云南楚雄第一中学2026届高三上册1月月考数学试题 含答案解析

数学一、单选题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.下列函数中，最小正周期为的偶函数是（）A. B. C. D.3.若复数满足，则（）A. B. C. D.4.已知，，，则向量在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.5.双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A.10 B.8 C.6 D.6.已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其表面积为（）A. B. C. D.7.在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（）A. B.2 C. D.8.设函数，若对任意都有，则的最大值为（）A. B. C.1 D.2二、多选题9.记等比数列的前n项积为，且，，若，则的可能取值为（

）A.4 B.5 C.6 D.710.已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（）A.抛物线的焦点坐标是B.C.若，则D.若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径11.对于任意两个正数，记曲线与直线，，轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.关于，下列说法正确的是（）A. B.C. D.三、填空题12.不等式的解为______.13.袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是__________；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则__________.14.定义在上的函数满足：①；②；③，则__________，__________.四、解答题15.某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积亩12345管理时间月810132524并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：单位：人愿意参与管理不愿意参与管理合计男性村民15050女性村民50合计（1）求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）；（2）依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关；（3）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望.参考公式：，其中.临界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考数据：.16.设数列的前项积为，满足.（1）设，求证：数列是等比数列；（2）设数列满足，求数列的前项和.17.在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，，且（如图2）（1）求证：平面；（2）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值．18.已知椭圆C：上一点到两焦点的距离之和为．（1）求椭圆C的方程．（2）不经过点的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与椭圆C的另一交点为D，则直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．19.已知，（1）求在处的切线方程以及的单调性；（2）对，有恒成立，求的最大整数解；（3）令，若有两个零点分别为且为的唯一的极值点，求证：.

数学一、单选题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据集合A、B表示点集，列出对应方程组求解即可，注意表示方式.解答过程：由题意，解得，故，故选：B.2.下列函数中，最小正周期为的偶函数是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用三角函数的周期公式及奇偶性或图象逐项判断即可.解答过程：对于A选项，函数是最小正周期为的奇函数；对于B选项，函数是最小正周期为的偶函数；对于C选项，函数是最小正周期为的奇函数；对于D选项，作出函数的图象如下图所示：由图可知，函数是最小正周期为的偶函数.故选：D.3.若复数满足，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据条件，利用复数的运算法则及模长的计算公式，即可求解.解答过程：因为，所以，所以.故选：D.4.已知，，，则向量在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意，结合向量投影向量公式直接计算即可.解答过程：设与的夹角为，则向量在方向上的投影向量为.故选：A.5.双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A.10 B.8 C.6 D.答案：C解析：思路：求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程，再利用点到直线距离公式计算得解.解答过程：双曲线的半焦距，由对称性不妨取焦点，该双曲线的渐近线，所以点到渐近线距离.故选：C6.已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其表面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：运用圆锥侧面积、表面积、体积公式计算即可.解答过程：设底面半径为，高为，母线为，如图所示，则圆锥的体积，所以，即，又，即，所以，则，解得，所以圆锥的表面积为.故选：B.7.在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（）A. B.2 C. D.答案：B解析：思路：根据面积可求，再根据余弦定理可求，最后根据正弦定理求出外接圆半径.解答过程：由题设有，故，故，由余弦定理可得，故，故三角形外接圆的半径为，故选：B.8.设函数，若对任意都有，则的最大值为（）A. B. C.1 D.2答案：B解析：思路：根据函数的定义域，比较和的两个根的大小，即可讨论得，利用二次函数的性质即可求解最值.解答过程：由于，令，则，令则，当时，取，则，此时，不符合，当时，取，则，此时，不符合，当时，此时，所以，当，取等号，故的最大值为，故选：B二、多选题9.记等比数列的前n项积为，且，，若，则的可能取值为（

