【浙教】八上数学第3次月考卷13【第1-4章】

2024-2025学年八年级数学上学期第三次月考卷

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项:

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷

上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：浙教版八上第1-4章，其中三角形初步14.1%,特殊三角形26.7%,不等式27.5%,

坐标31.7%。

5.难度系数：0.65。

第一部分（选择题共30分）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知Q〈b,下列运用不等式基本性质变形不正确的是（）

A.a—3<b—3B.a+b+C.3a<3bD.—3a<—3b

2.若丁轴上的点。到x轴的距离为5,则点。为()

A.(5,0)B.(5,0)或(一5,0)C.(0,5)D.(0,5)或(0,-5)

3.如图，△40。和/\4"。'关于直线1对称，连接44',BB',CC',其中44'与直线/交于点。，点£>

为直线I上一点，且不与点。重合，连接4。、A'D.下列说法错误的是（）

A.LACB=乙A'C'BB.线段44',BB',CC'被直线，垂直平分

C.△4ZZ4'为等腰三角形D.线段AC、4C'所在直线的交点不一定在直线，上

4.如图，已知△ABC与aBOE全等，其中点。在边力8上，DE=ABtDE||AC,AC=10,AD=3,

贝！。E的长是（）

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A.7B.10C.13D.15

5.如图，在△ABC中，已知点。，E,尸分别为边BC,AD,CE的中点，且SA48c=32,则阴影部

分面积是（）

A.6B.4D.10

6.把不等式3%—/42久+3的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）

A.一101234'B.一101234”

-----1——।——।_i_।——।->-----1——।——।_1_।——।—>

C.-101234口.-101234

7.在平面直角坐标系中，将点做TH+/,几-2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长

度得到点4.若点4位于第二象限，则〃?，〃的取值范围分别是（）

A.m>l,n<—2B.m>l,n>—2

C.m<l,n<—2D.m<l,n>—2

8.用长为40m的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙,墙的长度AC=30m,要使靠墙的一边长

不小于25m,那么与墙垂直的一边长x（m）的取值范围为（）

一A

Ac

：

A.0<x<5B.x>—JC.0<x—JD.—Jx<5

9.如图，面积为3的等腰△48C,48=4C,点B、点C在不轴上，且8（1,0）、C（3,0）,规定把△48C

“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，aABC顶点4

的坐标为（）

A.(-2,-2018)B.(2,-2018)C.(2,—2019)D.(-2,-2019)

10.如图，等边△4BC中，40为BC边上的高，点〃、N分别在4C上，且4M=CN,连接

BM、BN,当BM+BN最小时，则/MBN=()

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A.15°B.30°C.45。D.6俨

第二部分(非选择题共90分)

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.等腰三角形两边长分别为5和4,则周长为.

12.如图，AC=AD,请你添加一个适当的条件,使得△ABCgAABD.

13.如图，一圆柱的高为/2cm,它的底面周长为/0cm,在圆柱下底面/处有一只蚂蚁，它想得

到上面8处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为.

14.三知关于工的不等式组仔；［；2：：4恰好有3个整数解，则根的取值范围.

15.等腰直角△ABC在平面直角坐标系中如图所示，AC=BC,^ACB=90°f4(0,2),C(l,0),则

点B的坐标为.

16.“书香文化节”是我校的四大节日之一，某年级甲、乙、丙三个班在“书香文化节”期间各自建立

了本班的图书角.建立之初这三个班的图书角的书籍总本数大于800且小于/060.第一周结

束后，三个图书角共补充了280本图书，此时三个图书角的书本数量之比为8：9：9;第二周

结束后，三个图书角又共补充了360本图书，此时三个图书角的书本数量之比为"：9：14.若

每个班的图书角的书籍总本书为正整数，则第二周结束后丙班图巾角拥有书籍木.

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三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步架。

17.(本题满分8分)解不等式.

(1)解不等式：2x>3-x；(2)解不等式：手一(》-/)</.

18.(本题满分8分)已知点A(-1,0)、B(3,0)、C(3,2).

(1)求证：BC_Lx轴；

(2)求4ABC的面积；

(3)若在y轴上有一点P,使SAABP=2SMBC，求点P的坐标.

