2024-2026年高考数学试题分类汇编平面向量（解析版）

平面向量

面向量

1.（2026.全国I卷.高考真题）已知平面向量a,不共线，M2«+yb=xa-3b,WJ（）

A.x=2,产-3B.x=-2,y=3C.x=2,>'=3D.x=-2,产-3

【答案】A

【分析】由平面向最基本定理可得.

【详解】由题意可知平面向量不共线，且22+防=坛-3万，

2.（2026・北京・高考真题）已知向量6满足卜-司=2,5=（2,0）,则的最大值为（•

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根据向量坐标模长公式计算结合绝对值不等式计算求解.

【详解】因为*4=2,且1（2,0）,则同=2,

所以b=4一（〃-6）<|«+a-b=2+2=4,

所以当B反向时，W取最大值为4.

3.（2026•全国0卷•高考真题）已知忆+同=1,卜―则75=（）

【答案】D

【详解】由,+同=1,得卜+年=1,

所以（"5）2=1,即日2无5+户=1：

由人一可=6,得卜一5『=3,

所以他—盯=3,即"_2〃石+户=3.

两式相减,得4。石=-2,

_1

所以ab=--.

2

__l_flanii

4.（2025・北京・高考真题）在平面直角坐标系xQy中，|OA|=|OB|=&,|48|=2.设C（3,4）,则|2C4+/W|

的取值范围是（）

A.[6,14]B.[6,12]C.18,141D.[8,12]

【答案】D

【分析】先根据丽=丽-西，求出（函，函，进而可以用向量场，而表示出2K+而，即可解出.

【详解】因为|04|=|。臼=应，1451=2,

■7T

由湿=丽-双平方可得，OAOB=O,所以〈OAOB〉=].

22

2CA+AB=2（OA-OC）+OB-OA=OA+OB-2OCt|oc|=734-4=5,

所以，|2C4+A«|2=OA+OB+4OC2-4[OA+OByOC

=24-24-4X25-4（<M+O^）OC=104-4（OA+OB）OC,

又\OA+OliyO（^<\OA+O^OC^=5x42+2=\0,gp-10<（044-05）-00<1（）,

所以|2C4+同屋[64,144],即12场+同e[8/2],

故选：D.

5.（2025・上海・高考真题）已知数列｛4｝、他｝、｛%｝的通项公式分别为%=10〃-9,2=2"、，

。“=而”+（1-团勿.若对任意的4式。』，。八/、c”的值均能构成三角形，则满足条件的正整数〃有（）

A.4个B.3个C.1个D.无数个

【答案】B

【分析】由％h/%+（l一㈤勿可知7范围，再由三角形三边关系可得勺也,c,r的不等关系，结合函数零点解

2

不等式可得.

【详解】由题意凡也£>0,不妨设4),8(〃也)05,q),

三点均在第一象限内，由%=M+(1T地“可知，BC=2BA,2G[0,1],

故点。恒在线段A8上，则有min{a“也}Vc〃Wmax{%，2}va,+2.

即对任意的4405，%<。”+久恒成立，

令10工-9=21构造函数/(x)=2'-10%+9,x>(),

则r(x)=2"In2-10,由:单调递增,

又『⑶<0/(4)>0,存在%w(3,4),使八%)=0,

即当0<x</时，八幻<0,“X)单调递减：

当%>与时，/'(x)>0,单调递增；

故f(x)至多2个零点，

又由八1)>。J(2)<0,/(5)<0,/(6)>0,

可知/。)存在2个零点，不妨设知为在V/)，且%e。,2),巧w(5,6).

①若。“工〃，即)0〃一942”时,此时〃=1或〃26.

则%20々,可知勾十c”>a“成立，

要使％、4、％的值均能构成三用形，

所以4+%>久恒成立，故a<2%,

所以有1120/1y-9le<2…H，解得〃m

②若见池,即10〃-9N2"时,此时〃=2,3,4,5.

则%Nq,之为,可知%+%>"成立，

要使勺、2、％的值均能构成三角形,

所以恒成立，故％<2%,

10H-9>2,,

所以市解得〃=4或5；

10〃一9<2向

3

综上可知，正整数”的个数有3个.

故选：B.

