四川省南充市2025-2026学年高一第二学期期末学业质量监测数学试题 含答案解析

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，若，则（）A. B. C. D.2.若，其中，，则（）A.， B.， C.， D.，3.已知为第一象限角，且，则（）A. B. C. D.4.如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（）A. B.2C. D.45.已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（

）A.若，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则6.已知正四棱台中，，则该正四棱台的体积为（）A. B.C. D.7.如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（）米A. B.C. D.8.已知圆锥的侧面积为，母线与底面的夹角为．若半径的小球在该圆锥内滚动，则在滚动过程中，圆锥的底面被小球滚动过的区域最大面积为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.已知复数（为虚数单位），则（）A.的虚部为 B.C. D.在复平面内对应的点位于第二象限10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.函数的图象关于直线对称B.函数在区间上单调递增C.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得的图象D.当时，曲线与的图象有4个交点11.如图，在半径为1的圆中，为两条不同的直径，且，则（）A.B.C.若，则D.的取值范围为三、填空题：本题共三小题，每小题5分，共15分．12.已知，则___________．13.已知向量，满足，，且，则________．14.在中，点是的中点，且，则的最大值为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点，，．（1）判断的形状并证明；（2）求在上的投影向量坐标．16.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的最大值及取得最大值时的值．17.如图，在直三棱柱中、，点是的中点．（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．18.已知分别为三个内角的对边，点是的中点，，且．（1）求；（2）求的面积；（3）点是边上的点，且为的角平分线，求的长．19.如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使三点重合于点．（1）证明：；（2）求二面角的余弦值；（3）若点分别为三棱锥内切球和外接球球面上的两个动点，求线段的最小值．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：平面向量共线(平行)的坐标充要条件为：若，，则等价于.将题中，代入上述公式，可得：，化简得，解得.2.若，其中，，则（）A.， B.， C.， D.，答案：D解析：思路：先根据复数的乘法运算化简等式的左边，再根据复数相等的条件即可求出，．解答过程：由，即，即．3.已知为第一象限角，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据同角三角函数基本关系求出，再根据诱导公式求解.解答过程：且为第一象限角，，.4.如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（）A. B.2C. D.4答案：C解析：思路：根据斜二测画法规则确定直观图中

的度数，利用余弦定理求出

的长度，再根据纵向长度变为原来的2倍还原求出.解答过程：由斜二测画法的规则可知，直观图中轴与轴的夹角为

.因为

轴，轴，所以.在中，由余弦定理得

，即

，整理得.又，解得.根据斜二测画法的还原规则，原图形中平行于轴，且长度是直观图中对应线段的2倍，所以.5.已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（

）A.若，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则答案：C解析：思路：在长方体中，利用线线，线面，面面之间的关系判断.解答过程：对于选项A，分别把、、当作直线、、，显然，故A不正确；对于选项B，平面、平面、平面分别视为平面、、，显然，故B不正确；对于选项C，，，则，故C正确；对于选项D，平面、平面分别视为平面、，分别视为，则，故D不正确.6.已知正四棱台中，，则该正四棱台的体积为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据题意，设正四棱台的高为，由正四棱台的性质，求得，结合棱台的体积公式，即可求解.解答过程：如图所示，连接，分别交于点，连接，可得，在平面中，过点作于点，设正四棱台的高为，因为，可得，在直角中，，即正四棱台的高为，且上底面的面积为，下底面的面积为，所以正四棱台的体积为.7.如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（）米A. B.C. D.答案：B解析：思路：在中，利用正弦定理，求得，再在直角中，结合直角三角形的性质，得到，即可求解.解答过程：在中，因为，，可得，则，又因为，由正弦定理得，即，可得，在直角中，因为，且，可得，即塔高为米.8.已知圆锥的侧面积为，母线与底面的夹角为．若半径的小球在该圆锥内滚动，则在滚动过程中，圆锥的底面被小球滚动过的区域最大面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：画出圆锥轴截面图，由题圆锥底面被小球滚动过的区域为一个圆，由图结合题设可得圆半径，据此可得答案.解答过程：设圆锥母线长为，底面圆半径为，则.因母线与底面的夹角为，则圆锥轴截面为等边三角形，从而.如下图作出圆锥轴截面，小球与底面相切于.设底面中心为，连接.由题可得为有一个角为的直角三角形，又，则，又由题可得小球可滚动区域为一个圆，则圆半径为，从而被小球滚动过的区域最大面积为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.已知复数（为虚数单位），则（）A.的虚部为 B.C. D.在复平面内对应的点位于第二象限答案：BC解析：思路：根据复数除法法则求复数的代数形式，再根据共轭复数、复数的模和复数的几何意义判断选项.解答过程：根据复数除法运算可得

