四川省泸州市泸州高级中学校2025-2026学年高三上册9月开学考试数学试题 含答案解析

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数，则（）A.0 B.2C.4 D.2.一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则这个等比数列的公比为（）A.2 B.C.4 D.3.已知，，则函数的图象一定经过（）A.第一、二象限 B.第二、三象限C.第三、四象限 D.第一、四象限4.已知平面直角坐标系内点，，，点的集合.则集合M表示的图形为（）A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线5.设函数在上最大值为M，最小值为m，则（）A4 B.6 C.8 D.106.计算（）A. B. C. D.17.设椭圆的左顶点为A，右焦点为F，点P在直线上但不同于右顶点.连接FP交椭圆于点Q，且.连接QO（O为坐标原点）交椭圆于另一点且A，，P三点共线，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.8.设函数，则方程（）的实数根的个数可能为（）A.1 B.3C.1或3 D.3或5二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各式中，值为0的有（）A.B.C.D.10.已知数列满足，.记是数列的前项和.则（）A.是等比数列B.，C.，D.，使得既有无穷多个满足，又有无穷多个满足11.已知锐角的面积为，且满足，，边上的高为h，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.方程的正实数解为______.13.若，成立，则的最大值为__________.14.若，恒成立，则实数a的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设函数，已知，点，，若，求点的纵坐标.16.已知数列满足，.集合（）.（1）求的通项公式.（2）记，集合.（i）若，求证：，成立（ii）若，，求所有满足条件的的和.17.有两枚硬币A，B.假设抛硬币时所得的结果只能为正面向上的一种，抛硬币A正面向上的概率为，抛硬币B正面向上的概率为p.现在先从两枚硬币中随机选中一枚，然后抛掷若干次.（1）若，求抛一次硬币，正面向上的概率.（2）若，在已知抛了一次硬币，正面向上的条件下，求再抛一次硬币得正面向上的概率.（3）如果当连续抛硬币k次（，）全为正面向上的前提下，可以做出论断“选中的是B硬币”，犯错误的概率不超过，则k的最小值为多少？[提示：用表示不小于x的最小整数.）18.在空间直角坐标系Oxyz中，称是曲面S的方程，如果曲面S上的任意点的坐标都是方程的解，且所有不在曲面S上的点的坐标都不是方程的解.如图是一个单叶双曲面，其方程为，它可以看作zOx面内某双曲线的一支绕z轴旋转一周所得的曲面.（1）证明：以平行于xOy面的平面（为常数）截所得的截痕（即截得的曲线）是圆.（2）已知过点的直线l的一个方向向量为，试判断直线l与的公共点的个数.（3）在第（2）问的条件下，设点，其中.若直线过点M且上的所有点都在上，求直线l与所成角的余弦值的取值范围.19.已知平面直角坐标系中的椭圆E：（）.已知过点S（满足）可作椭圆E的两条相互垂直的切线，且点在椭圆E上.A，B分别是椭圆E的左、右顶点.（1）求椭圆E方程.（2）设有直线上不同于点点P，AP交椭圆E于另一点M，BP交椭圆E于另一点N，请判断以MN为直径的圆与直线的位置关系（相交，相切或相离），并证明你的结论.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数，则（）A.0 B.2C.4 D.答案：C解析：思路：根据共轭复数的概念，复数的相关运算公式即可求解.解答过程：因为，所以，故.故选：C2.一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则这个等比数列的公比为（）A.2 B.C.4 D.答案：A解析：思路：根据给定条件，结合等比数列定义列式求出公比.解答过程：记此等比数列为，设其公比为，由，得，依题意，，相除得，所以，所以这个数列的公比等于2.故选：A3.已知，，则函数的图象一定经过（）A.第一、二象限 B.第二、三象限C.第三、四象限 D.第一、四象限答案：C解析：思路：分类讨论a的取值范围，结合函数图象的平移变换，即可求得答案.