＝()A.33 B.±C.255 答案B解析因为cos2α＝sin2α，所以1－2sin2α＝sin2α，解得sinα＝±333.(2026·温州模拟)已知tanθ+π4A.3 B.2C.13 D.答案C解析由题意得，1+tanθ1−tanθ＝2，解得tanθ4.(2026·北京朝阳区模拟)已知sinα＋sinβ＝0，cosα＋cosβ＝3，则cos(α－β)＝()A.－12 B.C.32 答案B解析由sinα＋sinβ＝0，cosα＋cosβ＝3，得(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝3，整理得2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝3，所以cos(α－β)＝125.(2026·蚌埠模拟)lneA.6−22C.6+24答案C解析lne2sin15°＝＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝6+6.(2020·全国Ⅲ卷)已知sinθ＋sinθ+π3A.12 B.C.23 D.答案B解析因为sinθ＋sinθ＝sinθ+π＝sinθ+π6cosπ6－cosθsinθ+π6cosπ6＋cos＝2sinθ+π6cosπ所以sinθ+7.4sin40°－tan40°的值为()A.3 B.2C.2+32 答案A解析4sin40°－tan40°＝4sin40°－sin40°＝2sin80°−sin40°＝sin80°+[sin(60°+20°)−sin(60°−20°)]＝sin80°+2cos60°sin20°＝sin(50°+30°)+sin(50°−30°)cos40°二、多选题8.下列等式成立的有()A.sin15°cos15°＝1B.sin75°cos15°＋cos75°sin15°＝1C.cos105°cos75°－sin105°cos15°＝－1D.3sin15°＋cos15°＝1答案BC解析对于A，sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故A对于B，sin75°cos15°＋cos75°sin15°＝sin(75°＋15°)＝sin90°＝1，故B正确;对于C，cos105°cos75°－sin105°cos15°＝cos(105°＋75°)＝cos180°＝－1，故C正确;对于D，3sin15°＋cos15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin45°＝2，故D错误.9.已知α∈π2,π，且cos2α－cos2α＝A.tanα＝－12 B.sin2α＝C.cos2α＝35 D.tan2α＝－答案AC解析cos2α－cos2α＝cos2α－(cos2α－sin2α)＝sin2α＝15因为α∈π2所以sinα＝55，cosα＝－1−sin2所以tanα＝sinαcosαsin2α＝2sinαcosα＝－45cos2α＝1－2sin2α＝35tan2α＝sin2αcos2α三、填空题10.化简:(1＋tan25°)(1＋tan20°)＝.

答案2解析由题意得(1＋tan25°)(1＋tan20°)＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°，又tan20°＋tan25°＝tan(20°＋25°)(1－tan20°tan25°)＝1－tan20°tan25°，所以(1＋tan25°)(1＋tan20°)＝1＋(1－tan20°tan25°)＋tan20°tan25°＝2.11.(2026·长沙模拟)若cosα+π4＝35，α∈0,答案7解析因为α∈0,π所以α＋π4∈π由cosα+π4＝所以cosα＝cosα＝2＝2212.(2026·郑州调研)定义运算abcd＝ad－bc，若cosα＝17，sinαsinβcosαcosβ＝答案π解析由题意得，sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝33∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π∴cos(α－β)＝1314又∵cosα＝17，∴sin