四川省巴中市2025-2026学年高一第二学期期末定时练习数学试题 含答案解析

数学（满分：150分时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上．1.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.2.一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽一个容量为28的样本，那么男运动员应抽多少人（）A.12 B.14 C.16 D.183.在平行四边形中，为的中点，记，，则（）A. B. C. D.4.已知，，则的值为（）A. B. C. D.5.若一组数据如下：12，15，16，21，24，25，27，32，36，38．则该组数据的第75百分位数为（）A.27 B.29.5 C.32 D.346.已知直线a，b与平面，，，下面能使成立的条件是（）A.， B.，，C.， D.，7.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（）A. B. C. D.8.已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量的投影向量为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，则（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，夹角为钝角，则10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.函数的最小正周期是B.函数的解析式为C.函数的单调递减区间是D.函数在区间上的最小值为11.如图，在正方体中，，点是正方形内的动点（包含边界），点为的中点，则下列结论正确的是（）A.异面直线与所成的角为B.若点在线段上，则C.若点在线段上，则的最小值为D.若，则点的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡上的相应位置．12.已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是______.13.若平面向量，满足，则__________．14.在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量．很多学校已经推出基于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新．某探究小组利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷，收集其得分情况，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值及这组数据的中位数、众数；（2）若平均得分不低于90分，则可以认为这个系统是准确的，并投入使用．请问，现在这个系统能否投入使用，并说明理由．16.记的内角，，的对边分别为，，．已知．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．17.已知，，且．（1）求函数的解析式；（2）将图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像．若在区间上，方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．18.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的余弦值．19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，设点为的费马点，求；（3）设点为的费马点，求的最小值．

数学（满分：150分时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上．1.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用复数运算化简，结合复数定义确定答案.解答过程：由，所以的虚部为.2.一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽一个容量为28的样本，那么男运动员应抽多少人（）A.12 B.14 C.16 D.18答案：C解析：解答过程：男运动员应抽的人数为.3.在平行四边形中，为的中点，记，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：如图，.4.已知，，则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先利用三角函数的基本关系式，求得，再利用两角和的正弦公式，代入计算，即可求解.解答过程：因为，可得，又因为，可得，所以，则.5.若一组数据如下：12，15，16，21，24，25，27，32，36，38．则该组数据的第75百分位数为（）A.27 B.29.5 C.32 D.34答案：C解析：解答过程：共个数，因为，所以第75百分位数为第个数，即6.已知直线a，b与平面，，，下面能使成立的条件是（）A.， B.，，C.， D.，答案：D解析：思路：由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可.解答过程：对于A，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，A错误；对于B，若，由线面垂直判定定理可知，与不一定垂直，因此相交，不一定垂直，B错误；对于C，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，C错误；对于D，由，得存在过直线与平面相交的平面，令交线为，则，又，于是，因此，D正确.故选：D7.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．解答过程：依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台下底面积，上底面积，∴．故选：C．8.已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量的投影向量为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据向量关系得出向量夹角，再结合向量的投影向量公式计算即得.