19.(本题满分8分)如图，点B为线段OE的中点，点A为EF上一点，连接⑷5并延长至点C,使得

BC=连接DC.

(1)求证：C。〃即；

(2)若乙DFE=58°,DE平分乙CDF,求/E的度数.

20.(本题满分8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，△4BC的三个顶点的坐标分别是4(2,3),B(/,0),

C(/,2).

yjk

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(1)在图中作出△4BC关于y轴对称的4A/BJCJ；

(2)如果要使以&C,。为顶点的三角形与△ABC全等，直接写出所有符合条件的点。坐标(/点

除外)；

(3)在)，轴上有一动点P,使PA+PB的距离最小，直接写出。点的坐标.

21.(本题满分8分)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端

气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向点/行驶向点以已知点。为一海港,

(ACB=90。且点C与直线48上两点力、B的距离分别为300km和400km,以台风中心为圆心

周围250km以内为受影响区域.

(1)海港。会受台风影响吗？为什么？

(2)若台风的速度为20km/h,台风影响该海港持续的时间有多长？

22.(本题满分10分)某商店购进/,B两种商品共140件进行销售.已知采购/商品30件与B

商品40件共390元，采购/商品20件与8商品30件共280元.

(1)求48商品每件进价分别是多少元？

(2)若该商店出售43两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价

的7折售完所有剩余商品.其中以10元售出的商品件数比购进力种商品件数少20件，该商店此

次降价前后销售4B两种商品共获利不少于360元不多于480元，求有几种进货方案？

(3)在(2)的条件下，每卖出一件,4商品给希望工程捐。元，每卖出一件8商品捐1元，140件商品

全部售出，最大捐款为200元，请直接写出。的值.

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23.(本题满分10分)在平面直角坐标系中，点力在y轴的正半轴上，点B在第一象限，OB=AB,

(BOP=150°.

(1)如图①，求证：△048是等边三角形；

(2)如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以BM为边作等边三角形BMN,连接N4并延长交x轴

于点P,求证：AP=2A0；

(3)如图②，若BC上BO,BC=B。，点。为C0的中点，连接AC、DB交于点、E,请问/E、BE与CE

之间有何数量关系？证明你的结论.

24.(本题满分12分)我们学习了性质：“直角三角形中，如果有一个锐角为那么30。角所

对■的直角边等于斜边一半”；探究其逆命题：”在直角三角形中，如果有一个锐角所对的直角边

等于斜边一半，那么这个锐角为30。”是真命题吗？

已知：如图1,RtaABC中，ZC=90°,AB=2AC,。为AB的中点，E为BC上一点,且DE148.

BECBEC

图1图2图3

(1)求证：乙B=30。；

⑵如图2,在(1)的条件下，点F在ED的延长线上，连接8八AF,若BF=2DF,求证：AF//8C；

(3)如图3,在(1)的条件下，若点F在E0的延长线上，连接8尸、AF,作力F的垂直平分线交EC于

点G,垂足为从连接FG.已知EG=4,GC=6,若AC=!0力，求△BEF的面积.

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2024-2025学年八年级数学上学期第三次月考卷

(考试时间：120分钟试卷满分：120分)

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自三的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷

上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：浙教版八上第1-4章，其中三角形初步14.1%,特殊三角形26.7%,不等式27.5%,

坐标31.7%。

5.难度系数：0.65o

第一部分(选择题共30分)

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知下列运用不等式基本性质变形不正确的是()

A.a—3<b—3B.a+b+C.3a<3bD.-3a<—3b

【答案】D

【详解】解：A、由a<b,可得a-3〈b-3,原式变形正确，不符合题意；

B、由a<b,可得a+g〈b+；,原式变形止确，不符合题意；

C、由a<b,可得3av3b,原式变形正确，不符合题意；

D、田avb,可得一3a3b,原式变形错误，符合题意；故选：D.

2.若y轴上的点尸到x轴的距离为5,则点。为()

A.(5,0)B.(5,0)或(一5,0)C.(0,5)D.(0,5)或(0,-5)

【答案】D

【详解】解：・・・y轴上的点P到x轴的距离为5,

・・・当点P在y轴正半轴时,P(0,5)；当点P在y轴负半轴时，P(0,-5)；故选：D.