解答过程：对于，当时，，当时，，将的图象向左平移个单位，即得的图象，此时的图象过第二、三、四象限；当时，，将图象向左平移个单位，即得的图象，此时图象过第一、三、四象限；综合可知函数的图象一定经过第三、四象限，故选：C4.已知平面直角坐标系内点，，，点的集合.则集合M表示的图形为（）A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线答案：A解析：思路：根据给定条件，求出集合即可判断选项.解答过程：依题意，，由，得，整理得，即，所以集合M表示的图形为直线.故选：A5.设函数在上的最大值为M，最小值为m，则（）A.4 B.6 C.8 D.10答案：B解析：思路：通过观察函数的特点，求出的中心对称点，利用中心对称点求出的值.解答过程：，，，设，则，，，，，的图象在上关于对称，，，向上平移3个单位得到，的图象在上关于对称，.故选：B6.计算（）A. B. C. D.1答案：C解析：思路：由诱导公式，二倍角公式及两角和余弦公式求解即可．解答过程：故选：C7.设椭圆的左顶点为A，右焦点为F，点P在直线上但不同于右顶点.连接FP交椭圆于点Q，且.连接QO（O为坐标原点）交椭圆于另一点且A，，P三点共线，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据给定条件，设点，结合椭圆对称性求出点的坐标，再利用向量共线的坐标表示求解.解答过程：设椭圆的半焦距为，则，设，由，得，于是，，而，则，由三点共线，得，于是，解得，此时或符合题意，所以椭圆的离心率为.故选：B8.设函数，则方程（）的实数根的个数可能为（）A.1 B.3C.1或3 D.3或5答案：B解析：思路：先对求导，利用导求出的单调区间和极值，画出的大致图象，然后令，则，可得方程有两个不相等的实根，设为，将问题转化为与，交点个数，分类讨论利用图象求解即可.解答过程：的定义域为，由，得，由，得，由，得或，所以在上递增，在和上递减，所以的极大值为，极小值为，当时，，则的大致图象如图所示，令，则，因为，所以方程有两个不相等的实根，设方程的两个实根为，则，所以与异号，不妨设，则，，当时，，所以，所以，所以由图可知，的图象与无交点，的图象与有3个不同的交点，所以原方程有3个不同的根，当时，，所以，所以。所以由图可知，的图象与有2个不同的交点，的图象与有1个交点，所以原方程有3个不同的根，当时，，则由图可知，的图象与有1个的交点，的图象与有2个不同的交点，所以原方程有3个不同的根，综上，原方程有3个不同的根.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各式中，值为0的有（）A.B.C.D.答案：BC解析：思路：根据诱导公式结合两角和差的余弦公式逐个化简计算即可判断.解答过程：对于A：，因为，，所以，所以，所以，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，因为，所以，所以，故D错误.故选：BC.10.已知数列满足，.记是数列的前项和.则（）A.是等比数列B.，C.，D.，使得既有无穷多个满足，又有无穷多个满足答案：BCD解析：思路：根据题意，运用累乘法得到数列的通项公式，再逐一分析选项即可求解.解答过程：已知，，则，，所以.选项A，由题意得，根据等比数列的定义（），显然不是常数，所以A错误.选项B，当为奇数时，，数列单调递减，即；当为偶数时，，数列单调递增，即.因此，，所以B正确.选项C，由题意得，，当为奇数时，，则，；当为偶数时，，则，.因此，，所以C正确.选项D，结合上述分析，当为奇数时，，，则，即奇数项和单调递减，但不会小于；当为偶数时，，，则，即偶数项和单调递增，但不会大于.故有界且（为奇数），则趋向于某个极限，因此当取该极限值时，有无穷多个满足，有无穷多个满足，所以D正确.故选：BCD.11.已知锐角的面积为，且满足，，边上的高为h，则（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：由题意求出，，，再由面积公式求出，由正弦定理得，，，再依次判断选项即可．解答过程：由，得，两式相加得，，得，得，得，或（舍去），因为，所以，则，得，得，得，得，即，因为，所以，得，则，故A项错误，则。故B项正确；由锐角的面积为，得，得，设的外接圆半径为：，则，而，则，得，得，，，得，故C项正确，由锐角的面积为，得，得，得，故D正确．故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.方程的正实数解为______.答案：解析：思路：运用对数的运算性质先证，可得原方程为，，可得，再由复合函数的单调性和指数函数、对数函数的单调性，即可得到方程的解．解答过程：先证（且，且，且），

