浙江省衢州市2025-2026学年高一第二学期6月期末数学试题 含答案解析

数学试卷共4页，有4大题，19小题．满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.3.已知直线，和平面，若，，则（）A. B. C.与相交 D.或4.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为2或3”，事件为“向上的点数为偶数”，则事件与事件（）A.互斥 B.相互独立 C.互为对立 D.相等5.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（）A.平均数 B.极差 C.方差 D.中位数7.已知函数的图象向左平移（）个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.8.已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，下列关于函数的说法正确的是（）A.最小正周期是 B.是对称中心C.是对称轴方程 D.在上单调递增10.若正实数，满足，则下列说法正确的是（）A. B.有最大值C.有最大值 D.有最小值11.定义在上的函数，满足当时，，且，，都有，下列说法正确的是（）A. B.是偶函数C. D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某校有400名男生和200名女生，现采用按比例分配的分层随机抽样方法进行抽取，已知女生抽取20人，则男生抽取______人．13.已知锐角中，角，，的对边分别是，，，，，则周长的取值范围是______．14.矩形中，，，将沿直线翻折至，使得二面角的大小为60°，点是线段的中点，则三棱锥外接球半径为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.近年来人工智能在教育领域的应用越加广泛．某校为了解周末某款AI应用软件在学生中的使用时长（单位：小时）情况，进行了问卷调查，从所有问卷中随机抽取100份作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值与该样本数据的第80百分位数；（2）根据该频率分布直方图，估计1800名学生中有多少学生使用时长在1小时及以上．16.在中，角，，的对边分别是，，，满足．（1）求角；（2）若在线段上，满足，且，求的面积．17.某商场为吸引顾客，开展抽奖送代金券活动，规则如下：，两个箱子中均有若干个小球（除颜色外均相同），其中箱中有2个白球和个黑球，箱中有1个白球和个黑球．顾客每轮抽奖，需从，两个箱子中分别取一个球，按先后的顺序进行，取球结束后将球放回原箱子，且每次取球相互独立．若箱中取出白球，则送面值2元的代金券，否则无奖励；若箱中取出白球，则送面值3元的代金券，否则无奖励．（每位顾客每日至多参与两轮抽奖；代金券可用于商场停车缴费或参与下次消费，可叠加使用）（1）顾客甲参与一轮取球，求甲在箱中取出白球的概率；（用表示）（2）已知参与一轮取球后获得5元代金券的概率为，只获得一张代金券且为2元代金券的概率为．（ⅰ）求，；（ⅱ）若顾客乙参与两轮抽奖，现需用这两轮抽奖获得的代金券支付8元停车费，求乙可足额支付停车费的概率．18.如图，三棱柱中，，．（1）求证：平面平面；（2）若，，，；（ⅰ）当，求直线与平面所成角的正弦值；（ⅱ）当为何值时，三棱柱体积最大，并求此最大值．19.已知函数和向量，，定义：，当时，称函数为向量，的相关函数．（1）若，，函数，求的值；（2）当（）时，（ⅰ）证明：为向量，的相关函数；（ⅱ）若（，）为向量，的相关函数，求所有满足条件的有序数对组成的集合．

数学试卷共4页，有4大题，19小题．满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：直接根据复数的几何意义判断即可；解答过程：解：复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限；故选：D2.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：直接由向量的数量积的坐标运算及向量垂直的条件可得.解答过程：因为向量，，且，所以，解得.3.已知直线，和平面，若，，则（）A. B. C.与相交 D.或答案：D解析：思路：根据线面平行的定义与判定，分类讨论直线与平面的位置关系即可得结论.解答过程：由，可知直线与平面无公共点，而，当时，根据线面平行的判定定理，得；当时，此时仍满足且.因此与的关系为或.4.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为2或3”，事件为“向上的点数为偶数”，则事件与事件（）A.互斥 B.相互独立 C.互为对立 D.相等答案：B解析：思路：利用互斥事件，相互独立事件的定义依次判断选项即可.