2027年高考数学一轮复习(创新设计)第2节　排列与组合

第2节排列与组合课标要求1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列组合作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号An(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cn3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(2)Cnm＝AnmAmm＝n(n−1)(特别地Cn性质(1)0!＝1;Ann＝(2)Cnm1.排列数、组合数常用公式(1)Anm＝(n－m＋1)(2)Anm＝n(3)(n＋1)!－n!＝n·n!.(4)kCnk＝n(5)Cnm＋Cn2.解决排列、组合问题的十种技巧(1)特殊元素优先安排.(2)合理分类与准确分步.(3)排列、组合混合问题要先选后排.(4)相邻问题捆绑处理.(5)不相邻问题插空处理.(6)定序问题倍缩法处理.(7)分排问题直排处理.(8)“小集团”排列问题先整体后局部.(9)构造模型.(10)正难则反，等价转化.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)排列是有序问题，组合是无序问题.()(2)由组合数性质，若Cnx＝Cny，则(3)处理相邻问题一般用“捆绑法”，不相邻问题用“插空法”.()(4)(n＋1)!－n!＝(n－1)!.()答案(1)√(2)×(3)√(4)×解析(2)中还可以是x＝y;(4)中(n＋1)!－n!＝(n＋1)·n!－n!＝n·n!.2.(苏教选修二P69T4原题)下列各式中，不等于n!的是()A.Ann C.An＋1n 答案C解析An＋1n＝(n＋1)n(n－1)…3·2＝(n＋1)!，3.(人教A选修三P27习题6.2T13改编)从2名女生，4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有种(用数字作答).

答案16解析法一可分两种情况:第一种情况，只有1名女生入选，不同的选法有C21C第二种情况，有2名女生入选，不同的选法有C22C根据分类加法计数原理知，至少有1名女生入选的不同的选法共有12＋4＝16(种).法二从6人中任选3人，不同的选法共有C63＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C4所以至少有1名女生入选的不同的选法共有20－4＝16(种).4.(人教B选修二P22练习BT1(1)改编)C73＋C答案330解析C＝C＝C＝C11考点一简单的排列问题例1有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法数.(1)选5人排成一排;(2)排成前后两排，前排3人，后排4人;(3)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边;(4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.解(1)(直接法)从7人中选5人排列，有A75＝7×6×5×4×3＝2520((2)法一(分排法)分两步完成，先选3人站前排，有A73种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A73·法二(直排法)先将所有人全排列有A77此时可以取前3人站前排，后4人站后排即可，故方法数即为A77＝5040(3)法一(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法5×A66＝3600(法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的2人，有A62种排法，其他有A55种排法，共有A6(4)法一(特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A66种方法;甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A51种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A51种，其余人全排列，有A55种不同排法法二(间接法)7名学生全排列，有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形A77－2A66＋感悟提升简单的排列问题的分类与解法对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.训练1(1)(2026·南京调研)甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名(没有并列名次).甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说:“你俩名次相邻.”对丙说:“很遗憾，你没有得到第1名.”从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为()A.4 B.6C.8 D.12(2)(2025·上海卷)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为.

答案(1)C(2)288解析(1)①丙得到第2名时，甲和乙只能相邻排在第3，4名，此时有A22种可能;②丙得到第3名时，甲和乙只能相邻排在第1，2名，此时有A22种可能;③丙得到第4名时，甲和乙可以相邻排在第1，2名或第2，3名，此时有2A22种可能.丁排在甲、乙、丙三人排名后余下的名次.综上，满足题意的4人的名次排列情况种数为(2)先排队列的头和尾，有A42＝12(种)再排中间的4人，有A44＝24(种)则不同的排法有12×24＝288(种).考点二简单的组合问题例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种?(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种?(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种?(4)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种?解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C342＝561(∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C34C353－C34∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C201C152∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.(4)法一(直接法)共有选取方式C203＋C20∴至多有2种假货在内的不同取法有6090种.法二(间接法)选取3种的总数为C353，选取3种假货有C因此共有选取方式C353－C153＝6∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.感悟提升组合问题的两种题型与解法题型解法“含有”或“不含有”某些元素的组合“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足;“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取“至少”或“至多”含有几个元素的组合解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理训练2(1)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种(用数字作答).