令，，两边取为底的对数，可得，，

所以，所以，即，

则即为，

可得，

由于在上单调递增，，在上单调递减，所以，在上单调递减，

可得在上单调递减，

又时，即时，有，

则原方程的解有且只有一个为.

故答案为：方法提示：关键点点：本题关键是对数恒等式的应用.13.若，成立，则的最大值为__________.答案：解析：思路：首先利用必要性，令得，再验证该上界可取，如取，原不等式转化为，设，利用导数证明该不等式在上恒成立即可.解答过程：由必要性，取，可得，即，下证充分性，取，即证，设，，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，即，综上所述，的最大值为.故答案为：.14.若，恒成立，则实数a的取值范围为__________.答案：解析：思路：由题意可知，恒成立，构造函数以及，利用导数判断单调性，进而判断函数值正负情况，分类讨论，确定a的取值范围，即得答案.解答过程：，恒成立，即，恒成立，若，则，而当时，，则，此时有，不符合题意；故；设，则，若，，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；故在时取最小值；设，当时，，即当时，取，则，此时，此时存在x，使得，不符合题意，故，则，此时在上单调递增，则，此时需在上满足，而，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，故在时取最大值，则需满足，解得，结合，可得实数a取值范围为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设函数，已知，点，，若，求点的纵坐标.答案：解析：思路：根据向量相等的性质列出方程组，再结合三角函数的诱导公式和二倍角公式求解点的纵坐标解答过程：已知，，，则，因为，所以可得方程组，得且.即.令，则，即.得.解得.又由于，，知，则.于是点A的纵坐标为.16.已知数列满足，.集合（）.（1）求的通项公式.（2）记，集合.（i）若，求证：，成立.（ii）若，，求所有满足条件的的和.答案：（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）.解析：思路：（1）由已知递推式得，结合等差数列的定义求通项公式；（2）（i）根据已知先证，再结合错位相减法、等比数列前n项和公式求证明即可；（ii）根据（i）及题设每个固定的i项在所有序列中出现的总和为，即可求和.（1）由已知，知，所以是等差数列，公差为3，首项为1，故.（2）（i）当时，，，需证，，由于，有.下证，又，设，其中，又，则，所以，故，所以，因此，当时，，故，所以，即；（ii）设为的和，由于，且每个独立地取中的值，所有可能序列共有个，对于每个固定的i项在所有序列中出现的总和为.因此，所有t的总和为，其中，同（i）过程，可得.17.有两枚硬币A，B.假设抛硬币时所得的结果只能为正面向上的一种，抛硬币A正面向上的概率为，抛硬币B正面向上的概率为p.现在先从两枚硬币中随机选中一枚，然后抛掷若干次.（1）若，求抛一次硬币，正面向上的概率.（2）若，在已知抛了一次硬币，正面向上的条件下，求再抛一次硬币得正面向上的概率.（3）如果当连续抛硬币k次（，）全为正面向上的前提下，可以做出论断“选中的是B硬币”，犯错误的概率不超过，则k的最小值为多少？[提示：用表示不小于x的最小整数.）答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）抛一次硬币，正面向上的概率受到选择那个硬币的影响，可根据选择的硬币，将样本空间表示为“选中硬币A”和“选中硬币B”两个互斥时间的并，利用全概率公式求解；（2）先通过贝叶斯公式确定选中硬币A或B的概率，再结合各自的正面概率，利用全概率公式算出第二次正面向上的总概率；（3）通过贝叶斯公式明确“犯错误的概率”的表达式，再通过不等式变形和对数运算求解k的最小值.（1）设事件H表示抛一次硬币正面向上，事件A表示选中硬币A，事件B表示选中硬币B，则且与互斥，根据题意得，，，.由全概率公式得.因此抛一次硬币正面向上的概率为.（2）设表示第一次正面向上，表示第二次正面向上，则用贝叶斯公式结合（1）得，.又，．给定硬币类型，抛掷独立，故.因此，所求概率为.（3）事件F：“连续抛k次全为正面向上”，则“犯错误的概率”即为，硬币A连续k次正面向上的概率，硬币B连续k次正面向上的概率.根据贝叶斯公式.此值不超过，即.即，，由，得，所以，得.取自然对数并由于，.因此，k的最小值为不小于该值的最小整数：.18.在空间直角坐标系Oxyz中，称是曲面S的方程，如果曲面S上的任意点的坐标都是方程的解，且所有不在曲面S上的点的坐标都不是方程的解.如图是一个单叶双曲面，其方程为，它可以看作zOx面内某双曲线的一支绕z轴旋转一周所得的曲面.（1）证明：以平行于xOy面的平面（为常数）截所得的截痕（即截得的曲线）是圆.（2）已知过点的直线l的一个方向向量为，试判断直线l与的公共点的个数.（3）在第（2）问的条件下，设点，其中.若直线过点M且上的所有点都在上，求直线l与所成角的余弦值的取值范围.答案：（1）证明见解析；（2）无数个；（3）.解析：思路：（1）将代入得，由圆方程即可判断截痕是圆.（2）设点是l上的点，根据向量共线坐标运算求得点P的坐标，代入满足曲面方程，即可求解.（3）设是直线上的点，设是直线的方向向量，则.代入曲面方程得，.解得，利用向量夹角公式及正弦函数性质即可求解范围.（1）以平面截曲面：，代入得.这是一个圆的方程，圆心在，半径.因此，所得的截痕是圆.（2）设点是l上的点，则，，则，，.代入曲面方程恒成立，故直线l上的点全部在曲面上，即公共点有无数个.（3）点，.设是直线上的点，设是直线的方向向量，则，则.代