解答过程：抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为2或3”，对于A，C选项，事件与事件能同时发生，A，C错误；对于B,抛掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数，,,,满足,所以事件与事件为相互独立事件，故B正确；对于D，事件包含两个基本事件，事件包含三个基本事件，所以事件与事件不相等，故D错误；5.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据指数函数、对数函数的单调性，充分条件、必要条件判断即可.解答过程：由指数函数的单调性可知，而不能推出，（例如时函数意义），又，所以“”是“”的必要不充分条件.6.有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（）A.平均数 B.极差 C.方差 D.中位数答案：D解析：思路：根据平均数，极差，中位数的计算即可比较求解，利用方差的性质即可求解C.解答过程：样本数据1，2，2，2，3，5的平均数为，极差为4，中位数为2，去掉1和5后的数据的平均数为，极差为1，中位数为2，故平均数和极差都发生变化，中位数不改变，由于去掉1和5后，数据的波动性更小，故相比较于原数据，方差变小，故ABC错误，D正确.故选：D.7.已知函数的图象向左平移（）个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用平移变换的性质求出结果.解答过程：由题可得，所以，因为函数的图象关于轴对称，所以，即，又，所以的最小值是．8.已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据的表达式，先画出函数图象，再令，利用数形结合即可求出函数恰有3个不同的零点时，的取值范围.解答过程：由，可画出函数的图象，如图所示，易知处的函数值为，即如图中的点，所以，令，则，由图可知，当时，与无交点；当时，与有2个交点；当时，与有1个交点.令，则，化简得，解得，，要使函数恰有3个不同的零点，则当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点，满足题意，此时的取值范围为；或者，当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点，满足题意，此时的取值范围为，当时，，此时只有1个零点，不合题意，综上，函数恰有3个不同的零点时，的取值范围为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，下列关于函数的说法正确的是（）A.最小正周期是 B.是对称中心C.是对称轴方程 D.在上单调递增答案：AD解析：思路：由函数的图象与性质，根据选项利用性质逐一判断即可.解答过程：对于A，的最小正周期为，故A正确；对于B，由可得对称中心横坐标满足，解得，故不是函数的对称中心，故B错误；对于C，由可得对称轴方程满足，解得，故C错误；对于D，函数的单调递增区间满足，解得，当时，得函数的一个单调增区间为，故D正确.10.若正实数，满足，则下列说法正确的是（）A. B.有最大值C.有最大值 D.有最小值答案：ABD解析：思路：利用（为正实数）和基本不等式逐一分析判断各选项即可.解答过程：对于A，由正实数，满足，易得，故A正确；对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C，因为，所以，由B项知，则，即有最小值为，无最大值，故C错误；对于D，因为，且为正实数，所以，当且仅当时，有最小值，故D正确.11.定义在上的函数，满足当时，，且，，都有，下列说法正确的是（）A. B.是偶函数C. D.若，则答案：ACD解析：思路：令可判断A；令结合函数奇偶性的定义可判断B；令，可得，然后通过换元法证明（成立），结合奇函数的性质可判断C；先利用定义法证明函数的单调性，然后把不等式变形为，最后利用函数单调性解不等式可判断D.解答过程：令，可得，故A正确；令，可得，因为不恒等于0，结合可得：，即，所以是奇函数，又不恒等于0，所以不是偶函数，故B错误；令，可得，令，则原式变形为：

，对任意，令，得，替换为得，即（成立）；当时，对等式用替换，替换可得：，由奇函数的性质可得，即（成立）；当一个非负数一个负数时，不妨设，，对等式用替换可得，再用替换得，即（成立）；故对所有成立，C正确；是奇函数且满足得：若，则，因为当时，，所以，即，所以是上的增函数，由得：

