四川省成都市2025-2026学年高二第二学期定时练习数学试题 含答案解析

数学满分150分，练习时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程为A.x=2 B.x=2 C.y=2 D.y=22.在等比数列中，，，则（）A. B. C. D.3.的展开式中的系数为15，则（）A.7 B.6 C.5 D.44.如图，在三棱柱中，与的交点为，则（）A. B.C. D.5.已知随机变量，且，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.46.三所友好学校的师生分别在周一、周二和周三来校访问.现有3名教师和3名学生作为志愿者负责接待，每天安排教师和学生各1人，每人安排一天，其中教师甲不能安排在周一，则不同的安排方法共有（）A.12种 B.18种 C.24种 D.30种7.设椭圆的右顶点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.8.已知函数，若对恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.是奇函数 B.C.恰有3个零点 D.，10.长时间使用电子产品会一定程度影响视力.据调查，某校学生有的人近视，而该校有的学生每天使用电子产品的时间超过1h，这些人的近视率为.则该校（）A.既近视又每天使用电子产品的时间超过1h的学生有B.近视但每天使用电子产品的时间不超过1h的学生有C.近视的学生中每天使用电子产品的时间不超过1h的有D.不近视的学生中每天使用电子产品的时间超过1h的有11.已知数列满足，且，则（）A.6是数列中的项 B.是递增数列C.是等差数列 D.能被15整除三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的最小值为________.13.在等差数列中，公差，前项和为.若，则________.14.设表示次独立重复试验中随机事件发生的次数.已知，，则_________；变量表示对的贡献值，当最大时，___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，两个正方形，所在平面互相垂直，，分别是和的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.16.已知是等差数列，是等比数列，.设的前项和为，且，.（1）求和的通项公式；（2）若数列的前项和对任意都成立，求整数的最小值.17.已知双曲线：的右焦点为，一条渐近线为：.（1）求的方程；（2）设的左顶点为，点在上，且.①求的外接圆的标准方程；②设直线与交于另一点，求的大小.18.盒中现有5个乒乓球，其中2个是新球，另外3个是旧球.每次训练时从盒中随机取出2个球使用，训练结束后将球全部放回盒中，新球使用后即为旧球.（1）第一次训练前5个乒乓球随机排成一列，求2个新球不相邻的概率；（2）设第一次训练时取出新球的个数为，求随机变量的分布列和数学期望；（3）求第二次训练结束后，盒中至少还有1个新球的概率.19.已知函数，曲线在点处的切线为，已知在轴上的截距为.（1）求的值；（2）若恒成立，求的取值范围；（3）若函数存在最大值，求的取值范围.

数学满分150分，练习时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程为A.x=2 B.x=2 C.y=2 D.y=2答案：C解析：解答过程：本题考查抛物线的性质．点拨：准线方程为．解答：根据抛物线方程的特征，，准线方程为，故选C．2.在等比数列中，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由等比数列的性质求解．解答过程：在等比数列中，则也成等比数列，则，得，得．3.的展开式中的系数为15，则（）A.7 B.6 C.5 D.4答案：B解析：思路：写出二项式定理展开式的通项，根据的系数即可求得.解答过程：由题，可得展开式的通项为，，则，解得.故选：B.4.如图，在三棱柱中，与的交点为，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：由已知，在中，与的交点为，所以，与互相平分，.所以，.5.已知随机变量，且，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4答案：B解析：思路：利用正态分布的性质即可.解答过程：因为，所以.6.三所友好学校的师生分别在周一、周二和周三来校访问.现有3名教师和3名学生作为志愿者负责接待，每天安排教师和学生各1人，每人安排一天，其中教师甲不能安排在周一，则不同的安排方法共有（）A.12种 B.18种 C.24种 D.30种答案：C解析：思路：利用分步乘法计数原理，将无限制的学生全排列，与优先处理限制条件后的教师排列数相乘即可.解答过程：3名学生分配到周一、周二和周三，共有种,甲教师只能在周二或周三，共2种，剩下2名教师全排列，故一共有种安排方法.7.设椭圆的右顶点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由点的坐标，得到直线的方程，利用与圆相切得到关系，进而求出椭圆的离心率.解答过程：由于椭圆的右顶点为，上顶点为，所以，，故直线的方程为即，若直线与圆：相切，则，化简得，两边除以，得，设，那么，解得，或（舍去），所以，，，.8.已知函数，若对恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：求导得出函数的最小值，利用恒成立条件得到关于的不等式，代入，计算出的表达式，最后验证等号成立条件，得出结论.解答过程：已知函数，则，令，可得：.当时，，单调递减，当时，，单调递增，因此在处取得最小值：.又因为对恒成立，即：.，，，，故当且仅当时，的最小值恰好为0，满足对恒成立的条件，此时的最小值为，D正确.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.是奇函数 B.C.恰有3个零点 D.，答案：ABD解析：思路：对于A，根据函数奇偶性的概念即可判断；对于B，代入计算即可判断；对于C，根据函数单调性即可判断；对于D，根据函数单调性即可判断.解答过程：对于A，因为，所以函数为奇函数，故A正确；对于B，，，所以，故B正确；对于C，由，得，又，所以恒成立，所以函数单调递增，，即函数只有一个零点，故C错误；对于D，因为恒成立，所以函数单调递增，当时，可得恒成立，所以，，故D正确.10.