）A.4 B.5 C.6 D.7答案：AB解析：思路：由等比数列下标和的性质及已知得，再由即可求的可能值.解答过程：

，，，而，，或4

.故选：AB10.已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（）A.抛物线的焦点坐标是B.C.若，则D.若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径答案：ABD解析：思路：对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确.解答过程：对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4，所以，，故A正确.对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以，当直线的斜率存在时，设，得：，所以.故B正确.对选项C，，故C错误.对选项D，如图所示：过分别向准线作垂线，垂足为，因为，所以，即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确.故选：ABD11.对于任意两个正数，记曲线与直线，，轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.关于，下列说法正确的是（）A. B.C. D.答案：AB解析：思路：根据确定出，然后分类讨论，，，或时的结果，由此确定出的解析式.由对数的运算法则可判断A和B；根据小于梯形的面积可判断C；取特殊值可判断D.解答过程：由题意，所以.当时，；当时，；当时，；当或时，也成立.综上所述，.对于A，，，所以，，故A正确；对于B，，因为，所以，故B正确；对于C，如图，因为，所以，即，故C错误；对于D，取，则，故D错误.故选：AB.方法提示：关键点点睛：本题的关键点在于根据和分类讨论确定的解析式.三、填空题12.不等式的解为______.答案：解析：思路：根据在上单调递增求解即可.解答过程：设，则该函数在上单调递增，因为，所以解不等式即，所以.故答案为：13.袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是__________；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则__________.答案：①.##②.##解析：思路：分别利用古典概型的概率和条件概率求解.解答过程：根据题意从3个红球和2个白球任取3个球，由种取法，其中恰有一个白球的取法有种，其中恰有一个白球的概率是；由题可知，“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则，，所以.故答案为：；.14.定义在上的函数满足：①；②；③，则__________，__________.答案：①.1②.解析：思路：利用赋值法可得，，进而根据条件③得均有，即可赋值求解.解答过程：在①中，令，得，在②中，令，得，在①中，令，得，所以；在②中，令，得，由③知，在上非严格单调递增，又因为，所以均有．注意到，因此，于是,故答案为：1，四、解答题15.某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积亩12345管理时间月810132524并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：单位：人愿意参与管理不愿意参与管理合计男性村民15050女性村民50合计（1）求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）；（2）依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关；（3）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望.参考公式：，其中.临界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考数据：.答案：（1），管理时间与土地使用面程线性相关.（2）认为村民的性别与参与管理的意愿有关.（3）分布列：0123解析：思路：（1）根据表格数据和公式计算可得，由此可得结论；（2）根据已知数据可得列联表，计算可得，由此可得结论；（3）首先确定从该贫困县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率，可知，由二项分布概率公式可计算得到每个取值对应的概率，由此可得分布列，根据数学期望计算公式可求得结果.（1）由题知，，，，，，则，故管理时间与土地使用面程线性相关.（2）依题意，完蟙表格如下：单位：人愿意参与管理不愿意参与管理合计男性村民15050200女性村民5050100合计200100300零假设为：村民的性别与参与管理的意愿无关.计算可得.依据的独立性检验，推断不成立，即认为村民的性别与参与管理的意愿有关.（3）法一：依题意，的可能取值为，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故，故的分布列为0123则数学期望.法二：依题意，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，则，故.16.设数列的前项积为，满足.（1）设，求证：数列是等比数列；（2）设数列满足，求数列的前项和.答案：（1）证明见解析；（2）.解析：思路：（1）由，取，结合可求，结合关系当时，可得，变形为，结合，即可得出，结合等比数列证明结论；（2）由（1）可得，结合关系可得，所以，利用裂项相消法求数列的前项和；（1）因为数列的前项之积为，满足，所以当时，，解得．当时，，化为，变形为，又，所以，又，所以当，且时，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，所以，所以，所以，故，所以，所以数列的前项和为.17.在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，，且（如图2）（1）求证：平面；（2）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值．答案：（1）连接，在中，∵，，∴，在中，∵，∴，同理可得，∵，平面，∴平面；（2）解析：思路：（1）利用余弦定理及勾股定理得，，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）设为的中点，利用面面垂直的性质定理可得平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点面距离的向量公式求得的位置，然后求出平面和平面的法向量，利用向量法求解平面夹角的余弦值即可.（1）略（2）设为的中点，∴，∵平面，平面，∴平面平面，又∵平面平面，平面，∴平面，∴以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，∴，，，，，，∴，设平面的法向量为，∵，，取，∴，∴设，∵，∴，设点到平面的距离为，∴，∴，∴是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为，设平面的法向量为，∵，，取，∴，设平面与平面所成的角为，∴．18.已知椭圆C：上一点到两焦点的距离之和为．（1）求椭圆C的方程．（2）不经过点的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与椭圆C的另一交点为D，则直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．答案：（1）；（2）过定点，.解析：思路：（1）根据已知条件代入求得，由此求得椭圆的方程.（2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，结合直线的方程求得定点坐标.（1）依题意，，由点在椭圆上，得，解得，所以椭圆的方程为.（2）依题意，直线的斜率不为零，设直线的方程为，，则，由消去整理得，则，直线的方程为，由椭圆的对称性知，若存在符合条件的定点，则该定点一定在轴上，令，得，所以直线过定点.19.已知，（1）求在处的切线方程以及的单调性；（2）对，有恒成立，求的最大整数解；（3）令，若有两个零点分别为且为的唯一的极值点