山西省运城市2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试题 含答案解析

数学满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A. B. C. D.2.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项中，“”的充分条件是（）A.，， B.，，C.，， D.，，3.已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（）A.若，则C与B相互对立B.若事件A与B互斥，则C.若事件A与B相互独立，则D.若，则事件A与B相互独立4.抽样调查得到20个样本数据，记作，样本数据的平均数为8，方差为5.现去掉一个最大值12和一个最小值4，产生一组新数据，关于这组新数据，下列说法错误的是（）A.中位数一定不变 B.平均数一定不变C.方差一定变小 D.极差一定不变5.已知正三棱台中，，，侧棱，则该棱台的体积为（）A. B. C. D.6.如图，某建筑物的高度，一架无人机（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为（）A.50m B.100m C.150m D.200m7.已知在中，点满足，点在线段（不含端点）上移动，若，则（）A. B. C. D.8.在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（）A.5π B.16π C.20π D.100π二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.若复数的共轭复数为，则B.若为虚数，则也为虚数C.若，则D.若复数满足，则的最大值为210.某运动队由足球运动员人，篮球运动员人，乒乓球运动员人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为的样本，若采用比例分配的分层随机抽样的方法，且不用删除个体，则样本量的取值可能是（）A. B. C. D.11.如图，正方体的棱长为2，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，则下列结论正确的有（）A.三棱锥的体积为定值B.若，沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为C.若，平面被正方体截得截面面积为D.若，，则点M的运动轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一组数据：，，，，，，，，则这组数据的下四分位数为_____.13.小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率为_____.14.在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的最大值为_______四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，，，复数（i为虚数单位，），已知复数为纯虚数.（1）求m的值；（2）求向量在向量方向上的投影向量的坐标.16.已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求A；（2）求的取值范围.17.某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分.现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图.（1）请根据频率分布直方图，求出图中t的值.在本次测试中，拟将排在前60%的学生成绩定为合格成绩，试估计合格成绩的分数线；（2）在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自的概率；（3）已知在内的学生成绩的平均数为75，方差为6，在内的学生成绩的平均数为85，方差为1，求在内的学生成绩的平均数和方差.附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差.18.如图，在直角梯形中，，，，是的中点，，分别为，的中点，点是线段上一动点，将沿折起，使得平面平面．（1）证明：；（2）若点为的中点，求三棱锥的体积；（3）求平面与平面的夹角的大小．19.定义：函数为向量的“跟随函数”，向量为函数的“原向量”．（1）设函数，的“原向量”分别为，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围．（2）已知的内角，，的对边分别为，，，其中，向量的“跟随函数”为，且．（i）若平分，并与交于点，且，求的长；（ii）若外接圆半径是，内切圆半径是，求的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：已知，则，，因此.2.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项中，“”的充分条件是（）A.，， B.，，C.，， D.