二元一次方程组-常考应用题-八大题型

一元一次方程组【常考应用题】8大题型汇总

典型例题详解

一、和差倍数问题

知识梳理：

和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各

是多少。

典型例题：

甲、乙两人分别以不变的速度打字，2分钟共打了240个字已知甲每分钟比乙多打10个

字。问甲、己两人每分钟各打多少个？

解：设甲每分钟打x个字，乙每分钟打y个字。根据题意可列方程组为

，2(x+y)=240①，由①得x+y=120③，②+③得2x=130,解得x=65,

x-y=10②

将x=65代入②得：y=55o

答：甲每分钟打65个字，乙每分钟打55个字

思路点拨：

由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等最关系式2(x+y)=240,再由甲每分

钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10,组成方程组求解即可。

变式拓展：

两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍

少4()人，求参加义务劳动的学生共有多少人？

解：设甲组学生有x人，乙组学生有y人。由题意可列方程组为

*

x=3y①，①X3得3x-9y=0,③，②■③得8y=40，解得：y=5

3x・y=40②

将尸5代入①得：X=15,则甲乙两组共有15+5=20人

答：参加义务劳动的学生共有20人

思路点拨：

由甲组学生人数是乙组的3倍可以得到第一个等量关系式x=3y,由乙组的学生人数比甲

组的3倍少40人可以得到第二个等量关系式3x-y=40,组成方程组求解即可。

二、产品配套问题

典型例题；

某车间有22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个，螺母2000个，一

个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品正好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多

少名工人生产螺母？

解：设分配X名工人生产螺钉，y名工人生产螺母。由题意可列方程组为

x+y=22①，由②得6x=5y③，由①得x=22-y,代入③得6(22-y)=5y,

■

2xl200x=2000y②

B

整理得Uy=132,解得y=12,贝！Jx=22・12=10。

答：应该分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。

思路点拨：

本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关

系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍(注意：别把

2倍的关系写反)。

变式拓展：

每年的3月12日是植树节，某小学组织了170名学生去参加义务植树活动。如果每个男

生平均每天挖3个树坑，每个女生平均每天种7棵树，正好使每个树

坑种上一棵树。那么男生和女生各有多少人？

解：设男生有X人，女生有y人。由题意可列方程组为

,x+y=170①，由①得x=170-y,代入②得3(170-y)=7y,整理得10y=510,

,3x=7y②

解得y=51,则x=170・51=U9

答：男生有119人，女生有51人

思路点拨：

根据共有170名学生可得出第一个等量关系x+y=170,根据每个树坑对应一根树可得第

二个等量关系3x=7y,组成方程组求解即可。

三、工作量问题

知识梳理：

我们在解决工程问题时通常把工作总量看成1；

工作量=工作效率X工作时间；

总工作量二每个个体工作量之和；

工作效率=工作量+工作时间(即单位时间的工作量)；

工作效率=1+完成工作的总时间。

典型例题:

