山西省部分学校2025-2026学年高一第二学期7月期末质量检测数学试题 含答案解析

数学满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的模为（）A. B. C. D.2.已知向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.3.下列叙述正确的是A.频率是稳定的，概率是随机的B.互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C.5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小D.若事件A发生的概率为P(A)，则4.设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则5.正四棱台的上､下底面的边长分别为，，侧棱长为，则其体积为（）（棱台的体积公式：，其中分别为棱台的上､下底面面积，为棱台的高.）A. B. C. D.6.如图是山西省运城市某高校两名篮球队员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，下列结论中错误的是（）A.第3天至第10天两名篮球队员综合得分均不低于80分B.第2天至第7天篮球队员的得分逐日提高C.第2天至第3天篮球队员的得分增量大于运动员的得分增量D.A篮球队员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分方差7.如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为，速度为.某一时刻飞机看山顶的俯角为，经过后看山顶的俯角为，则山顶的海拔高度大约为（）（参考数据：）A. B. C. D.8.在矩形中，与相交于点，过点作，则（）A. B. C. D.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得部分分，部分选对的得2分.9.若复数，则（）A.B.复数在复平面内对应的点的坐标为C.的共轭复数D.10.如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴.，，那么（）A.的长度小于的长度 B.的面积为2C.的面积为4 D.11.菱形的边长为为的中点（如图1），将沿直线翻折至处（如图2），连接，，下列说法中正确的有（）A.在翻折的过程中（不包括初始位置），平面平面B.若为中点，在翻折的过程中（不包括初始位置），点到平面的距离恒为C.若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为D.若为中点，在翻折的过程中（不包括初始位置），与平面所成的角逐渐减小三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知10个数据：，则这组数据第40百分位数是_________.13.在中，，，，则的面积为________.14.如图，已知直角梯形中，，以直角梯形的底边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则所得几何体的表面积为_________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.从山西省运城市河东一中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间分组，得到样本身高的频率分布直方图，如图所示.（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该校学生身高的平均数.（每组数据以区间中点值为代表）16.已知向量，.（1）若向量，求实数的值；（2）若向量满足，求的值.17.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择．方案一:从装有4个红球和2个白球的不透明箱中随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖;方案二:掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖．[注:散子(或球)的大小､形状､质地均相同]（1）有顾客认为，在方案一中，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于．你认为正确吗?请说明理由．（2）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案?请说明理由．18.如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面，且为中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.19.已知，，分别为三个内角A，，的对边，．（1）求证：；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的模为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由复数除法运算法则得：，故.2.已知向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据向量夹角的坐标表示求解即可.解答过程：因为，，，所以.因为，所以.3.下列叙述正确的是A.频率是稳定的，概率是随机的B.互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C.5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小D.若事件A发生的概率为P(A)，则答案：D解析：思路：根据概率的意义判断，根据互斥事件和对立事件的定义判断．解答过程：频率是随机变化的，概率是频率的稳定值，A错；互斥事件也可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，B错；5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙、甲抽到有奖奖券的可能性一样大，都是，C错；由概率的定义，随机事件的概率在上，D正确．故选：D．方法提示：本题考查概率的意义，考查互斥事件和对立事件的定义，属于基础题．4.设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则答案：B解析：解答过程：对于A，当，，时，与可能平行、相交，位置关系不唯一，故A错误；对于B，由，，得；又，是两个不重合的平面，则根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可得，故B正确；对于C，当，时，或；又，则与可能平行、相交，故C错误；对于D，由，得平面内存在直线满足，结合可得；由，得，又，可得，故D错误.5.正四棱台的上､下底面的边长分别为，，侧棱长为，则其体积为（）（棱台的体积公式：，其中分别为棱台的上､下底面面积，为棱台的高.）A. B. C. D.答案：A解析：思路：直接根据棱台的性质及体积公式计算可得.解答过程：如图，正四棱台中，连接该正四棱台上下底面的中心，.因为上下底面为正方形，所以，根据棱台的性质，四边形直角梯形，所以棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积.6.如图是山西省运城市某高校两名篮球队员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，下列结论中错误的是（）A.第3天至第10天两名篮球队员综合得分均不低于80分B.第2天至第7天篮球队员的得分逐日提高C.第2天至第3天篮球队员的得分增量大于运动员的得分增量D.A篮球队员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分方差答案：D解析：思路：根据图象，逐一分析选项，即可得出答案.