6.（2025・全国I卷・高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测;的结果在航

海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行

风风速对•应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对

应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速时应的向量如图2所示：线段长度代

表速度人小，单位：m/s）,则该时刻的其风为（）

级数名称风速大小（单位：m/s）

2轻风1.6~3.3

3微风3.4~5.4

4和风5.5〜7.9

5劲风8.0-10.7

A.轻风B.微风C.和风D.劲风

【答案】A

【分析】结合题目条件和图2写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量,

得出真风风速的大小，即可由图1得出结论.

【详解】由题意及图得，

视风风速对应的向量为：«=（0,2）-（3,3）=（-3,-1）,

视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，

船速方向和船行风速的向量方向反，

设真风风速对应的向量为I，船行风速对应的向量为式，

n=~ny+n^,船行风速：&=-［（3,3）-（2,0）］=（-1,-3）,

4

；・%="-%=(—3,—1)—(—1,-3)=(—2,2),

同=5/(-2)2+22=2必2.828,

・•・由表得，真风风速为轻风，

故选：A.

7.(2024・北京・高考真题)设［B是向量，则“伍+即万-万)=0”是"2=/或£=用的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条，牛

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向量数量积分析可知(。+4(万-5)=0等价于同=同，结合充分、必要条件分析判断.

【详解】因为k+。)(力)=#-分=0,可得解=广,即同咽,

可知Ri町(乙/；)=()等价于同=|同，

若或2=多，可得同=W，即伍+孙①」)=0,可知必要性成立;

若他+孙,—5)=0,即同=W，无法得出2=万或1-万，

例如方=(1,0)3=(0,1),满足同=|司，但2.五且2工-人可知充分性不成立；

综上所述，%+孙(注5)=0”是"U或2=加，，的必要不充分条件.

故选：B.

8.(2024•全国甲卷•高考真题)设向量G=(x+1,中石=(工,2),则()

A.“x=-3”是“Z_L尸的必要条件B."x=1+G”是我£/4”的必要条件

C.“x=0”是“打非的充分条件D.“x=-l+6”是“房力”的充分条件

【答案】C

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A,当Z蟹时,则力=0，

所以x・(x+l)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，«=(i,0)^=(0,2),故2力=0，

所以)_LB，即充分性成立，故C正确；

对B,当Z//B时，则2*+1)=/，解得x=l±G，即必要性不成立，故B错误；

5

对D,当x=-l+6时，不满足4x+l）=V,所以2〃万不成立，即允分性不立，故D错误.

故选：C.

9.（2024.新课标n卷.高考真题）已知向量词满足同=中+2q=2,且e-2山石,则忖=（）

A.；B.—C.—D.1

222

【答案】B

【分析】由（6-24_1_/）得y=2"，结合忖=中+2+2,得1+4力+芯=1+6片=4，由此即可得解.

【详解】因为伍—22）J_5,所以®-24石=0,即尸=2£齿，

又因为忖=1,11+24=2,

所以1+4〃♦5+4b=1+6b=4，

故选:B.

10.（2024.新课标I卷高考真题）已知向量0=（（）/）石=（2,幻，若［"L（bf），则』=（）

A.-2B.-1C.ID.2

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求大的值.

【详解】因为必伍一甸,所以"，一甸=0,

所以归2_4々石=0即4+丁-4x=0,故x=2,

故选：D.

2

11.（2025•全国n卷高考真题）1多选）双曲线C:J-Zv=l（a>0/>0）的左、右焦点分别为T6，左、

a-lr

右顶点分别为A，4,以匕鸟为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点，且NN%M=注,则（）

6

A.必加4=看B.|M4j=2|M4j

C.C的离心率为J万D.当”=及时，四边形人气用人的面积为8囱

【答案】ACD

【分析】由平行四边形的性质判断A；由£M_L6例且|MO|=c•结合M在渐近线上可求M的坐标，从而可

判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断：由中线向量结合B的结果可得M=13〃，计

6

算后可判断C的正误，或者利用需=治=有并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面

积后可判断D的正误.