，那么对于选项A：复数的虚部为，故A错误；对于选项B，

的共轭复数为，故B正确；对于选项C，

，故C正确；对于选项D，在复平面内对应的点为，横、纵坐标均为负，属于第三象限，故D错误.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.函数的图象关于直线对称B.函数在区间上单调递增C.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得的图象D.当时，曲线与的图象有4个交点答案：ABD解析：思路：根据图象利用五点法可得.求的对称轴和单调区间，即可判断AB；根据图象变换判断C；画出与的图象，结合图象判断D.解答过程：图像最高点纵坐标为2，得，由得，且，则，解得，将点代入得，即，则，即，且，可得，，所以.选项A：令，可得，当时，则，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；选项B：令，解得，当时，可得函数的递增区间为，且，所以函数在区间上单调递增，故B正确；选项C：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得不是，故C错误；选项D：当时，画出与的图象，由图象可知：当时，曲线与的图象有4个交点，故D正确.11.如图，在半径为1的圆中，为两条不同的直径，且，则（）A.B.C.若，则D.的取值范围为答案：ACD解析：思路：根据可直接判断A；建立坐标系，根据数量积的坐标运算可判断B；根据三点共线的向量表示可判断C；根据向量的夹角公式求出的表达式，再结合三角函数的范围可求出的范围，进而可求的范围.解答过程：由题意得：，所以，故A正确；以为原点，以为轴，以的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以，根据对称性，不妨取在轴上方，设，则，所以，所以，故B错误；由，又三点共线，所以，故C正确；由，，所以，因为，所以，，所以，所以，所以，即，所以，所以的取值范围为，故D正确.三、填空题：本题共三小题，每小题5分，共15分．12.已知，则___________．答案：解析：思路：根据两角和的正切公式即可求解．解答过程：由，则．13.已知向量，满足，，且，则________．答案：##解析：思路：根据向量垂直可得向量的数量积为零，结合向量的模联立计算即可.解答过程：因为，，所以，即，因为，所以，联立，解得.14.在中，点是的中点，且，则的最大值为___________．答案：解析：思路：设，利用正弦定理及三角恒等变换，将转化为有关的单变量形式，再借助辅助角公式即可求得最大值．解答过程：如图，设，，所以，由正弦定理可得，在中，；在中，可得，即，因为，所以，两边同除，得，故，令，则，设，则，得到，可得，解得，即，等号显然可以取到，因此的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点，，．（1）判断的形状并证明；（2）求在上的投影向量坐标．答案：（1）为等腰直角三角形，证明如下：因为，，，所以，，，因此在中，，，故为等腰直角三角形．（2）解析：思路：（1）根据三个顶点的坐标求出三边长即可判断；（2）利用投影向量坐标公式即可计算．（1）略（2）由（1）可得，，因此在上的投影向量坐标为．16.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的最大值及取得最大值时的值．答案：（1）（2）；解析：思路：（1）结合二倍角公式和辅助角公式化简求得，由周期公式可求的最小正周期；（2）令，解得，求出时的具体值即可，易得最大值为.（1），故；（2），令，解得，因为，当时，，此时.17.如图，在直三棱柱中、，点是的中点．（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．答案：（1）证明：如图，连接交于点，连接.因为四边形为平行四边形，所以为中点.在中，是的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）连接交于点，可得，再利用线面平行的判定定理即可证明.（2）在平面中找出，可得为异面直线与所成的角，再利用已知长度求出的各边长即可求的余弦值.（1）略.（2）取的中点，连接，，.在平行四边形中，是的中点，所以且.又因为且，所以且.所以四边形为平行四边形.所以.所以等于异面直线与所成的角.在等边三角形中，，且，因平面平面，平面，平面，则平面，又平面，则，又因.则.所以异面直线与所成角的余弦值为.18.已知分别为三个内角的对边，点是的中点，，且．（1）求；（2）求的面积；（3）点是边上的点，且为的角平分线，求的长．答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）由正弦定理边角互化结合两角和的正弦公式可得，据此可得答案；（2）由向量知识可得，据此可得，然后由（1）结合三角形面积公式可得答案；（3）由（2）分析可得，然后由等面积法结合题设可得答案.（1）因，由正弦定理边角互化可得：，在三角形中，，则，又，则；（2）由题可得，从而由题可得，则，三角形面积为：；（3）由（2）解析可得，则.注意到，则.19.如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使三点重合于点．（1）证明：；（2）求二面角的余弦值；（3）若点分别为三棱锥内切球和外接球球面上的两个动点，求线段的最小值．答案：（1）证明：因为原正方形中，，，折叠后三点重合于点，所以，.因为平面，平面，，所以平面.因为平面，所以（2）（3）解析：思路：（1）利用已知条件证明平面即可得到.（2）取中点，可得为二面角的平面角，再利用可求解.（3）分别找出内切球球心与外接球球心，再分别计算出内切球半径为与外接球半径为，从而找出两球面上两点距离的最小值.（1）略（2）取中点，连接，.由已知得，则，易得，则.所以为二面角的平面角.因为三点重合于点，，所以，.因为平面，平面，所以.在中，.所以.所以二面角的余弦值为.（3）设三棱锥内切球的球心为，半径为，外接球球心为，半径为.所以所以.所以.如图，由（2）得点为的外心，过作平面，