(2)(2026·南昌调研)清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”(以比利时数学家欧仁·查理·卡特兰的名字命名).有如下问题:在n×n的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方(不能穿过，但可以到达该连线)，则共有多少种不同的走法?此问题的结果即卡特兰数C2nn－C2nn−1.如图，现有3×4的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角A走到右上角B共有种不同的走法;若要求从左下角A走到右上角答案(1)64(2)3514解析(1)法一由题意，可分三类:第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有C41第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有C41第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有C42综上，不同的选课方案共有C41C法二若学生从这8门课中选修2门课，则有C82－C4若学生从这8门课中选修3门课，则有C83－C4综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种).(2)①从左下角A走到右上角B共需向上走3步，向右走4步，所以不同的走法有C73＝35(②如图，从左下角A出发走到右上角D，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方(不能穿过，但可以到达该连线)，由卡特兰数知不同的走法共有C84－又到达右上角D必须最后经过B，所以满足题目条件的走法种数也是14.考点三排列与组合的综合角度1相邻、相间问题例3(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有()A.12种 B.24种C.36种 D.48种答案B解析先将丙和丁捆在一起有A22种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A33种排列方式，最后将甲插入中间两空，所以不同的排列方式共有A22A角度2定序问题例4花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法种数为.

答案90解析由题意，取下6盏不同的花灯，先对6盏不同的花灯进行全排列，共有A66因为每次只取一盏花灯，而且只能从下往上取，所以必须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，故共有取法种数为A6角度3相同元素分配问题例5某高校举行一场智能机器人大赛，该高校理学院获得8个参赛名额.已知理学院共有4个班，每个班至少要有一个参赛名额，则理学院参赛名额的分配方法共有()A.20种 B.21种C.28种 D.35种答案D解析将8个参赛名额看成8个元素，它们之间会产生7个空隙，只需在其中放入3个隔板，即可将8个名额分成4组，假定4个班顺序已定，则分组的方法数就等于分配的方法数，即C7角度4不同元素分组分配问题例6按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法?(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本;(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本;(3)平均分成三份，每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本;(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本.解(1)无序不均匀分组问题.先选1本有C61种选法;再从余下的5本中选2本有C52种选法;最后余下3故共有C61C(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)问基础上，还应考虑再分配，共有C61C(3)无序均匀分组问题.共有C62C(4)在第(3)问的基础上，还应考虑再分配，共有15A33＝90((5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，求出组合总数除以A22即可，共有C6(6)在第(5)问的基础上，还应考虑再分配，共有15A33＝90(感悟提升1.求解排列组合综合问题的6种主要方法:直接法、特殊元素(位置)优先法、捆绑法(相邻问题)、插空法(相间问题)、倍缩法(定序问题)以及间接法.2.相同元素的分配问题用隔板法:将n个相同小球放入m(m≤n)个不同的盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法，等价于将n个相同小球串成一串，从间隙里选m－1个结点，剪截成m段，共有Cn3.分组分配问题分为三类:(1)平均分组时要除以组数的阶乘:2n个元素平均分2组的分法种数是C2nnCn(2)对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m!.(3)对于不均匀分组问题，首先要对每组分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.训练3(1)(多选)身高各不相同的六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，则下列说法正确的是()A.A，C，D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法B.A与C同学不相邻，共有A4C.A，C，D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法D.A不在排头，B不在排尾，共有504种站法(2)(2026·乌鲁木齐检测)新疆维吾尔自治区博物馆推出古代文物精华展，5名志愿者准备到3个展厅参加志愿服务，若每个展厅至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有()A.54种 B.90种C.150种 D.540种(3)某农户用3000元的资金购买良种羊羔，共有肉用山羊、毛用绵羊、产奶山羊三种羊羔，价格均为每只300元，若要求每种羊羔至少买2只，则所有可能的购买方案种数为.