【详解】不妨设渐近线为y=M在第一象限，N在第三象限,

对于A,由双曲线的对称性可得人附&N为平行四边形，故4"=兀_乎=?,

o6

故A正确:

对于B,方法一：因为“在以「外为直径的圆上，故且|MO|=c,

故事"：，故

设历（天，）’0），则

1%=力

由A得幺鹏.,故|叫|=|防止乎即|小|二乎|叫|,故B错误;

方法二：因为tan/MO&=，，区为双曲线中，c2=a2+h2,

McosZMO^=-,又因为以£工为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N,则QW=c,

C

则若过点M往x轴作垂线，垂足为〃，则|0"|=「?=。=|0阕，则点”与4（〃）重合，则轴，则

|M4|=Jc-2=〃,则△A”“为直角三角形，且/AM”.，则21Ml二例附，

7

方法二：在AOMA?利用余弦定埋知，|M4j=QM'+QAJ-2|。叼]。闺85/M。4,

即42r=c2+a2_2ac/=〃2,则|M41=〃，

则AA4M为直角三角形，且/AM4=g,则2|也Ab&lMAj,故B错误；

6

对于C,方法一：因为M0=g(M<+M<),故4A拓匕网\2配不瓯+碉'，

由B可知|M4|=4|MA|=孚人

^4c2=h2+-b2+2xbx^-hx^=^-b2=-(c2-a2]^c2=\3a2,

33233、)

故离心率”二后，故C正确；

方法二：因为搦=5=6,则，=26，则凳=^^=/+(2面=屈,故C正确；

对于D,当〃=\/2时，由C可知e=y/13»故c=>/26,

故/>=2",故四边形NAM4为2s=2x1x276x2^=8^3,

故D正确，

故选：ACD.

12.(2026・天津・高考真题)己知同=1/；=1,忖>1,记稣M+川.当4+6—[=0时，冗+〃=,

当卜+万一目=1时，义+〃的取值范围为.

【答案】2[1,3]

【分析】第一空：利用[=%：+$和3+5-2=6得出4和〃的值，即可得出结论；

第二空：解法一：将代入归+B—目=1得|(1一22+(1-〃)可=1,展开,令x=i-4,y=i-〃，

s=x+y,代入并整理，得出-=1—(尸一1)),24],即可求出义+〃的取值范围.

解法二：设£=(l,o),B=(l/)，f=0,根据忸+5—目=1可设、=(2+cosa/+sine),进而可得义+〃=2+cos。,

即可得取值范围.

__/、ILUU___UUU1I

解法三：不妨设。=。4=(1,0),,1工0,c=OCOQ=a+/=(2,i),可知点C在直线工二加

上，且点C在以。(2,。为圆心，半径为1的圆上，结合图形分析求解即可.

【详解】由题意,

8

同二66=1,c=2a+〃b，

第一空：

当2+五一2=0时'c=a+b=Aa+/ib,

/.2=//=1,

:.I+〃=2.

第二空：

解法一：将m=筋+〃方代入卜+万一目=1得|(K”+(1-〃)石卜1,

两边平方，得：[(1-抉+(1-〃间2=1,

展开：(1-A)21a|2+2(1-2)(1-x/)5-5+(1-X/)21I2=b

代入I益1=1,ab=l,记⑸=f>L

(l-2)2+2(l-2)(1—")+/(I-4)2=i,

令K,y=i-〃，s=x+y,

则原式变为：x2+2xy'+t2y2=\,

配方得：x2+2xy+r2y2=(x+y)2+(r-l)y2=52+(r2-l)y2=1,

由于r2>1,(r2-l)y2>0,因此52=l-(r2-1)/<1,

即Is区1,解得sw[T,l],

2+//=2-5G[2-1,2-(-1)]=[1,3],

因此，2+〃的取值范围为：口，为

解法二：因为同=斤d=1,w>i,

不妨设。=(1,0),^=(1,/))/*0,贝lj』+/)=(2,r),Z=熊+〃》=(%+〃,〃/),

若|。+5-目=1,设c=(2+cosaz+sin°),

则2+//=2+cos^e[l,3].

解法三：因为同=小6=1,忖>1,

一___/、1UUU

不妨设。=。4=(1,0)，b=OB=(\j),1工0,即点3在直线x=l上，

__LILK111

且c=OC»OD=t/+/?=(2,/),

9

rr।

因为c=/la+〃/?=(4+，

若儿+〃=〃?,可知点C在直线x=，〃上，（或直接由三点共线的结论可得出），

若卜+弓一+1，即|可=1，可知点C在以。（2"）为圆心，半径为1的圆上，

则圆。在直线八-1和人-3之间，可得1W〃[43,即4+〃«l,3],

所以4+4的取值范围为[1,3].