3.如图，△ABC和△48,。'关于直线，对称，连接A4',BB',CC\其中44,与直线I交于点。，点0

为直线，上一点，且不与点。重合，连接AD、AD.下列说法错误的是()

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A.LACB=LAC'B'B.线段44',BB',CC'被直线［垂直平分

C.△4D4’为等腰三角形D.线段4G4C'所在直线的交点不一定在直线th

【答案】D

【详解】解：A、・•・△ABC和△A'B'C'关于直线1对称，

ABC三△A'B'C',

ZACB=ZA'C'B',正确，不符合题意；

B、•・•△ABC和△A'B'C'关于直线1对称，

••・线段AA',BB',CC'被直线1垂直平分，正确，不符合题意；

C、•・•△ABC和△A'B'C'关于直线1对称，

・・,1是线段AA’的垂直平分线，

「.△ADA'为等腰三角形，正确，不符合题意；

D、ABC和△A'B'C'关于直线1对称，

••・线段AC、A'C'所在直线的交点一定在直线】上，原说法错误，符合题意.故选：D.

4.如图，已知△力BC与△BDE全等，其中点。在边AB上，DE=AB,DE||AC,AC=10,AD=3,

则OE的长是（）

A.7B.10C.13D.15

【答案】C

【详解】解：:DE||AC,

ZA=ZBDE,

•・•△ABC与4BDE全等，DE=AB,

AAC,BD是对应边，

・・・AC=BD=10,

VAD=3,

・・・AB=AD+BD=13,

，DE=AB=13.故选：C

5.如图，在△?!仄?中，已知点。，E,尸分别为边BC,ADtCE的中点，且S&48c=骁，则阴影部

分面积是（）

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A

A.6B.4

【答案】C

【详解】解：.•♦点D为BC中点,

SAABD=SAACD=IS△ABC，

・・,点E为AD中点，

S^CDE=ISaACD=；S△ABC'

•e•SABCE=S/XBDE+SMDE=§SA\BC，

・・,点F为EC中点，SAABC=32,

；•S/IBEF=；S^BCE=；x；•S^ABC=：xJx32=8.故选：C.

6.把不等式3x-/42%+3的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）

【答案】A

【详解】解：3x—1<2x+3,

3x-2x<3+1,

x<4.

在数轴上表示为：-101234故选：

7.在平面直角坐标系中，将点4（巾+/,n-2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长

度得到点4.若点4位于第二象限，则〃，，〃的取值范围分别是（）

A.m>l,n<—2B.m>l,n>—2

C.Hi<l,n<—2D.m<l,n>—2

【答案】D

【详解】解：,・,将点人行+1,1】-2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点A’,

A（m—l,n+2）,

・・・A'（m-l,n+2）在第二象限，

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m-1<0,n+2>0,

m<1,n>—2,故选：D.

8.用长为40m的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度AC=30m,要使靠墙的一边

长不小于25m,那么与墙垂直的一边长x(m)的取值范围为()

<--------------30m--------------->

A\|C

A.0<x<5B.x>yC.0<x<yD.y<x<5

【答案】D

【详解】根据题意和图形可得，25<40-3x<30

解得：y<X<5,故选：D

9.如图，面积为3的等腰△4BC,4B=AC,点8、点C在父轴上，且8(/,0)、C(3,0),规定把△4BC

“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，△ABC顶点人的

坐标为()

A.(-2,-2018)B.(2,-2018)C.(2,-20/9)D.(-2,-20/9)

【答案】A

【详解】解：:面积为3的等腰△ABC,AB=AC,B(l,0)、C(3,0),

・••点A到x轴的距离为3,横坐标为2,

AA(2,3),

・••第1次变换A的坐标为(-2,2)；

第2次变换A的坐标为Q,1)；

第3次变换A的坐标为(-2,0)；

第4次变换A的坐标为(2,-1)；

第5次变换A的坐标为(-2,・2)；

・••第2021次变换后的三角形在x轴下方，且第三象限,

・••点A的纵坐标为・2021+3=・2018,横坐标为-2,

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所以，连续经过2021次变换后，AABC顶点A的坐标为(・2,-2018).故选：A.

10.如图，等边△ABC中，40为"边上的高，点M、N分别在40、4。上，且4M=CN,连BM、BN,

当BM+BN最小时，则/MBN=()

A

A

A.15。B.30。C.45°D.6()°

【答案】B

H

笨

【详解】解：如图1中,作CHIBC,使得CH=BC,连接NH,BH.//A\!

