实际问题与一元二次方程第1课时课件2026-2027学年人教版九年级上册数学

实际问题与一元二次方程（第1课时）人教版九年级上册数学复习提问：①列方程解决实际问题的通用步骤是什么？

审、设、列、解、检、答②直角三角形三边满足什么等量关系？矩形周长、面积公式是什么？很多几何计算题，已知周长、面积或边长关系，直接用算术方法很难求解，但我们可以设未知数，借助勾股定理、面积公式列出一元二次方程求解．本节课我们先研究两类基础几何应用题：连续整数直角三角形、定周长矩形面积问题，学习如何从图形里找到等量关系，建立一元二次方程模型．问题是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？思考：1．题目关键条件有哪些？2．如何用同一个未知数表示三条连续正整数边长？可设最短的直角边长为x（x为正整数），则另外两条边长依次为x＋1，x＋2．直角三角形三边满足什么定理？哪一条边是斜边？问题是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？方程有两个解，两个解都符合题意吗？为什么？将x＝3代回，三角形三边长是多少？是否唯一？解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x＋1，x＋2，其中x为正整数．由勾股定理，得

，解方程，得

x1＝3，x2＝－1．问题是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x＋1，x＋2，其中x为正整数．由勾股定理，得

，解方程，得x1＝3，x2＝－1（不符合题意，舍去）．因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5．问题用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为

96

m2

的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？思考：1．矩形周长40m，若设一条边长为

x

m，邻边长如何用含

x的式子表示？2．如何用同一个未知数表示三条连续正整数边长？问题用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为

96

m2

的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？分析：假设细绳能围成面积为

96m²的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度，设矩形一边长为xm，由周长为40m，可用含

x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解．问题用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为

96

m2

的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？解：设矩形的一边长为

xm，由矩形的周长为

40m，可得此边的邻边长为（20－x）m；再由矩形的面积为

96m²，得x(20－x)＝96．解方程，得

x1＝12，x2＝8．方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区城？问题用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为

96

m2

的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？解：设矩形的一边长为

xm，由矩形的周长为

40m，可得此边的邻边长为（20－x）m；再由矩形的面积为

96m²，得x(20－x)＝96．解方程，得

x1＝12，x2＝8．因此，用一根长为

40m的细绳可以围成一个面积为

96

m2

的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为

8m，12m．思考用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为

96

m2

的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？

设矩形的两邻边长的方法有多种，例如：（1）可设一边长为xm，那么其邻边长为

m；（2）可设一边长为（10＋x）m，那么其邻边长为（10－x）m．能根据以上设两邻边长的方法列方程求解本题吗？比较这些设法，说说它们各自的特点．思考用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为

96

m2

的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？基础设元：设矩形的一边长为

xm，邻边长为（20－x）m；方程：x(20－x)＝96面积设元：设一边长为xm，邻边长为

m；等量关系：邻边和为20

m；方程：x＋

＝20对称设元：设一边长为（10＋x）m，邻边长为（10－x）m．等量关系：面积为96

m2；方程：(10＋x)(10－x)＝96基础设元：设矩形的一边长为

xm，邻边长为（20－x）m；方程：x(20－x)＝96面积设元：设一边长为xm，邻边长为

m；等量关系：邻边和为20

m；方程：x＋

＝20对称设元：设一边长为（10＋x）m，邻边长为（10－x）m．等量关系：面积为96

m2；方程：(10＋x)(10－x)＝96小组讨论：三种列式哪种计算最简单、哪种更容易出错？三种设元特点：1．基础设元x与20−x：最直观，贴合周长定义，整式方程，初学首选；2．面积倒数设元：出现分式，需要去分母，计算更繁琐；3．对称设元：利用平方差简化计算，计算量最小，但不易想到．1．建模关键：找准对应几何公式（勾股定理、矩形周长和面积公式），用未知数表示图形边长，建立一元二次方程；2．解题步骤：审图→设元→列方程→解方程→检验根的实际几何意义；3．检验要点：线段长度必须为正数；若两根均为正数，仍要结合图形条件判断是否符合题意，不能直接保留全部正根．总结问题现有一根长30cm铁丝，围成矩形面积

50

cm2，求矩形两边长．解：设矩形的一边长为

xm，由铁丝长

30

cm，可得此边的邻边长为（15－x）cm；再由矩形的面积为

50cm²，得x(15－x)＝50．解方程，得

x1＝5，x2＝10．因此，矩形两边长分别为

5cm，10cm．例1

某农场有一块长为40m、宽为32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为1

140

m2

，求小路的宽．分析：方法1：将小路分别平移到大矩形的两边，种植面积不变．由题意，设小路的宽为xm，则矩形种植面积的长为(40－x)m，宽为(32－x)m．根据矩形的面积计算公式列方程求解即可．解：方法一：设小路的宽为xm．如图，将小路平移到矩形边上时，种植面积是不变的，所以(40－x)·(32－x)＝1

140．解方程，得x1＝2，x2＝70（不合题意，舍去）．答：小路的宽为2m．例1

某农场有一块长为40m、宽为32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为1

140

m2

，求小路的宽．分析：方法2：要求种植面积，可用大矩形的面积减去小路的总面积．解：方法二：设小路的宽为xm，列出方程40×32－(40x＋32x－x2)＝1140．整理，得x2－72x＋140＝0．解方程，得x1＝2，x2＝70（不合题意，舍去）．答：小路的宽为2m．通过平移将图形进行转化，是列一元二次方程解决图形面积类应用题的常用方法，其核心思想是将不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则的图形，根据规则图形的面积计算公式列一元二次方程求解．把不规则图形转化为规则图形有两种常用的方法：割补法和平移法．需根据已知条件，灵活选择合适的方法．

例2如图，一农户要建一个矩形羊舍，羊舍的一边利用长为12

m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成．为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1

m宽的门．所围矩形羊舍的长、宽分别为多少时，羊舍面积为80m2？

分析：因为矩形的面积等于长乘宽，所以需要表示出矩形羊舍的长与宽．设矩形羊舍垂直于住房墙的一边长为xm，则平行于住房墙的一边长为(26－2x)m．根据矩形的面积计算公式列出方程求解，最后利用住房墙的长为12m，确定矩形羊舍的长与宽．解：设矩形羊舍垂直于住房墙的一边长为x

m，则平行于住房墙的一边长为(26－2x)m．由题意，得x(26－2x)＝80．解方程，得x1＝5，x2＝8．当x＝5时，26－2x＝16＞12，不合题意，舍去；当x＝8时，26－2x＝10＜12．答：所建矩形羊舍的长为10

m，宽为8

m．利用一元二次方程解决与矩形面积有关的问题时，关键是根据题意和图形正确表示出矩形的长与宽，寻找相等关系列方程求解，注意题目隐藏的长度限制，检验并舍去不合理解．

例3小林准备进行如下操作试验：把一根长为40

cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58

cm2，小林该怎么剪？解：（1）设其中一个正方形的边长为x

cm，两个正方形周长总和为40cm，边长之和为40÷4＝10（cm），则另一个正方形的边长为(10－x)cm．由题意，得x2＋(10－x)2＝58．解得x1＝3，x2＝7．因为4×3＝12（cm），4×7＝28（cm），所以小林应把铁丝剪成12cm和28cm的两段．

例3小林准备进行如下操作试验：把一根长为40

cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48

cm2．”他的说法对吗？请说明理由．解：（2）小峰的说法是对的．理由如下：假设这两个正方形的面积之和等于48cm2，由（1），得x2＋(10－x)2＝48．化简，得x2－10x＋26＝0．因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0，所以此方程没有实数根，所以小峰的说法是对