13.（2024•上海・高考真题）已知ktRm=（2,5）石二（6㈤，且G〃5,则:的值为______.

【答案】15

【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.

【详解】，22=5X6,解得4=15.

故答案为：15.

14.（2026・上海・高考真题）在VA4c中，D、E在边8c上，且8万=。直=方，|而|=I,R5与所成

的夹角为]，则福.祝的最大值为.

【分析】先利用/与荏表示A队AC，再将福•/转化为应与通的计算，进而求解.

【详解】•.•通=而+瓦=而+历=而+丽+而=2标一通

A^=^D+7）C=AD+27）E=AD+2^DA+AE）=-AD+2AE

10

：.ABAC={2AD-•(-AD+2=-21AD|3+5AD-AE-2|A£|2

V|AD|=1,A万与通所成的夹角为3

/.AB-AC=-2+^\A^-2\AE\2

令阀=f>0,则福二一2产+/一2二一20一|）-1|,r>o

当隧|=2时，丽•前的最大值为-券

11X32

39

故答案为：

15.（2026・上海•高考真题）已知1=（儿3）,6=（4,6）,若［〃九则］=.

【答案】2

【分析】由向量平行的坐标表示计算即可.

【详解】因为3〃万，所以xx6—4x3=0,即6x-12=0,解得上=2.

故答案为：2.

16.（2025・天津・高考真题）V48C中，。为A8边中点，CE=^CD,AB=a,AC=b,则荏=（用1,

〃表示），若|瓶|=5,AEVCB,则屈.。方=

【答案】'1一+/2-；-15

63

【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.

【详解】如图，

II1O

因为在=一。力，所以人后一衣=一（八方一人6），所以A£=-A/5+-AC.

3333

一I—9-1-2-

因为。为线段A3的中点，所以力E=+=+

0303

又因为|猬=5,AE_LC8所以荏2J■62+2万.5+士户=25,

1.63J3699

II

______(|2-

AECB=\-d+-b（"6）=1片+%方一；户=0,所以丁+3£4=5

(63

所以。+4。♦B=180，

所以4£.0万=(!I4+225).(_6+!13]=-!-42+_1小5_252=《（齐+2万方-8户）

(<663Jv2J1263

22

=5(@2+2ab-2a-6ci=^^-a-4db^=-15.

故答案为：-«+—^；—15.

63

1,A>0

17.（2025・上海・高考真题）已知/（幻=〈0,x=o,&、6、^是平面内三个不同的单位向量.若

-1x<0

f(ab)+f(bc)+f(ca)=0,则m+B+训的取值范围是

【答案】。，历

【分析】利用分段函数值分类讨论，可得{/（2用/电2），/（3£）}={-1,0,1},再根据数量积关系设出>£2

坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.

【详解】若/（£/）=/仅y=/伍£）=。，则==

又三个向量均为平面内的单位向量，故向量2,穴3两两垂直，显然不成立;

故{f(Z.可，年•碘={-L0,l}.

f(a-b)=\

不妨设{/(51)=0，则76>o62=oE£<o,

f(ca)=-\

不妨设3=(1,0),"=(0,1),a=(cos^,sin0),0e[0,2n),

ah=cos8>0,则九2”),

则

ca=sin<0

则k+B+c|=|(l+cosa1+sin6)|=J(l+cos®)2+(l+sine)?_，3+2cose+2sine

=j3+2&sin(6+马,

\4

由加仁冗,2/，"四71J47,工9

UJ444,4)

则sin（Y）c[2司,2也sin(。।：)«2,2)

12

故旧+万+£卜（1,8.

故答案为：（1,若）.

18.（2025•全国U卷高考真题）已知平面向量4=（乂1）出=。-1,2幻,若M_L（］-5）,则|则=

【答案】V2

【分析】根据向量坐标化运算得Z-B=（11-2X）,再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.

【详解】a-h=（i,i-2x）,因为ai（Z-B）,则〃♦（2-可=0,

则X+1-2x=0,解得x=l.

则”=（1,1）,则|町=&.

故答案为：石.