D

图1

•••△ABC是等边三角形,AD1BC,CH1BC,

.・.ZDAC=ZDAB=30°,AD||CH,

•••ZHCN=ZCAD=△BAM=30。，

vAM=CN,AB=BC=CH,

.*.△ABM=ACHN,

・・•BM=HN,

vBN+HN>BH,

B,N,H共线时BM+BN=NH+BN的值最小，

A/\H

如图2中，当B,N

BDC

I?l2

••△ABMwCHN,

・・•4ABM=ZCHB=Z.CBH=45°,

ABD=60，

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・•・zDBM=15°,

・•・zMBN=45°-15°=30°,

••・当BM+BN的值最小时，ZMBN=30°,故选:B.

第二部分(非选择题共90分)

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.等腰三角形两边长分别为5和4,则周长为.

【答案】13或14

【详解】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、4,

能组成三角形，周长为：5+5+4=14,

②5是底边长时，三角形的三边分别为4、4、5,

能组成三角形，周长为：4+4+5=13,

综上所述，这个等腰三角形的周长是13或14.故答案为：13或14.

12.如图，AC=AD,请你添加一个适当的条件,使得△力BCgZkABD.

【答案】BC=BD(或NCAB=4DAB)

【详解】解：由题意知，AB=AB,AC=AD,

添加BC=BD时，△ABCwZ\ABD,故答案为：BC=BD.

13.如图，一圆柱的高为/2cm,它的底面周长为/0cm,在圆柱下底面4处有一只蚂蚁，它想得

到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为

【答案】13cm

【详解】解:如图，将圆柱的侧面沿过A点向上垂直剪开,

连接AB,则线段AB的长就是蚂蚁爬行的最短距离，B是DF的中点,

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•・•底面周长是10cm,

BD=5cm,

VAD=12cm,

・•・AB=VAD2+BD2=V52+122=13(cm)，

・••蚂蚁经过的最短距离为13cm；故答案为：13cm.

14.三知关于女的不等式组仔二；2：：4恰好有3个整数解，则7n的取值范围____________

【答案】-6<m<-5

【详解】解：。一1<2：,4①，

解不等式①，得x>3,

解不等式②，得x〈l-m,

・•.不等式组的解集是3Vx<1—m,

・.•关于x的不等式组恰好有3个整数解，

即整数解是4,5,6,

6<1—m<7,

解得-6£m<-5,故答案为：-6Wmv-5.

15.等腰直角△ABC在平面直角坐标系中如图所示,AC=BC,Z.ACB=90°,A(0,2),C(/,0),则

点8的坐标为.

【答案】(3,1)

【详解】解：如图，过点B作BD_Lx轴于点D,

VA(0,2),C(l,0),

AOA=2,OC=1,

x轴1y轴,BD_Lx轴，

:.ZAOC=ZCDB=90°，ZOAC+4OCA=90°,

第13页共23页

VzACB=90°,

AzDCB+zOCA=90°,

AzDCB=zOAC,

(ZAOC=zCDB=90°

在^AOC和aCDB中，zOAC=zDCB,

AC=CB

AAAOC^ACDB(AAS),

/.BD=OC=1,CD=OA=2,

.,.OD=OC+CD=3,

则点B的坐标为(3』)，故答案为：(3,1).

16.“书香文化节”是我校的四大节日之一，某年级甲、乙、丙三个班在“书香文化节''期间各自建立

了本班的图书角.建立之初这三个班的图书角的书籍总本数大于800且小于1000.第一周结束后,

三个图书角共补充了280本图书，此时三个图书角的书本数量之比为8：9：9;第二周结束后，三

个图书角又共补充了36。本图书，此时三个图书角的书本数量之比为//：9：14.若每个班的图书

角的书籍总本书为正整数，则第二周结束后丙班图书角拥有书籍本.