，由增函数性质得，即，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某校有400名男生和200名女生，现采用按比例分配的分层随机抽样方法进行抽取，已知女生抽取20人，则男生抽取______人．答案：40解析：解答过程：根据分层抽样可知男生抽取人数为人13.已知锐角中，角，，的对边分别是，，，，，则周长的取值范围是______．答案：解析：思路：根据已知条件，，分别构造和，结合锐角的条件，即可求出其他两边的取值范围，进而求出周长的取值范围.解答过程：解：由题意知，，过点作，如图所示，则在，，，所以，，因为为锐角三角形，所以，，当时，为直角三角形，则，，又为锐角三角形，则，，所以，，因此，周长的取值范围为，即.14.矩形中，，，将沿直线翻折至，使得二面角的大小为60°，点是线段的中点，则三棱锥外接球半径为______．答案：解析：解答过程：法1：如图，在矩形中，连接交于，因为点是线段的中点，所以，则，则，因为，所以，所以，即，，因为，四边形为矩形，所以，，由折叠可知又，所以在中，代入得故.并且，所以因为，，因为，平面，所以平面，因为平面，所以．在平面内过点作直线，则．又平面，与交于，所以平面，在底面中，，且，设的外接圆半径为，则由正弦定理知由于平面，外接球球心在外接圆圆心的垂线上．设球心到平面的距离为，则由球心到与到底面三点距离相等，得所以因此，代入得故法2：如图，作，交于，，交于，因为，四边形为矩形，所以，，同理.，所以.连，因为为中点，为中点，所以.以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，因为二面角的大小为，所以，设的坐标为，则，所以，，，所以，即，，所以.设三棱锥外接球球心的坐标为，则解得，所以外接球的半径为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.近年来人工智能在教育领域的应用越加广泛．某校为了解周末某款AI应用软件在学生中的使用时长（单位：小时）情况，进行了问卷调查，从所有问卷中随机抽取100份作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值与该样本数据的第80百分位数；（2）根据该频率分布直方图，估计1800名学生中有多少学生使用时长在1小时及以上．答案：（1），第80百分位数为；（2）人.解析：（1）由题，解得：．因为的频率为，的频率为，所以该样本数据的第80百分位数位于区间中，所以该样本数据的第80百分位数为：．（2）根据频率分布直方图，使用时长在1小时及以上的频率为，而．故估计1800名学生中有1566名学生使用时长在1小时及以上．16.在中，角，，的对边分别是，，，满足．（1）求角；（2）若在线段上，满足，且，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用余弦定理将角化边，再利用余弦定理计算，即可得解；（2）在中，利用余弦定理求得，再求面积即可.（1）由余弦定理知，，化简为，化简为，，.（2）由于，，所以，在中，，即，解得，.17.某商场为吸引顾客，开展抽奖送代金券活动，规则如下：，两个箱子中均有若干个小球（除颜色外均相同），其中箱中有2个白球和个黑球，箱中有1个白球和个黑球．顾客每轮抽奖，需从，两个箱子中分别取一个球，按先后的顺序进行，取球结束后将球放回原箱子，且每次取球相互独立．若箱中取出白球，则送面值2元的代金券，否则无奖励；若箱中取出白球，则送面值3元的代金券，否则无奖励．（每位顾客每日至多参与两轮抽奖；代金券可用于商场停车缴费或参与下次消费，可叠加使用）（1）顾客甲参与一轮取球，求甲在箱中取出白球的概率；（用表示）（2）已知参与一轮取球后获得5元代金券的概率为，只获得一张代金券且为2元代金券的概率为．（ⅰ）求，；（ⅱ）若顾客乙参与两轮抽奖，现需用这两轮抽奖获得的代金券支付8元停车费，求乙可足额支付停车费的概率．答案：（1）（2）（ⅰ），；（ⅱ）解析：思路：（1）利用古典概型概率公式直接求解即可；（2）（ⅰ）利用古典概型概率公式列方程组求解即可；（ⅱ）先确定单轮抽奖各收益对应的概率，再枚举两轮总金额不低于8元的所有情况，结合古典概型概率公式求解即可.（1）甲在箱中取一个球的试验的样本空间包含个样本点，事件A：箱取出白球包含个样本点，故甲在箱中取出白球的概率为；（2）（ⅰ）一轮取球的试验的样本空间包含个样本点，事件：“获得5元代金券”包含个样本点，事件：“只获得一张代金券且为2元代金券”包含个样本点，所以，解得；（ⅱ）乙可足额支付停车费的概率，即乙两轮抽奖获得的代金券面值叠加后大于等于8元的概率，乙两轮抽奖试验的样本空间包含个样本点，获得的代金券面值叠加后大于等于8元的有：（白，白，白，白），（白，白，黑，白），（黑，白，白，白），共3个随机事件，均包含4个样本点，所以发生的概率为，所以乙两轮抽奖获得的代金券面值叠加后大于等于8元的概率为，即乙可足额支付停车费的概率为．18.如图，三棱柱中，，．（1）求证：平面平面；（2）若，，，；（ⅰ）当，求直线与平面所成角的正弦值；（ⅱ）当为何值时，三棱柱体积最大，并求此最大值．答案：（1）因为，​，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）；时，体积最大值为解析：思路：（1）