19.（2025•上海・高考真题）在平面中，1和耳是互相垂直的单位向量，向量”满足,44=2,向量方满

足归-6司=1,求5在〃方向上的数量投影的最大值.

【答案】4

【分析】设次=7而=5,根据题意，求得A4所在圆的圆心前半径：再根据数量投影的意义，数形结合

即可求得结果.

【详解】根据题意不妨设1=（1,0）,1=（0,1），。=（若］，5=（列，?），

则@_4q=（x-4,y）,Z?-6<?2=（/??,z»-6）,

由1一4不=2可得（工_4'+），2=4,由竹-6司=］可得+（〃-6）2=I；

设赤=口丽=人故A在以G（4,0）为圆心，2为半径的圆上；

“在以G（0,6）为圆心，1为半径的圆上；

过8作8O_LOA于。，则OD即为/；在值上的数量投影，如下所示：

13

因为A4分别为两圆上任意动点，不妨固定B,则0B为定长，

设25=夕，即NAOA=e,故|oq=|o郎cos〃，

因为此时|。区为定长，且e=N/UMvl80。，

故随着。的减小，cos。增大，直至恰好与圆C1相切时，|O4取得最大值，如下所示:

在。A与圆C1相切的基础上，移谈点过G作。2七_1。4于八故|OQ|=|OE|+|即;

在么CJO中，ZC,40=90°,C「A=2,OG=4,

故乙40G=30。,工6花=60。,因为|。勾=6,

故在直角三角形GOE中，QG|二2|OE|,则OE=3,即|。胃二|。目+|叫=3+|明；

14

在四边形6OEG中，因为,故。同06Gl=1，

当且仅当3c2〃OE时等号成立，从而|8|=3+|即工3+1=4.

综上所述：5在不方向上的数量投影的最大值为4.

故答案为：4.

【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点A4,采用

一定一动的处理策略，从而求解最大值.

20.(2025・上海・高考真题)已知力=(2,1)4=(1,幻，若&〃6,则X=.

【答案】1/0.5

【分析】由平面向量共线的坐标表示即可求解.

【详解】由。〃/；得2x7=0,解得x=：.

故答案为：.

21.(2024・天津・高考真题)已知正方形A8CO的边长为1,DE=2EC^BE=ABA+^BCf其中4〃为实

数，则％+〃=;设/是线段跳:上的动点，G为线段从'的中点，则行.力存的最小值为.

45

【答案】?F

(-------,iltiuUU1UUtlUUII

(分析］解法一：以｛BA.BC\为基底向晟，根据向晟的线性运算求证，即可得义+〃，设BF=kBE，求AF,DG，

结合数量积的运算律求衣•云的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求朝，即可得义+〃，

/、r।1inMiuum

设F(a,-3a),ae--,0,求AfDG，结合数量积的坐标运算求而•力G的最小值.

I____\一UUTuunULT1uirmu

【详解】解法一：因为CE=-DE,即=则8E=8C+C£=±8A+8C,

233

■4

可得Z=3〃=l,所以2+〃=§;

由题意可知：|配|=|函|=1，函.前=0,

15

因为尸为线段上的动点，设斯=k超=）k碗+k阮,kw[0,1],

则A户=46+8月=48+女8笈=^k-\^BA^kBCf

则0C=0/i+AC=-8C+gA/;；=g(；k-l)B/+[gk-l)BC;,

又因为G为■中点

可得AF-DG=

又因为正[0』，可知：当左=1时，衣.诙取到最小值二；

18

解法二：以8为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示,

则A(T,0),3(0,0),C(0,1),0(—1』),£

可得6A=(-1,0),63=(01),6左二一；,1),

因为丽=以丽+〃而=(-%〃)，则｛-="3,所以2+〃=：；

〃=1

因为点尸在线段BE:y=-3x,xw-^,0上，设F(a,-3a),ae-^,0

且G为,中点，则

a+\

可得A户=(a+l,-3o),0G=

则犷诙=""一3〃）（一•|。-1）=5,+54，

且“J-；,。],所以当4=-：时，犷历取到最小值为-白；

.3」3lo

45

故答案为：—:.

31X

22.（2026・全国I卷•高考真题）已知在V4BC中，八3=3,BC=2»，cos«=—.