答案(1)ABD(2)C(3)15解析(1)将A，C，D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有A66A33＝120(种)站法先排B，D，E，F，共有A44种站法，A与C同学插空站，有A52种站法，故共有A44将A，C，D三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种站法，捆绑后有A44种站法，故共有2×A44＝48(种)站法，当A在排尾，B随意站时，则有A55＝120(种)站法;当A不在排头也不在排尾时，有A41种站法，B有A41种站法，剩下的同学随意站有A44种站法，共有A41A41A44＝384(种)站法，故(2)将5名志愿者分成三组.有3，1，1与2，2，1两种分法，则分法数为C5第二步:将这三组分配到3个展厅，有A33所以共有25A33＝25×6＝150(种)不同的分配方案，(3)由题知农户共买3000300＝10只羊羔，要求每种至少买2只，假设先每一种买了一只，则问题变为“从3种羊羔中买7只羊，每种至少买一只”，用隔板法为C62一、单选题1.A6A.65 B.160C.165 D.210答案C解析A63＋C108＝2.(2026·兰州诊断)某中学环保社团计划利用教学楼前空地栽种五棵高低不一样的树木，其中最高和最矮的两棵树木种在两头的方法有()A.6种 B.12种C.24种 D.48种答案B解析先安排最高和最矮的树木的位置，方法有A22＝2(再安排剩下三棵树的位置，方法有A33＝6(所以一共有2×6＝12(种)安排方法.故选B.3.(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A.30种 B.60种C.120种 D.240种答案C解析甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C61＝6(种)再从剩下的5种课外读物中各自选1种不同的读物，有C51C41由分步乘法计数原理可得共有6×20＝120(种)选法.4.(2026·济南模拟)由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为()A.60 B.108C.132 D.144答案B解析先排3个奇数，共有A33＝6(种)排列方式，形成4个空位，再将3个偶数插空，共有C31×A3所以共有6×18＝108(种)排列方式，故选B.5.有4对双胞胎，共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为()A.40 B.48C.52 D.60答案B解析先选一对双胞胎，有C41＝4(种)选法，再选剩下的两人，有C32C21C21＝12(6.(2026·南京调研)有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是()A.90 B.150C.390 D.420答案C解析若5人中有且仅有3人被录用，满足条件的录用情况有A53＝60(若5人中有且仅有4人被录用，满足条件的录用情况有C54·C41C若5人都被录用，满足条件的录用情况有C51C41A2综上，符合要求的不同的录用情况种数是60＋180＋150＝390.7.按照编码特点来分，条形码可以分为宽度调节法编码和模块组合法编码.最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的窄条，如图就是一个数字的编码，则共有不同的编码的种数为()A.120 B.60C.40 D.10答案D解析该题等价于将5个元素(其中3个元素相同，另2个元素也相同)排成一列，所有排列数N＝A55A8.“四平方和定理”最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.“四平方和定理”的内容是:任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数11＝32＋12＋12＋02.设36＝a2＋b2＋c2＋d2，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是()A.26 B.28C.29 D.30答案C解析满足36＝a2＋b2＋c2＋d2的自然数a，b，c，d有四组，分别是:6，0，0，0;5，3，1，1;4，4，2，0;3，3，3，3，那么有序数组(a，b，c，d)有A41＋二、多选题9.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法种数为()A.A55－C.C11C答案BCD解析(间接法)，先让老师站在正中间，四名同学全排，再去掉甲与老师相邻的情况，则不同的站法种数为A4特殊元素优先安排，先让老师站在正中间，甲同学从两端中任选一个位置，有C11·C21种站法，其余三名学生任意排列有A3先让老师站在正中间，四名同学全排时，甲同学与老师相邻与甲同学与老师不相邻各占12，则不同的站法种数为12A10.某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加且不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是()A.若1班不再分配名额，则共有C20B.若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有C19C.若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法D.若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法答案BD解析对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有C194种分配方法，故A对于B，若1班有除劳动模范之外的学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有C195种分配方法，故B对于C，D，若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳动模范，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故有C95＝126(种)，故C错误，D11.安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加成都大运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是()A.若每人都安排一项工作，则不同的方法种数为45B.若每项工作至少有1人参加，则不同的方法种数为AC.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则不同的方