现要整理一批文件，由1个人完成需要40个小时，计划由一部分人先做4小时，再增加

2人和他们一起再做8小时，完成这项任务，假设这些人的工作效率都相同，则应先安排多

少人工作？

解：设总工作量为1,应先安排x人工作。则每个人的工作效率为白，由题意可列方程为

4x./8(x+2)f=l，整理得冷|，解得x=2

答：应先安排2人工作

思路点拨：

首先将工作总量设成1,可以得到每人的工作效率,再根据X人先做4小时可以完成4x5

40

二工作量，增加2人后，(x+2)人工作8小时完成8(x+2)5名工作量，总量为1可以列出方程，

40

解方程求解即可。

变式拓展：

一件工作甲单独做需要20小时完成，乙单独做需要12小时完成，现在先由甲单独做4

小时，剩下的由甲乙合做，则剩下的部分需要几小时完成？

解：设工作总量为1,剩下的部分需要x小时完成。则甲的工作效率为M乙的工作效率为自

由题意可列方程为4x9《+?)x=l,整理得为W，解得x=6。

答：剩下的部分需要6小时完成

四、利润问题

知识梳理：

商品利润=商品售价一商品进价；利润率=利润・进价x100%。

典型例题：

商店新进一批商品准备出售，若打8折出售，则1()天可以售完，并能获利100()0元;若

打7.5折出售8天可以售完，可获利8000元，商品存放一天需要100元的存货费，求这批商

品的本钱(购货价)和预售总价各是多少？

解：设这批商品的本钱是x元，预售总价是y元。由题意可列方程组为

0.8y-x-10xl00=100000.8y-x=11000①

・・

0.75y-x-8x100=8000,整理得0.75y-x-8800②，

■■

①-②得0.05y=2200,解得y=4400(),贝ijx=0.8X44000-11000=242()0

答：这批商品的本钱是24200元，预售总价是440(H)元。

思路点拨：

本题有两个未知数，即商品本钱和预售总价，也有两个明显的等量关系，即两种打折出

售的获利情况，根据售价-成本-存货费用=利润，可以列出方程组求解即可。

变式拓展：

小明家打算为超市新进一批货物，上周他购进甲乙两种商品共50件，甲种商品的进价是

每件35元，利润率是20%,乙种商品的进价是每件20元，利润率是15%,共获利278元,

求甲乙两种商品各进多少件？

解：设甲种商品进x件，乙种商品进y件。由题意可列方程组为

'x+y=50①

,35x0.2x+20x（）.15y=278②，

由②得7x+3y=278③,①X3得3x+3y=150@，③■④得4x=128,解得x=32,则y-50-x=18。

答：甲种商品进32件，乙种商品进18件

思路点拨：

本题易知第一个等量关系为甲乙两种商品共50件，则有x+y=50。根据甲乙商品的进价

和利润率可知甲商品每件利润为35X0.2=7元，乙商品每件利润为20X0.15=3元，再由所获

总利润得到第二个等量关系，组成方程组求解即可。

五、行程问题

知识梳理：

路程二速度义时间；

相遇问题：

快行距+慢行距=原距；

追及问题：

快行距一慢行距=原距；

航行问题：

顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度逆水（风）速度=静水（风）速度

一水流（风）速度；

典型例题：

A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出。

（1）如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇;如果两车同时开出同向（沿BA方向）

而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度：

（2）如果慢车先开出1小时，两车相向而行，那么快车开出儿小时可与慢车相遇？

解：(1)设快车的速度为x千米每小时，慢车的速度为y千米每小时。由题意可列方程组为

-3(x+y)=480①

・

J2(x-y)=480②，

①义4得12(x+y)=1920③，②+③得24x=2400,解得x=100,则y=60。

答：快车的速度为100千米每小时，慢车的速度为60千米每小时。

(2)慢车开出1小时后两车相距480-60=420千米

4204-(100+60)=^,所以快车开出4小时可与慢车相遇。

88

思路点拨：

这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解，要明确快车与慢

车的路程与A、B两地的距离之间的关系，相向而行两车相遇时：快车路程+慢车路程二A、B

两地距离；同向而行两车相遇时：快车路程-慢车路程二A、B两地距离。

变式拓展：

一船顺水航行45千米需要3小时，逆水航行65千米需要5小时，水流速度与船速不变，

求船在静水中的速度和水流速度？

解：设船在静水中的速度为X千米每小时，水流速度为y干米每小时。由题意可列方程组为

①

■3(x+y)=45

_5(x-y)=65②，

由①X5得15X(x+y)=255③，②X3得15(x-y)=195④,

③+④得3()x=42(),解得x=14,则y=l。

答：船在静水中的速度为14千米每小时，水流速度为1千米每小时。

思路点拨：

根据水流速度与船在静水中的速度的关系可以得到船的顺水速度和逆水速度，再根据路

程二时间X速度列出方程组求解。

六、存贷款问题

知识梳理：

利息=本金X利率X期数；本息和(本利和)=本金+利息。

典型例题：

蔬菜种植专业户徐先生耍办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，

共13万元，王先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%,乙种贷款的年利

率为3.5%,则甲，乙两种货款分别是多少万元？

解；设甲种贷款X元，乙种贷款y万元。由题意可列方程组为

'x+y=13①

.