解答过程：因为，所以O是的中点，所以,可得所以，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，则（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，夹角为钝角，则答案：AD解析：解答过程：对于A，，解得，故A正确；对于B，由，则，解得，故B错误；对于C，由，则，解得，故C错误；对于D，若，夹角为钝角，则，且、不共线，即有且，解得且，故D正确.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.函数的最小正周期是B.函数的解析式为C.函数的单调递减区间是D.函数在区间上的最小值为答案：ABC解析：思路：根据给定函数图象可依次求解，从而可得最小正周期和解析式，再根据正弦函数的性质，利用整体代换思想即可求解函数的单调递减区间及在上的最小值.解答过程：对于A：由图象知，，所以，故A正确；对于B：因为，所以，由图象可知，，又因为图象过点，所以，所以，因为，所以令，得，所以函数的解析式为，故B正确；对于C：令，得，所以函数的单调递减区间是，故C正确；对于D：当时，，所以当，即时，函数取到最小值为，故D错误.11.如图，在正方体中，，点是正方形内的动点（包含边界），点为的中点，则下列结论正确的是（）A.异面直线与所成的角为B.若点在线段上，则C.若点在线段上，则的最小值为D.若，则点的轨迹长度为答案：ABD解析：思路：A选项，通过平移直线即可找到异面直线所成的角，根据为等边三角形即可求解；B选项，通过证明平面，可得；C选项，将平面沿直线翻折，使得四点共面，则由和均是边长为的等边三角形即可求得；D选项，可得点的轨迹为平面中，以的中点为圆心、为半径的圆弧上，即可求得其轨迹长度.解答过程：对于A：连接，在正方体中，因为，所以即为异面直线与所成的角或其补角，又因为为等边三角形，故，即与所成的角为，故A正确；对于B：当点在线段上时，连接，在正方形中，对角线，又平面，平面，所以，又，平面，故平面，而平面，所以，故B正确；对于C：当点在线段上时，将平面沿直线翻折，使得四点共面，由和均是边长为的等边三角形，故，故C错误；对于D：取的中点，连接，易知，，，则，由得点在以为圆心、为半径的圆上，点的轨迹为，易知，所以点的轨迹长为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡上的相应位置．12.已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是______.答案：解析：思路：首先将复数化简，再根据复数的几何意义，列不等式求实数的取值范围.解答过程：复数，因为复数对于的点在第四象限，所以，解得：.故答案为：13.若平面向量，满足，则__________．答案：解析：思路：根据结合模长公式先求得，再利用模长公式求.解答过程：，因为，所以，解得；所以.14.在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为__________．答案：##解析：思路：根据给定条件，确定三棱锥外接球球心位置并求出球半径即可.解答过程：在三棱锥中，取的中点，连接，和均为边长为的等边三角形，得，由二面角的平面角为，得，即，平面，则平面，同理平面，令和的中心分别为，三棱锥的外接球球心为，则平面，平面，于是，四边形为矩形，，而，，所以三棱锥外接球半径，表面积.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量．很多学校已经推出基于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新．某探究小组利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷，收集其得分情况，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值及这组数据的中位数、众数；（2）若平均得分不低于90分，则可以认为这个系统是准确的，并投入使用．请问，现在这个系统能否投入使用，并说明理由．答案：（1）；中位数为92.5，众数为92.5．（2）估计得分的平均数为：，因为，满足平均得分不低于90分，所以现在这个系统是准确的，能投入使用．解析：思路：（1）根据频率分布直方图的性质可知，所有小矩形的面积之和为1，可求出的值，再根据中位数和众数的定义求解；（2）先结合频率分布直方图求出得分的平均数，再判断现在这个系统能否投入使用．（1）由频率分布直方图可得，解得．设中位数为，前两个矩形的面积之和为，前三个矩形的面积之和为．所以，则，解得，所以估计得分的中位数为92.5．由图可知得分落在的数据最多，故这组数据的众数为92.5．（2）略16.记的内角，，的对边分别为，，．已知．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）根据正弦二倍角公式得到，得到答案；（2）根据三角形面积得到方程，求出，由余弦定理得到，得到周长（1）在中，，因为，所以，，又，故；（2）由（1）知，若，且的面积为，故，在中，由余弦定理得，，的周长．17.已知，，且．（1）求函数的解析式；（2）将图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像．若在区间上，方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式和三角恒等变换的公式，即可求解；（2）利用三角函数的图象变换，得到，根据题意，转化为的图象与直线有两个交点，结合正弦型函数的图象与性质，即可求解.（1）解：因为，，所以，所以函数的解析式为：.（2）解：将图像上所有点向右平移个单位，得到，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍，得到，因为方程有两个不相等的实数根，等价于的图象与直线有两个交点，因为，可得，令，可得，其中，即为与直线的图象有两个交点，画出函数和直线的图象，如图所示，要使得与直线的图象有两个交点，则满足，解得，所以实数的取值范围为.18.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的余弦值．答案：（1）取中点，连接，因为为的中点，为中点，所以，且又，，所以，且，则四边形为平行四边形，得，又平面，平面，所以平面．（2）（3）解析：思路：（1）取中点，求证即可；（2）利用等体积计算；（3）取的中点，过作于，求证为二面角的平面角即可.（1）略（2）因为为的中点，所以，又，，，，故，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又底面是直角