实际问题与二次函数（第一课时）课件2026-2027学年人教版九年级上册数学

实际问题与二次函数（第1课时）人教版九年级上册数学

1．二次函数y＝2(x－3)2＋5

的对称轴是_____________，顶点坐标是__________．当x＝_____时，函数有最____值，是_______．

2．二次函数y＝－3(x＋4)2－1

的对称轴是___________，顶点坐标是__________．当x＝_____时，函数有最____值，是_______．

3．二次函数y＝2x2－8x＋9

的对称轴是_____________，顶点坐标是__________．当x＝_____时，函数有最____值，是_______．x＝3(3，5)3小5x＝－4(－4，－1)－4大－1x＝2(2，1)2小1

4．当自变量的取值是全体实数时，若

a＞0，当

x＝_________时，二次函数

y＝ax2＋bx＋c

有最______值________________；若

a＜0，当x＝______时，二次函数

y＝ax2＋bx＋c有最____值___________．

小大在实际问题中，自变量还能取全体实数吗？此时顶点处一定能取得最值吗？

例1

在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h＝－4.9t²＋2.8t＋11．运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位．)思考：①这个函数是什么函数？a

的正负对图象有什么影响？②题目要求“何时达到最高点、最大高度”，本质是求二次函数的什么？③思考：这里时间t可以取全体实数吗？为什么？

例1

在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h＝－4.9t²＋2.8t＋11．运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位．)

分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题．

例1

在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h＝－4.9t²＋2.8t＋11．运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位．)

解：∵a＝－4.9＜0，∴抛物线开口向下，顶点处函数取得最大值．对于二次函数

h＝－4.9t²＋2.8t＋11，当t＝

＝

≈0.3时，h有最大值

＝＝11.4．因此，运动员起跳后大约

0.3s

时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m．

例1

在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h＝－4.9t²＋2.8t＋11．运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位．)我们求出顶点横坐标t≈0.3，这个数值在自变量s实际取值范围内吗？此时顶点对应的最值就是实际问题的最大高度吗？结合图象想一想，这个函数完整图象是整条抛物线，但实际运动对应的图象是什么？

例1

在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h＝－4.9t²＋2.8t＋11．运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位．)实际情境下，函数图象只是抛物线的一部分；本题顶点落在自变量取值范围内，因此顶点处可以取得实际最大值．归纳利用二次函数解决实际最值问题：①建立函数解析式；②求出顶点坐标；③检验顶点横坐标是否落在自变量取值范围内，判断顶点处能否取得实际最值．

例1

在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h＝－4.9t²＋2.8t＋11．运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位．)函数

h＝－4.9t²＋2.8t＋11的图象直观地反映了运动员跳水过程重心高度的变化，由此你能描述运动员在竖直方向上的运动过程吗？

例1

在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h＝－4.9t²＋2.8t＋11．运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位．)运动员起跳后，重心先不断升高，大约0.3s到达最高点；随后重心开始下降，直至入水．

例1

在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h＝－4.9t²＋2.8t＋11．运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位．)完整抛物线是这个函数在全体实数范围内的图象，但运动员实际运动只对应其中一段曲线．由此可见，研究实际问题中的二次函数，一定要重视自变量的实际取值范围．

例2

如图，利用一面墙（墙的长度不限），用

20m长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？思考：①篱笆总长20m，有一面靠墙，篱笆只围几条边？②若设垂直于墙的边长为

x

m，则平行于墙的边长如何表示？③根据边长为正数这一实际条件，你能写出自变量

x的取值范围吗？④面积

S和

x是什么函数关系？要求面积最大，本质求什么？

分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为x

m，由矩形的面积公式可得函数解析式，于是菜园的面积最大问题转化为函数的最大值问题．

例2

如图，利用一面墙（墙的长度不限），用

20m长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？

解：设垂直于墙的边长为x

m．则平行于墙的边长为(20－2x)m．矩形菜园的面积

S＝x(20－2x)，即

S＝－2x²＋20x(0＜x＜10)．当x＝＝＝5时，S

有最大值

＝＝50．因此，当垂直于墙的边长为5m

时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m²．

例2

如图，利用一面墙（墙的长度不限），用

20m长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？我们求出顶点横坐标

x＝5，它在自变量范围0＜x＜10内吗？此时顶点可以取得最大值吗？变式思考：如果墙只有4m

长，平行于墙的边长不能超过4m．原来

x＝5时，平行墙边长20－2x＝10＞4，无法实现．想一想这种情况下，最值还能在顶点处取得吗？

例2

如图，利用一面墙（墙的长度不限），用

20m长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？归纳不论是运动高度最值，还是几何面积最值，解题思路一致：①分析数量关系，建立二次函数模型；②结合实际意义，确定自变量取值范围；③求出顶点坐标，检验顶点横坐标是否在取值范围内，由此判断能否在顶点处取得实际最值．

例

如图，利用一面墙（墙的长度为

8m），用

20m长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？思考：①若设垂直于墙的边长为

x

m，则平行于墙的边长怎么表示？②根据墙的最大可用长度为8m，结合边长大于0，写出自变量

x的取值范围．③写出面积的函数解析式，判断抛物线开口方向，并求出对称轴．④观察对称轴对应的自变量数值，是否落在我们求得的取值范围内？此时还能在顶点处取得最大值吗？这种情况下应当在哪里寻找函数最值？

例

如图，利用一面墙（墙的长度为

8m），用

20m长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？

解：设垂直于墙的边长为x

m．则平行于墙的边长为(20－2x)m．由题意列不等式组，得

解得

6≤x＜10．矩形菜园的面积

S＝x(20－2x)＝－2x²＋20x．∵a＝－2＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线

x＝5．∵x＝5不在取值范围6≤x＜10内，∴在区间6≤x＜10内，S随

x的增大而减小．

例

如图，利用一面墙（墙的长