长时间使用电子产品会一定程度影响视力.据调查，某校学生有的人近视，而该校有的学生每天使用电子产品的时间超过1h，这些人的近视率为.则该校（）A.既近视又每天使用电子产品的时间超过1h的学生有B.近视但每天使用电子产品的时间不超过1h的学生有C.近视的学生中每天使用电子产品的时间不超过1h的有D.不近视的学生中每天使用电子产品的时间超过1h的有答案：BC解析：思路：根据给定条件，利用条件概率公式及互斥事件的概率公式逐项求解判断.解答过程：设表示学校近视的学生，表示每天使用电子产品超过1h的学生，则，，，对于A，为既近视又每天使用电子产品的时间超过1h的学生，则，A错误；对于B，为近视但每天使用电子产品的时间不超过1h的学生，则，B正确；对于C，近视的学生中每天使用电子产品的时间不超过1h的占比为，C正确；对于D，为每天使用电子产品的时间超过1h且不近视的学生，，不近视的学生中每天使用电子产品的时间超过1h的占比为，D错误.11.已知数列满足，且，则（）A.6是数列中的项 B.是递增数列C.是等差数列 D.能被15整除答案：ACD解析：思路：根据题意当时，有，可得，再由累乘法求得，可判断A；由，根据反比例函数的单调性判断B；，可判断C；分组求和法判断D.解答过程：数列满足，当时，有，两式相减得，化简得，所以，当时，，所以，对于A，令，得或（舍），所以6是数列中的第三项，A正确；对于B，，由于随着的增大而减小，所以是递减数列，B错误；对于C，，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，C正确；对于D，，所以能被15整除，D正确.方法提示：求和公式：.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的最小值为________.答案：－2解析：思路：根据题意，求导得，求得函数的极大值，即可得到结果.解答过程：函数，则，令，得或（舍），当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增，则当时，函数有极小值，即最小值为.13.在等差数列中，公差，前项和为.若，则________.答案：14解析：思路：根据等差数列前项和公式及下标和性质以及通项公式计算可得.解答过程：因为，所以，即，所以，所以，所以.14.设表示次独立重复试验中随机事件发生的次数.已知，，则_________；变量表示对的贡献值，当最大时，___________.答案：①.12②.3解析：思路：利用二项分布的期望和方差的计算公式可得的值，再利用的单调性解决的最大值.解答过程：由已知可得，解得.因为.所以.当，即时，；当，即时，.因为，且，所以当时，；当时，.所以当时，取得最大值.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，两个正方形，所在平面互相垂直，，分别是和的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）连结，因为为正方形，且是的中点，所以也是的中点.又是的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）连结，证得，根据线面平行的判定定理即可证得平面；（2）以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，然后分别求出两平面的法向量，最终由法向量的夹角的余弦公式即可得解.（1）略（2）以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，，，.故，，.设平面的法向量，由，得.取，得平面的一个法向量.设平面的法向量，由，得.取，得平面的一个法向量.故.所以平面与平面夹角的余弦值为.16.已知是等差数列，是等比数列，.设的前项和为，且，.（1）求和的通项公式；（2）若数列的前项和对任意都成立，求整数的最小值.答案：（1），，其中.（2）6解析：思路：（1）将条件分解成有关的方程组进行求解，进而可求得和的通项公式；（2）运用“错位相减法”求出数列前n项和的最大值以确定整数的最小值.（1）设的公差为，的公比为.由及，得，即.由及，得，即.将代入，得，因为，所以，故.所以数列的通项公式为.数列的通项公式为，其中.（2）因为，所以.故.相减得..故.因为，所以.又，故.所以整数的最小值为6.17.已知双曲线：的右焦点为，一条渐近线为：.（1）求的方程；（2）设的左顶点为，点在上，且.①求的外接圆的标准方程；②设直线与交于另一点，求的大小.答案：（1）（2）①②解析：思路：（1）由题意列出关于的方程组，解方程组求出即可得出答案；（2）①由求得点坐标，并结合圆的有关性质求得的外接圆的圆心坐标、半径，即可得出答案；②设直线的斜率分别为，先求及直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立求出点的坐标，通过计算得到即可求出的大小.（1）由已知，得，解得，故的方程为.（2）①由已知，.由知，点在线段的中垂线上.又点在：上，联立,解得，所以.易知的外接圆圆心也在线段的中垂线上.设，连接并延长交的外接圆于，连接.在中，，且.由射影定理有.即.解得，故.所以的外接圆的标准方程为.②设直线的斜率分别为，则，故其方程为.联立，得，解得（舍去）.故，所以.故.因为，所以.18.盒中现有5个乒乓球，其中2个是新球，另外3个是旧球.每次训练时从盒中随机取出2个球使用，训练结束后将球全部放回盒中，新球使用后即为旧球.（1）第一次训练前5个乒乓球随机排成一列，求2个新球不相邻的概率；（2）设第一次训练时取出新球的个数为，求随机变量的分布列和数学期望；（3）求第二次训练结束后，盒中至少还有1个新球的概率.答案：（1）（2）.0120.30.60.1（3）解析：思路：（1）根据给定条件，利用古典概率公式，结合不相邻的排列计数问题求解.（2）求出的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望.（3）法一，利用概率的乘法公式及互斥事件的概率公式求解；法二，利用概率的乘法公式、互斥事件的概率公式及对立事件的概率公式求解.（1）设样本空间为，事件“2个新球不相邻”，，，所以2个新球不相邻的概率.（2）随机变量的所有可能值为，，，，所以的分布列为：0120.30.60.1随机变量的期望.（3）法一：设事件分别表示“第一、二次训练时取到个新球，”，事件表示“第二次训练结束后，盒中至少还有1个新球”，则，；；；而事件彼此互斥，则，所以第二次训练结束后，盒中至少还有1个新球的概