，，答案：A解析：思路：根据平面垂直、直线与平面垂直性质定理可以判断A，C；根据平面平行、直线与平面垂直，线面垂直的性质，推导两条直线的位置关系可以判断B，D.解答过程：选项A：由，可得或，因为，所以，正确.选项B：若，，，可推出，无法推出，错误.选项C：由，可得或，结合，与可能平行、相交不垂直或异面，无法推出，错误.选项D：，，时，与的位置关系不确定，无法推出，错误.3.已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（）A.若，则C与B相互对立B.若事件A与B互斥，则C.若事件A与B相互独立，则D.若，则事件A与B相互独立答案：D解析：思路：根据对立事件的概念可判断A；根据互斥和并事件的概率可判断B；根据相互独立事件和并事件的概率可判断C；根据独立事件概率关系可判断D.解答过程：对于A，因为不一定互斥，所以由得不到C与B对立，A错误；对于B，若事件A与B互斥，则，则，B错误；对于C，若事件A与B相互独立，则，则，C错误；对于D，由，，可得，，满足独立事件概率的定义，因此事件A与B相互独立，D正确.4.抽样调查得到20个样本数据，记作，样本数据的平均数为8，方差为5.现去掉一个最大值12和一个最小值4，产生一组新数据，关于这组新数据，下列说法错误的是（）A.中位数一定不变 B.平均数一定不变C.方差一定变小 D.极差一定不变答案：D解析：思路：根据中位数，平均数，方差，极差的定义及计算方法，确定数据变化时的变化规律.解答过程：去掉一个最大值12和一个最小值4，数据的个数为偶数，且中间两个数的位置不变，所以中位数不变，选项A正确；原数据的和为，新数据的和为，所以新数据的平均数为，选项B正确；去掉最大值和最小值后，数据的波动变小，所以方差一定变小，选项C正确；原极差为，去掉最大值和最小值后，极差不一定不变，选项D错误.5.已知正三棱台中，，，侧棱，则该棱台的体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：首先求出棱台的高，根据棱台体积公式求解.解答过程：正三棱台中，为高，，，过点作交于点，，，上底面面积为，下底面面积为，.6.如图，某建筑物的高度，一架无人机（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为（）A.50m B.100m C.150m D.200m答案：B解析：解答过程：已知，，，由正弦定义得.由无人机的仰角、俯角可得，，因此.根据正弦定理，代入得.在中，，因此.7.已知在中，点满足，点在线段（不含端点）上移动，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意可知，利用向量的线性运算求得关于，的表达式，再结合平面向量基本定理中的分解唯一性即可求解.解答过程：如图所示，由题意可知存在实数，使得，由于，所以，又因为，且，不共线，则由平面向量的分解的唯一性，得，解得，故B正确.8.在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（）A.5π B.16π C.20π D.100π答案：C解析：思路：先由线面垂直的判定定理得到平面，计算得到，，的外心为斜边中点记为，则，设等腰的外心为，由正弦定理得到外接圆半径为，过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线交点即为外接球球心，设外接球半径为，在直角三角形中，则，即可求解外接圆表面积.解答过程：取中点D，连接，因，则，因为平面平面，平面平面，平面所以平面，又因为平面，所以，因，，则有，得到，因为平面，所以平面，又因平面，则，故，故，取斜边中点即的外心，则，设三棱锥的外接球球心为点，半径为，则平面，连接，在中，，因平面，则，过点作于点，易得矩形，则，，在中，，解得则三棱锥的外接球的表面积为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.若复数的共轭复数为，则B.若为虚数，则也为虚数C.若，则D.若复数满足，则的最大值为2答案：ABD解析：思路：A选项，结合复数乘法运算和复数模的公式即可推导关系；B选项，将分母实数化，根据虚数的定义求解即可；C选项，求解该方程的所有复数根即可判断；D选项，根据的几何意义是复平面上到点距离为1的点的轨迹，进而结合的几何意义求解最值.解答过程：选项A，设复数，共轭复数，则，，，等式成立，A正确.选项B，若为虚数，说明，对化简得：，由是虚数可得虚部不为0，即，得，因此一定是虚数，B正确.选项C，，解得，，因此不一定等于1，C错误.选项D，的几何意义：复平面上，对应点在以为圆心、半径为1的圆上，是该点到原点的距离，原点到圆心的距离为1，因此的最大值为，D正确.10.某运动队由足球运动员人，篮球运动员人，乒乓球运动员人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为的样本，若采用比例分配的分层随机抽样的方法，且不用删除个体，则样本量的取值可能是（）A. B. C. D.答案：BD解析：思路：根据分层抽样的定义直接可得解.解答过程：由已知三种球类运动员人数比为，即抽取的样本中各类运动员人数比也为，则样本容量，，当时，，当时，.11.如图，正方体的棱长为2，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，则下列结论正确的有（）A.