陕西省西安市鄠邑区第四中学2025-2026学年高一第二学期期末质量检测数学试题 含答案解析

数学满分：150分，考试时间：120分钟1．本试卷共4页，四大题，19小题．一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则至少出现一枚反面向上的概率为（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.已知向量，满足，，则（）A. B. C. D.4.在中，为边上的中线，为边的中点，若，则可用表示为A. B. C. D.5.已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（

）A.若，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则6.如图所示，某测量人员在高为100m的山顶A处，测得地面同一直线上的B、C两点的俯角分别为和，则B、C两点的距离为（）A. B. C. D.7.某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下：则这组数据的下四分位数为（）A. B. C. D.8.已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的棱长为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分．）9.已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（）A.复数z的虚部是 B.C.复数z的共轭复数是 D.复数z的共轭复数对应的点位于第四象限10.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中的概率均为0.7，乙每次命中的概率均为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则下列结论正确的是（）A.两人都命中的概率为0.56 B.恰好有一人命中的概率为0.36C.两人都没有命中的概率为0.6 D.至少有一人命中的概率为0.9411.如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是A.异面直线AC与所成的角为60°B.直线与平面成角为45°C.二面角的正切值为D.四面体的外接球的体积为第Ⅱ卷主观题（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.在△ABC中，若，则△ABC一定是__________三角形.（请填写锐角，直角，或钝角）13.已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且总体的平均值为10．则的最小值为_____________．14.在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)中，，分别是，的中点，有下列三个论断：①；②平面；③平面．其中正确论断的序号为________．四、解答题（本题共5小题，共77分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知向量，.（1）求的值；（2）若，求的值.16.周口市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．（2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率．17.已知的内角的对边分别为，且．（1）求角；（2）若的面积为，求的周长．18.某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响．（1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率．19.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，△PAD是边长为2的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PD的中点．（1）求证：AE⊥平面PCD；（2）若直线PC与平面ABCD所成角的正切值为，求侧面PAD与侧面PBC所成二面角的大小．

数学满分：150分，考试时间：120分钟1．本试卷共4页，四大题，19小题．一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则至少出现一枚反面向上的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：没有反面向上的概率，所以至少一枚反面向上的概率.2.（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：3.已知向量，满足，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由和两边分别平方，解方程组即得的值.解答过程：由，得，即，①由，得，即，②由①②得.4.在中，为边上的中线，为边的中点，若，则可用表示为A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用向量加法和减法的运算，求得的表达式.解答过程：依题意，.故选：B方法提示：本小题主要考查向量加法和减法的运算，属于基础题.5.已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（