解答过程：对于A，由图象可得，第3天至第10天两名篮球队员综合得分均不低于80分，故A正确；对于B，由图象可得，第2天至第7天B篮球队员的得分逐日提高，故B正确；对于C，第2天至第3天篮球队员的得分增量为篮球队员的得分增量小于2，故C正确；对于D，由图象可得，在第1天至第3天的得分中，篮球队员的最小得分为78，最高得分为80，在第2天至第4天的得分中，最小得分为78，最高得分高于80，所以第2天至第4天的得分比第1天至第3天的得分更分散，所以篮球队员第1天至第3天的得分方差小于第2天至第4天的得分的方差，故D错误.7.如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为，速度为.某一时刻飞机看山顶的俯角为，经过后看山顶的俯角为，则山顶的海拔高度大约为（）（参考数据：）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先根据题意转化为设飞机的初始位置为点，经过420s后的位置为点，山顶为点，作于点，结合正弦定理和三角形的边角关系计算得到结果；解答过程：如图，设飞机的初始位置为点，经过420s后的位置为点，山顶为点，作于点，则，所以，在中，，由正弦定理得，则.因为，所以，所以山顶的海拔高度大约为（）.8.在矩形中，与相交于点，过点作，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：建立平面直角坐标系，设，根据题意先求点坐标，利用数量积的坐标运算即可求解.解答过程：建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，所以，且，解得，.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得部分分，部分选对的得2分.9.若复数，则（）A.B.复数在复平面内对应的点的坐标为C.的共轭复数D.答案：AC解析：思路：借助复数模长公式、几何意义、共轭复数定义及运算法则逐项计算并判断即可得.解答过程：对于选项A：依题意，故A正确；对于选项B：复数在复平面内对应的点的坐标为，故B错误；对于选项C：，故C正确；对于选项D：，故D错误.10.如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴.，，那么（）A.的长度小于的长度 B.的面积为2C.的面积为4 D.答案：AC解析：思路：利用斜二测画法的长度变换规则还原原图边长与垂直关系，分别计算线段长度、原图与直观图面积，逐一判断每个选项对错得到正确选项.解答过程：依题意是的中点，且轴，轴，，，对于A：中，，A正确；对于B：，B错误；对于C：，C正确；对于D：由于，所以不是等腰直角三角形，D错误.11.菱形的边长为为的中点（如图1），将沿直线翻折至处（如图2），连接，，下列说法中正确的有（）A.在翻折的过程中（不包括初始位置），平面平面B.若为中点，在翻折的过程中（不包括初始位置），点到平面的距离恒为C.若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为D.若为中点，在翻折的过程中（不包括初始位置），与平面所成的角逐渐减小答案：ABC解析：思路：对A直接由线面垂直判断面面垂直可得，对B可直接作点到面的距离并计算可得，对C由二面角为可得，进而可将三棱锥看成由一个长方体截成的，从而只需求长方体的外接球的表面积可得，对D可直接得到线面角，并可以表示线面角的正切值随翻折过程中不断在增大，进而可得角不断在增大可得.解答过程：如图：对于A，在菱形中，，为的中点，则，即，因，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；对于B，如图，取的中点，连接，因为中点，则.由A选项知平面，所以平面，所以为点到平面的距离，又因，则，故B正确；对于C，因为，所以即二面角的平面角，，即两两垂直，故三棱锥的外接球可以看成以为三条棱组成的长方体的外接球，所以外接球的直径，故外接球的表面积为，故C正确；对于D，如图取中点，连接.由B选项知平面，则与平面所成的角为，且.所以，由图易知，在翻折的过程中的值在减小，所以的值在增大，所以在增大，即与平面所成的角逐渐增大，故D错误.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知10个数据：，则这组数据第40百分位数是_________.答案：解析：思路：利用百分位数定义计算即可得.解答过程：因为从小到大排列为，共10个数据，，所以这组数据的第40百分位数是第4项与第5项数据的平均数，即.13.在中，，，，则的面积为________.答案：解析：思路：根据给定条件，利用余弦定理求出角，再利用三角形面积公式计算得解.解答过程：在中，，，，由余弦定理得，而，则，所以的面积为.故答案为：14.如图，已知直角梯形中，，以直角梯形的底边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则所得几何体的表面积为_________.答案：解析：思路：先判断旋转得到同底圆柱与圆锥的组合几何体，求出底面半径与圆锥母线长，分别算出圆柱侧面积、圆锥侧面积和外露底圆面积，相加得到组合体表面积.解答过程：旋转后所得几何体，如图所示：所得几何体为一个圆锥与一个同底的圆柱的组合体，由题意得，所以底面圆的周长为，底面圆的面积为，所以圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，所以所得几何体的表面积为.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.从山西省运城市河东一中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间分组，得到样本身高的频率分布直方图，如图所示.（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该校学生身高的平均数.（每组数据以区间中点值为代表）答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用频率分布直方图的性质即可.（2）利用频率分布直方图平均数的计算公式即可.（1）由频率分布直方图可知，解得.（2）该校学生身高的平均数如下，为16.已知向量，.（1）若向量，求实数的值；（2）若向量满足，求的值.答案：（1）或；（2）.解析：思路：（1）利用向量平行的坐标表示列方程，由此求得的值.（2）利用向量相等列方程组，解方程组求得，由此求得的值.解答过程：（1）∵，，∴，.∵，∴，解得或.（2）∵，∴，即，解得.∴.17.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择．方案一:从装有4个红球和2个白球的不透明箱中随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖;方案二:掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖．[注:散子(或球)的大小､形状､质地均相同]（1）有顾客认为，在方案一中，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于．你认为正确吗?请说明理由．（2）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案?请说明理由．答案：（1）错误，理由见解析；（2）选择方案一，理由见解析.解析：思路：（1）将4个红球分别记为，2个白球分别记为，利用列举法求得基本事件的总数和2个都是红球所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.（2）根据古典摡型的概率计算公式，求得方案二中奖的概率，即可得到相应的结论.解答过程：（1）将4个红球分别记为，2个白球分别记为，则从箱中随