3

16

(1)求cosA；

(2)设。，E两点满足：。在班的延长线上，DEHBC,AE±AC.若。E="，求CE.

【答案】⑴：

Q)3后

【分析】(1)由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边AC,再用余弦定理求cosA；

(2)建立坐标系，设出点£>坐标，由平行关系得点E的坐标，利用垂直条件求参数，由。£长皮解出/,

再计算CE.

【详解】⑴在VA3C中，AB=3,BC=2g,cosB=—.

3

由余弦定理可知AC?=A82+8C2-2A8BCCOS8=9+12-2X3X26X^=9,

3

AB2+AC2-BC29+9-12=6二1

故AC=3.再由余弦定理得cosA=

2-ABAC-2x3x3-18-3,

(2)以A为原点，A8为x轴止方向建立平面直角坐标系如图:

则A(0,0),3(3,0),由AC=3,8sA=g得。(1,2啦).

。在班延长线上，设AO=f>0,则£>(T,0),=(-2,2VI),DEi/nc,

设诙:2(-2,20),贝I]E(-t-22,2722).

由AELAC,得花.髭=0，(-r-22)x1+(2\/22jx2\/2=0=>-r+6/l=0=>2=^.

于是。石=囚.园=(x2G=冬.

已知。七=6，则®1=娓=1=3立,则2=也.

32

代人得网-4&,2),而C(l,2。，

故CE=)(1+4夜)2+(2&-2)2=433+8扬+(12-8扬=啊=3亚,

22

23.(2025・天津・高考真题)己知椭圆*•+方=1(心方>())的左焦点为凡右顶点为A,户为工=。上一点,

且直线尸尸的斜率为g,△刊为的面积为T，离心率为g.

(1)求椭圆的方程;

17

（2）过点夕的直线与椭圆有唯一交点“（异于点八），求证：PF平分ZAFB.

【答案】⑴二+£=i

43

（2）证明见解析

【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离•心率得到。=2c,再由直线的斜率得到〃?=c,从而利用三角形

的面积公式得到关于。的方程，解之即可得解;

（2）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得攵，进而得到直线/方的方程与点8的坐标，法一：利用向

最的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法

四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证.

【详解】（1）依题意，设椭圆二+E=im>〃>o）的半焦距为0，

b

cI

则左焦点厂（—c，。），右顶点AQO）,离心率e=士=7,即。=勿，

a2

因为尸为X二"上一点，设

又直线夕尸的斜率为:，则上2=；，即/一二:，

所以=!，解得〃i=c,则户3c）,即P（2"）,

2c+c3

3

因为的面积为彳，\AF\=a-（-c}=a^c=3c,高为|/〃|=c,

113

所以S.PFA=31A尸|同=3X3c、Xc=3,解得c=1,

/44

则”=2c=2,h2=a2-c2=3»

(2)由(1)可知P(2,l),F(-1,O),4(2,0),

易知直线总的斜率存在,设其方程为y="+m,则1=2八〃?，即〃?=1-23

y=kx+m

联立2,消去），得，（3+4/）/+肪我+4〃--12=0,

—+—=1

43

因为直线与椭圆有唯一交点，所以△=（8八〃。2-4（3+4公）.（4〃72-12）=0,

即4公一"『+3=0，贝IJ4二一（1一2出）2+3=0,解得女=-3,则〃!=2,

18

所以直线心的方程为y=--X4-2,

1°

>'=--x+2U,则呜),

联立〈22，解得，

f2

43

以下分别用四种方法证明结论:

法一:则历二(2，T),方=(3,1),雨二(3,0),

FAFP3x3+lx()3VR)

cosZ.PFA=

网•网-3行了一10

则cosNBFP=cosZPFA,又ZBFP,ZPFAe(0.-),

2

所以NBFP=NPE4,即尸产平分乙4所.

3

法二：所以k,2~°_3,2“=10

^-1-(-1)-42-(-1)3

由两直线夹角公式，得lan/BFQ=(anZ.PFA=0=1

1+03

则lan/BFP=tanNPEA,又NBFPZPFAe(0,-),

2

所以NBFPuNQEA,即尸产平分乙4F3.