）A.若，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则答案：C解析：思路：在长方体中，利用线线，线面，面面之间的关系判断.解答过程：对于选项A，分别把、、当作直线、、，显然，故A不正确；对于选项B，平面、平面、平面分别视为平面、、，显然，故B不正确；对于选项C，，，则，故C正确；对于选项D，平面、平面分别视为平面、，分别视为，则，故D不正确.6.如图所示，某测量人员在高为100m的山顶A处，测得地面同一直线上的B、C两点的俯角分别为和，则B、C两点的距离为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据锐角三角函数，分别求得，即可求解．解答过程：设山顶在地面的投影为，则，从看的俯角为，则，所以．从看的俯角为，则，所以．由于、在的同侧，则．7.某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下：则这组数据的下四分位数为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：比赛的得分升序排列为：，由，可知下四分位数为第4项和第5项的平均数，即．8.已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的棱长为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．解答过程：如图，将正四面体补成一个正方体，则正四面体的外接球与正方体的外接球相同，设正四面体的棱长为，则正方体的棱长为，外接球的半径为，由，解得，所以正四面体的棱长为.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分．）9.已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（）A.复数z的虚部是 B.C.复数z的共轭复数是 D.复数z的共轭复数对应的点位于第四象限答案：CD解析：思路：根据复数的四则运算可得，再利用复数的概念、复数的模、共轭复数的概念以及复数的几何意义逐一判断即可.解答过程：，对于A，复数z的虚部是，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，复数z的共轭复数是，故C正确；对于D，，在复平面内，对应点的坐标为，复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故D正确.故选：CD10.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中的概率均为0.7，乙每次命中的概率均为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则下列结论正确的是（）A.两人都命中的概率为0.56 B.恰好有一人命中的概率为0.36C.两人都没有命中的概率为0.6 D.至少有一人命中的概率为0.94答案：AD解析：思路：根据独立事件的乘法公式，互斥事件和对立事件的概率求解.解答过程：设甲每次命中为事件，，设乙每次命中事件，，选项A，两人都命中为事件，甲和乙是否命中互不影响，，故选项A正确；选项B，恰好有一人命中为，，故选项B不正确；选项C，两人都没有命中为事件，，故选项C不正确；选项D，至少有一人命中的否定为两人都没有命中，两人都没有命中为事件，，至少有一人命中的概率为，故选项D正确.故选：AD.11.如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是A.异面直线AC与所成的角为60°B.直线与平面成角为45°C.二面角的正切值为D.四面体的外接球的体积为答案：ACD解析：思路：对A，平移直线到直线；对B，作出线面所成的角，再利用三角函数求解；对C，作出二面角的平面角，再求正切值；对D，利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球.解答过程：如图所示，连接，对A，平移直线到直线，则异面直线AC与所成的角，显然为正三角形，，故A正确；对B，，，，平面，为线面角，，，，故B错误；对C，在三角形中，，为二面角的平面角，，故C正确；对D，利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球，，，故D正确.故选：ACD.方法提示：本题考查空间中角的概念与计算，考查空间想象能力、运算求解能力，属于基础题.第Ⅱ卷主观题（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.在△ABC中，若，则△ABC一定是__________三角形.（请填写锐角，直角，或钝角）答案：直角解析：思路：利用和角正弦公式可得，结合三角形内角性质判断形状即可.解答过程：由题设，则，又，所以，即△ABC一定是直角三角形.故答案为：直角13.已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且总体的平均值为10．则的最小值为_____________．答案：##解析：思路：根据平均数的概念可求的值，再利用不等式可求的最小值.解答过程：因为各个个体的值是有小到大排列的，所以，又总体平均值为，所以.所以（当且仅当时取“”）.故答案为：14.在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)中，，分别是，的中点，有下列三个论断：①；②平面；③平面．其中正确论断的序号为________．答案：①②解析：思路：取的中点，连接，证明面即可判断①；利用直线与平面平行的判定定理可判断②利用直线与平面垂直的性质可判断③，进而可得正确答案.解答过程：对于①：取的中点，连接，，由，可得，，因为，所以面，因为面，所以，故①正确；对于②：因为，分别是，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，故②正确；对于③：若平面，则，因为，所以，而正三棱锥中与不垂直，故③不正确．故答案为：①②四、解答题（本题共5小题，共77分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知向量，.（1）求的值；（2）若，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题中条件，先求出，进而可求出结果；（2）先由题意得到，根据得到，进而可求出结果.解答过程：（1）因为向量，，则，则（2）因为向量，，则，若，则，解得：．方法提示：本题主要考查求向量的模，以及根据向量垂直求参数的问题，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型.16.周口市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．（2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率．答案：（1），众数为85，平均成绩为77.5（2）解析：思路：（1）根据频率分布直方图的性质及众数、平均数定义求解即可.（2）结合分层抽样方法及古典概型的概率计算公式求解即可.（1）由频率分布直方图得，，解得．由频率分布直方图可知初赛成绩的众数为85，估计初赛成绩的平均数为：．所以，众数为85，平均成绩为77.5．（2）由（1）知，成绩在，的频率之比为，则在中随机抽取了人，记为，，在中随机抽取了人，记为，，，从5人中随机抽取2人的样本空间为：，共10个样本点，设事件“有1名或2名学生的成绩在内”，则，有7个样本点，因此，所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为．17.已知的内角的对边分别为，且．（1）求角；（2）若的面积为，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）应用正弦定理和余弦定理来求解角的大小；（2）应用三角形的面积公式计算边的数量关系.（1）由可知，由正弦定理，得，即．所以，又，所以.（2）由（1）知．所以，又，所以，所以，即．所以的周长为．18.某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响．（1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得；（2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的