【答案】630

【详解】解：设第二周结束后丙班图书角拥有书籍14x本，第二周结束后甲班图书角拥有书籍llx

本，第二周结束后乙班图书角拥有书籍9x本，

・••第二周结束后三个班的图书角的书籍总数为14x+llx+9x=34x本，

山膈音俎f34x>800+280+360

出超息伶，(34x<1000+280+360'

解得42tvxv48M

•・・x为整数，

・・・x的值可以为43,44,45,46,47,48；

・・,第一周结束后，三个图书角的书本数量之比为8：9：9,

・・・第一周结束后三个班的图书角的书籍总数一定是8+9+9=26的倍数，

・・・34x-360是26的倍数，

・•・空拜=x-14+等是整数，

,613

・・・若是整数，即4x+2是13的倍数，

・・・满足题意的x的值只能是45,

・・・14x=630,

・・.第二周结束后丙班图书角拥有书籍630本，故答案为：630.

第14页共23页

三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步架。

17.(本题满分8分)解不等式

⑴解不等式：2x>3-x(2)解不等式：浮一(x-/)v/

【详解】(1)解：2x>3-x

移项得，2x+x>3,

合并同类项得3x>3,

系数化1得x>1：....................................................4分

(2)解："一(X-1)v1

去分母得，x-2-2(x-1)<2.

去括号得，x-2-2x+2<2,

移项得，x-2x<2-2+2,

合并同类项得，—xv2,

系数化1得，x>-2........................................................8分

18.(本题满分8分)已知点A(-1,0)、B(3,0)、C(3,2)

(1)求证：BC_Lx轴；

(2)求4ABC的面积；

(3)若在y轴上有一点P,使S.ABP=2S&ABC，求点P的坐标.

【详解】(1)证：TB(3,0),C(3,2),

・・・B、C的横坐标相同.

ABClxM........................................................2分

(2)解：VA(・1,0)、B(3,0)、C(3,2),

・・・AB=4,BC=2.

.,.SAABC=JABXBC=1X4X2=4........................................................5分

(3)解:VSAABP=2SAABC,

・・・OP=2BC=4.

：.P(0,4)或P(0,-4).......................................................8分

19.(本题满分8分)如图，点溜为线段DE的中点，点4为EF上一点，连接并延长至点C,使得

BC=AB,连接DC.

第15页共23页

DF

(1)求证：CD//EF；

(2)若乙DFE=58。,OE平分々COF,求4E的度数.

【详解】(1)解：证明：为线段DE的中点,

・•・BD=BE,

(BD=BE

•••在4ABE和4CBD中，ZABE=ZCBD,

(AB=CB

.*.△ABE三△CBD(SAS),

Z.E=Z.CDB,

/.CD||EF；..............................................................4分

(2)解：•・•DE平分zCDF,

・•・zCDB=zFDB,

•・•匕E=z_CDB,

Z.E=Z.FDB,

vZE+ZFDB+ZDFE=180°,zDFE=58°,

2zE=1221

:，Z.E=61°.8分

20.(本题满分8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点的坐标分别是4(2,3),8(/,0),

C(1,2).

(1)在图中作出关于y轴对称的△//8/C/：

第16页共23页

（2）如果要使以&C,。为顶点的三角形与△4BC全等，直接写出所有符合条件的点。坐标（/点

除外）.

（3）在），轴上有一动点尸，使P4+PB的距离最小，直接写出。点的坐标.

【详解】（1）解：如图；即为所求.2分

（2）解：如图：以B,C,D为顶点的三角形与△ABC全等时，点D的坐标为：（0,3）或（0,-1）

或(2,-1).5分

21.（本题满分8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端

气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向48由点4行驶向点8,已知点。为一海港，

乙4CB=90。且点C与直线4B上两点4、B的距离分别为300km和400km,以台风中心为圆心周围

250km以内为受影响区域.

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c

(1)海港c会受台风影响吗？为什么？

(2)若台风的速度为20km/h,台风影响该海港持续的时间有多长？

【详解】(1)解：如图所示，过点C作CDJ.AB于D点,，

VAC=300km,BC=400km,zACB=90°,

AAB=VAC2+BC2=500km,

V|ACBC=|AB-CD,

/.300x400=500CD,

ACD=240km,

•・•以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，

・・・海港C会受到台风影响；..........................4分

(2)解：由⑴得CD=240km,

如图所示，当EC=FC=250km时，即台风经过EF段时，正好影响到海港C,此时△ECF为等腰

VCD1AB,

:.EF=2DE,ED=VEC2-CD2=70km，

・・・EF=140km,

•・•台风的速度为20km/h,

.•.140+20=7h,

・・・台风影响该海港持续的时间有7h..........................................................8分

22.(本题满分10分)某商店购进力，3两种商品共140件进行销售.已知采购4商品30件与4

商品40件共390元，采购A商品20件与B商品30件共280元.

