圆心角课件2026-2027学年人教版九年级上册数学

圆心角人教版九年级上册数学

1．能够重合的两个圆叫作_________，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作__________．等圆等弧

2．圆是轴对称图形，______________________都是圆的对称轴．任何一条直径所在直线

3．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

4．垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

5．什么是中心对称图形？

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心．ABOABCDO如图，∠AOB为⊙O

的圆心角．圆心角顶点在圆心的角叫作圆心角．BA

O判断下列各图中的角是不是圆心角．不是是不是是不是练习OOOOO剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？探究BOA把圆绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合．圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心．

把圆绕圆心旋转任意一个角度后，还能和原来的图形重合吗？思考AAAAA把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合．O圆的旋转对称性圆具有旋转不变性，它绕圆心旋转任意一个角度都能与它本身重合，即圆是旋转对称图形．

思考BAB′A′O

∵∠AOB＝∠A′OB′，

∴射线OB与OB′重合．又OA＝OA′，OB＝OB′，

∴点A

与A′重合，点B

与B′重合．

BAB′A′O在等圆中，如果∠AOB＝∠A′O′B′，你发现的相等关系是否依然成立？思考BAOB′A′O′

结合下面的动图，你能将你的发现归纳成一般结论吗？思考结合下面的动图，你能将你的发现归纳成一般结论吗？思考弧、弦、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

符号语言：∠AOB＝∠A′OB′＝

AB＝A′B′

BAB′A′O定理：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么圆心角所对的弧相等；圆心角所对的弦相等．把题设中“圆心角相等”与两个结论中的任意一个交换，得到两个新命题，你能验证这两个命题的真假吗？命题1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么弧所对的圆心角相等，弧所对的弦相等．命题2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么弦所对的圆心角相等，弦所对的优弧和劣弧分别相等．

经过旋转验证可得：∠AOB＝∠A′OB′，AB＝A′B′．命题1：在同圆或等圆中，如果弧相等，那么弧所对的圆心角相等，弧所对的弦相等．BAB′A′O命题2：在同圆或等圆中，如果弦相等，那么弦所对的圆心角相等，弦所对的优弧和劣弧分别相等．

BAB′A′O推论1

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．

符号语言：

∠AOB＝∠A′OB′

AB＝A′B′BAB′A′O

推论2

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．

符号语言：AB＝A′B′

BAB′A′O同圆或等圆中两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量有什么关系？思考其余各组量都相等．在同圆或等圆中，弧、弦和圆心角“知一推二”，即知道其中的一组相等，其余两组均相等．圆心角相等所对的弦相等所对的弧相等归纳

练习不相等．OABA′B′在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理及其推论解决问题时，一定要注意“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则结论不一定成立．

例1

如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°．求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．

∴AB＝AC．又∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形．

∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．∴△ABC是等腰三角形．∴AB＝BC＝CA．

证明：∵＝，

BACO在同圆或等圆中，当证明等弦、等角的问题时，除利用三角形全等及其他相关的性质外，一定要善于利用弧、弦、圆心角三者的相关定理来完成．

例2

如图，AB与DE是⊙O的两条直径，C是⊙O上一点，AC∥DE．求证：＝

．

∵OA＝OC，

∴∠AOD＝∠COE．

∴∠AOD＝∠OAC，∠COE＝∠OCA．

∴∠OAC＝∠OCA．证明：连接OC．∵AC∥DE，

BAECDO