三棱锥的体积为定值B.若，沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为C.若，平面被正方体截得截面面积为D.若，，则点M的运动轨迹长度为答案：ACD解析：思路：根据等体积法求解选项A.根据展开图求解距离求解选项B.首先找到截面，再根据梯形面积求解选项C.由线面垂直和面面平行的判定定理，设平面交平面于，则的运动轨迹为线段，求得即可判断选项D；解答过程：选项A.，故A正确；选项B.，即.若将平面与平面展开共面，；如上图，若将平面与平面展开共面，则，故B错误；选项C.，延长交延长线于，由全等于，得，连接交于，由全等于，得是中点，因此截面为等腰梯形.，，.梯形的高，因此面积，故C正确；选项D，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，同理可得，，平面，所以平面，所以过点作交于，过作交于，所以平面，同理可得平面，，平面，所以平面平面，所以平面，取，连接，则均在平面上，则的运动轨迹为线段.由于平面，平面，所以，由点在棱上，且，可得，，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一组数据：，，，，，，，，则这组数据的下四分位数为_____.答案：解析：思路：根据下四分位数的定义直接计算.解答过程：由已知该组数据共个，且，则该组数据的下四分位数为.13.小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率为_____.答案：##0.34375解析：思路：分别求出在两轮比赛中，小张、小胡答对题目个数为的概率，然后结合独立事件的概率公式即可求解．解答过程：根据题意，设小张在两轮中答对的题目数为，小胡在两轮中答对的题目数为，的可能取值为，由题意可知，，，；的可能取值为，由题意可知，，，；由于相互独立，所以当两人都答对题时，；当两人都答对题时，；当两人都答对题时，；因此小张、小胡答对题目的个数相等的概率为.14.在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的最大值为_______答案：16解析：思路：取中点，计算可得，再结合图形可得，即可得解.解答过程：取中点，连接、，则，由点为梯形四条边上的一个动点，由图可得，故.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，，，复数（i为虚数单位，），已知复数为纯虚数.（1）求m的值；（2）求向量在向量方向上的投影向量的坐标.答案：（1）（2）解析：思路：（1）应用向量数量积的坐标运算求出，再由纯虚数的定义列方程求参数值；（2）由投影向量的定义及向量的坐标运算求投影向量.（1）由题意，若复数为纯虚数，则，解得.（2）当时，，所以在上的投影向量.16.已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求A；（2）求的取值范围.答案：（1）（2）.解析：思路：（1）由正弦边角关系及三角形内角的性质化简条件为，再应用三角恒等变换、内角的性质求角的大小；（2）根据（1）及三角恒等变换得，再由锐角三角形得，最后结合正弦函数的性质求范围.（1）由及正弦定理得，因为，所以，即，所以，即.因为，所以，因为，所以.（2）由，因为为锐角三角形，且，则，得，所以，，所以的取值范围.17.某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分.现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图.（1）请根据频率分布直方图，求出图中t的值.在本次测试中，拟将排在前60%的学生成绩定为合格成绩，试估计合格成绩的分数线；（2）在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自的概率；（3）已知在内的学生成绩的平均数为75，方差为6，在内的学生成绩的平均数为85，方差为1，求在内的学生成绩的平均数和方差.附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差.答案：（1），77.5分；（2）（3）平均数为81分，方差为27解析：（1）由直方图知，可得，由题设及图知，合格成绩的分数线在内，设为，则，所以分；（2）由（1）知，5人中来自，分别为2人、3人，从抽取的两个人分别记为a，b，从抽取的三个人分别记为1，2，3，记“抽取的两人均来自”为事件A，则，.则抽取的两人都来自的概率为，所以两人中至少有一人成绩来自的概率为；（3）由题设，区间，内的学生人数分别为20人、30人，所以内的学生成绩的平均数为分，由内的学生成绩方差为6，学生成绩的平均数为75，由内的学生成绩方差为1，学生成绩的平均数为85，所以内的学生成绩的方差为.18.如图，在直角梯形中，，，，是的中点，，分别为，的中点，点是线段上一动点，将沿折起，使得平面平面．（1）证明：；（2）若点为的中点，求三棱锥的体积；（3）求平面与平面的夹角的大小．答案：（1）连接，易知四边形是正方形，则，∵平面平面，平面平面，，∴平面，又平面，∴．又，平面，∴平面．又∵平面，∴．（2）