(1)求4,B商品每件进价分别是多少元？

⑵若该商店出售43两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价

的7折售完所有剩余商品.其中以10元售出的商品件数比购进4种商品件数少20件，该商店此

次降价前后销售48两种商品共获利不少于360元不多于480元，求有几种进货方案？

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(3)在(2)的条件下，每卖出一件/商品给希望工程捐。元，每卖出一件8商品捐1元，140件商

品全部售出，最大捐款为200元，请直接写出。的值.

【详解】(1)解：设A,B商品每件进价分别是x元，y元，

由题意得,膘:歆梵,

解喉]

答：A,B商品每件进价分别是5元，6元；............................3分

(2)解：设购进A商品m件，则购买B商品(140-mH%以10元售出的商品件数为(m-20)

件，

由题意得，360<10(m-20)+[140-(m-20)]x0.7x10-5m-6(140-m)<480,

整理得：36044m十804480,

解得70<m<100,

•・・m为正整数，

Am的值可以有100-70+1=31种，

・••有31种进货方窠；...........................6分

(3)解：设购进A商品t件，则购进B商品(140-1)件，捐款总额为W,

.\W=at+140-t=(a-l)t+140,

二•最大捐款为200元，

・••当a-1W0时，(a-l)t<0,则W=(a-1)1+140W140,不符合题意，

Aa-1>0,

・・・(a-l)t+140这个式子中，140是常数，(a—1)不变的情况下，t的值越大，W的值也就越大,

・••当t最大时，W最大，

/.100(a-1)+140=200,

解得a=1.6.............................................................10分

23.(本题满分10分)在平面直角坐标系中，点4在y轴的正半轴上，点8在第一象限，。8=力氏

乙BOP=150°.

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(1)如图①，求证：△04B是等边三角形；

(2)如图①，若点〃为y轴正半轴上一动点，以8M为边作等边三角形8MN,连接NA并延长交x轴

于点尸，求证：AP=2A0；

(3)如图②，若BCtBO,BC=B。，点。为C。的中点，连接4C、DB交于点E,请问/E、BE与CE

之间有何数量关系？证明你的结论.

【详解】(1)证明：vzBOP=150°,ZAOP=90°,

・•・zAOB=60°,

vOB=AB,

・••△OAB是等边三角形；...........................3分

(2)证明：由(1)知：AOAB是等边三角形，

•••△BMN是等边三角形，

BM=BN,ZMBN=6O°,

乙MBO=ZNBA=60°+ZABM,

vAB=OB,

・•・△MBONBA(SAS),......................................................4分

・•・乙OMB=ZANB,

vZ.AFM=Z.BFN,

・・・匕FAM=ZFBN=60°,

•••zOAP=ZFAM=60°,ZAOP=90°,

:.4APO=30°,

AP=2AO；..........................................................6分

(3)解：AE=BE+CE,证明如下：

如图2,在AC上截取AG=EC,连接BG,

・・・AG+EG=CE+EG,即AE=CG,

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•・•BC1BO,

・•.Z.OBC=90°,

・・・D为CO的中点，BC=BO

.・.BD平分ZOBC,即4CBD=NOBD=45。,

•••乙ABO=60°,

.•・4ABD=105°,ZABC=150°,

•••AB=OB=BC,

・•・zBAC=zBCA=15°,

・・・乙AEB=15。+45。=60°,

AB=CB

在AABE和ACBG中，zBAE=zBCG,

AE=CG

ABE^ACBG(SAS),

・•.BG=BE,

.*.△BEG为等边三角形，

・•,BE=EG,

・•.AE=AG+EG=CE+BE..........................................................10分

24.(本题满分12分)我们学习了性质：“直角三角形中，如果有一个锐角为3岁，那么3俨角所

对的直角边等于斜边一半”；探究其逆命题：”在直角三角形中，如果有一个锐角所对的直角边等于

斜边一半，那么这个锐角为30。