.().06x+().035y=0.6075②，由①得x=13-y,代入②得0.06(13-y)+

0.035y-0.6075,整理得0.025y-0』725,解得y=6.9,则x=6.1。

答：甲种贷款是6.1万元，乙种贷款是6.9万元。

思路点拨：

本题的等量关系：

甲种贷款+乙种贷款=13万元；

甲种贷款的年利息+乙种贷款的年利息=6075元。

变式拓展：

小明以两种方式分别存储了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可

得利息43.92元，已知两种储蓄的年利率和为3.24%,求这两种储器的年利率各是多少?(利息

所得税=利息X20%)

解：设这两种储蓄的年利率分别是x、y。由题意可列方程组为

•x+y=3.24%①

■

_2000x(1-0.2)+1()()()y(1-0.2)=43.92②，

由②得1600x+800y=43.92,将x=3.24%-y代入得:1600(3.24%-y)+800y=43.92,

整理得800y=7.92,解得y=0.99%,则x=2.25%。

答：这两种储蓄的年利率分别是2.25%和0.99%o

思路点拨：

本题两种储蓄的年利率之和为3.24%,由此可得到第一个等量关系x+y=

3.24%,再由两种储蓄的利息之和可得第二个等量关系，列方程组求解即可。

七、数字问题

知识梳理：

己知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一

个两位数的个位数字为a,十位数字为b,则这个两位数可以表示为10b+a。

典型例题：

已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如:若一个

两位数的个位数字为a,十位数字为b,则这个两位数可以表示为10b+a。

有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5,如果把这两个数的位置对换，

那么所得的新数与原数的和是143,求这个两位数。

解；设两位数个位上是X,十位上是)，。由题意可列方程组为

\-y=5①

■

.(l()y+x)+(l()x+y)=143②，由②得x+y=13③，①+③得2x=18,解得x=9,贝ijy=4

答：这个两位数是49

思路点拨：

本题中的等量关系：

①个位上的数一十位上的数=5；

②原数+新数=143。

变式拓展：

一个两位数，个位数字和十位数字之和为8,个位与十位互换后，所得的新数比原数小

18,则这个两位数是多少。

解：两位数个位上是x,十位上是y。由题意可列方程组为

x+y=8①-x=3

■.

„(10y+x)-(10x+y)=I8②，解得：［y=5

答：这个两位数是53。

八、方案问题

知识梳理：

在解决实际问题时，需合理安排，从几种方案中，选择最佳方案。

要点诠释：

方案选择的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方

案。

典型例题：

已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货l()t;用1辆A型车和2辆B型车

装满货物一次可运货HU某物流公司现有31(货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，

一次运完，且恰好每辆车都装满货物。根据以上信息，解答下列问题。

(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨：

(2)请你帮该物流公司设计租车方案：

(3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次。出最省钱的租车方案，

并求出最少租车费。

解：(1)设I辆A型车装满货物可运货x吨，1辆B型车装满货物可运货y吨。由题意可列方

程为

-2xiy=10①

■

x+2y=l1②，

由①得y=l()-2x③，将③代人②得，x+2(10-2x)=ll,整理得3x=9,解得x=3,贝ijy=4

答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨。

(2)根据题意可列方程为3a+4b=31,因为a,b均为正整数，所以a,b的取值可分别为1,7

或5,4或9/。

答：该物流公司有三种租车方案。方案一:租用A型车1辆B型车7辆:方案二:A型车5辆，

B型车4辆;方案三:A型车9辆，B型车1辆。

(3)方案一的租车费用为