13

法三：贝Ijtan/PE4=^F=-,tanzlBFA=k.=-,

3B4

2x-3

故lan2ZPFA=?tan/PEA

—=—=tanZ.BFA

或l-tan2ZPE44

又/BFP,NPFAJO,N),

2

所以NBFP=NPFA,即P〃平分乙”7^.

法四：则后,2~°-3,

“1-(-1)4

所以直线M的方程为y=：(x+l),即3x—4y+3=。,

19

|3x2-4xl+3|

则点P到直线FB的距离为d=由2+(_4y.=，

又点P到直线E4的距离也为1,

所以PF平分入”B.

22

24.(2025・上海・高考真题)已知椭圆±=(m>0),A是「的右顶点.

a-5

(1)若「的焦点(2,0),求离心率e；

(2)若。=4,且「上存在一点P,满足Q=2而，求如

(3)已知AM的中垂线/的斜率为2,/与「交于C、。两点，NC"。为钝角，求〃的取值范围.

2

【答案】(1)：

⑵所

(3)lV5,Vn)

【分析】(1)由方程可得〃=5,再由焦点坐标得C,从而求出〃得离心率；

(2)设点。坐标，由向量关系府=2而坐标化可解得尸坐标，代入椭圆方程可得，〃；

(3)根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线/方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不

等式就再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得。范围.

【详解】(1)由题意知,则〃2=5,

由右焦点(2，。)，可知c=2,则〃=j5+c，=3,

c2

故离心率e=-=7；.

a3

(2)由题意A(4,0),M(0,m](m>0),P(xp,yp)

由4户=2PM.得,

解得吗苧，代入村”

m=\/w.

20

（3）由线段4W的中垂线/的斜空为2,所以直线AM的斜率为-

则？子T解得

由由a,0）,M（0巧）得AM中点坐标为佼亍）,

故直线/：y=2x-3=a,显然直线/过椭圆内点3碎”,0）,

48

故直线与椭圆恒有两不同交点,

设C（3,y）,。（彳2，%），

v=2r——aQ

由-4消>得（4/+5口2一3/1+一/-5/=0,

5炉+心2=5/16

2。，

由韦达定理得，+x_3/_而"一"，

、十-一^7?入玉—4/+5

因为匕CMD为钝角，则MC-MD<0»且M（0,y）,

则有+（y-3）（%一不）<o，

「…（5a}.5/、252八

Jyf以%超+2%----2%2------=5%1%2—。（11+%-----a<0,

<44j216

即5~a4-5a2\-^-x3a3+^cr（4cr+5）<0,解得/<]],

116J2Io''

乂a>石,

故石<〃<布，即〃的取值范围是（技而）.

25.（2024.新课标n卷•高考真题）已知双曲线。：9一），2=〃?（，〃>0）,点4（5,4）在。上，k为常数,

0<k<l.按照如下方式依次构造点匕5=2,3,...）：过匕T作斜率为攵的直线与C的左支交于点©T，令工为

Q,z关于y轴的对称点，记匕的坐标为（4,”）.

（1）若攵=—,求工2,〉2；

乙

（2）证明：数列次“-”｝是公比为苦的等比数列：

1~~K

21

（3）没5”为乙M+2的面积,证明：对仕怠正整数〃，Sn=Sn+i,

【答案】（1）工2=3,%=。

（2）证明如下:

方法一：由于过？（天，”）且斜率为4的直线为）=可工-人）+然，与W—丁=9联立，得到方程

--伙（犬-z）+月『=9

展开即得（1-公卜2_24（％_您）］_（y“-K）2_9=0,由于。（心”）已经是直线产k（XF）+券和

/-V=9的公共点，故方程必有一根工=工

2可得-5）

从而根据韦达定理，另一根x,相应的

1一炉1一公

y=Wf)+券=

1K

2k、“一x「k'“册十小、,；2、

所以该直线与C的不同于P,,的交点为Q.,而注意到。”的横且标亦可通过

1-公\-k2

—（y-kx）—9

韦达定理表示为—,故。〃一定在C的左支上.

（1*）瑞

x,,+公七一2纵”+公然-25、

所以电

\-k2\-k2

这就得到加=土士鲁丹,

1—K1-K

L+4"2AxE,+A：v”-2米”

所以玉+「­=

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_4+k'x”+2您”+公尤+2如_1+如+22/、\+k

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