解三角形（5年汇编）解析版

专题07解三角形

考点分类五年考情（2022・2026）命题规律

2026北京卷、2026天津卷

2025年全国二卷、2025天津卷

2024年新课标I[卷、2024年全国考查正弦定理、余弦定理求基本

考点01正余弦定

甲卷、2024天津卷、2024上海卷量，涉及边角互化、判断三角形形

理解三角形

2023年新课标I卷、2023年全国状、多解问题等基础内容

乙卷、2023北京卷、2023天津卷

2023上海卷、2022天津卷

2026全国二卷

2025北京卷

2024年新课标I卷、2024北京卷、

考查三角形面积公式和最值问题，

考点02三角形面2023年新课标I卷、2023年新课

常与三角函数、向量、不等式等知

积公式标H卷、2023年全国甲卷、2023

识交汇

年全国乙卷、2023上海卷

2022年新高考全国II卷、2022北

京卷、2022浙江卷

2026全国一卷、2025上海卷、2024

上海卷周长、边长、面积等最值问题是高

考点03解三角形

2023年新课标II卷、2023年全国考中常考题型，难度一般，容易出

的应用（含几何和

甲卷现结构不良试题以及与三线相结

实际应用）

2022年新高考全国I卷、2022上合，注重常规方法以及技巧

海卷

[Q考点01正余弦定理解三角形

1.（2026・北京・高考真题）摇杆机械装置，如图，4,8为定点,C,。是动点，AD=\,CO=3,3C=1,

Afi=4,贝iJcos/AOC的取值范围（）

c

553573

D.

12580运站

【答案】B

【分析】根据边长范围结合余弦定理计算求解范围.

【详解】因为人。=1，。。=3,则3—1KACW1+3,即得2KACK4.

9S、

16+—AC2

所以中,cos/A8c=--------——--

20

2x4x-

2

89型-AC，也々

所以”=五二

<cosZABC=-^-73,

80-20202080

573

所以cosZABC的范围为—

IoXU

2.(2025•全国二卷•高考真题)在二ABC中，BC=2,AC=1+JJ,AB=R,则4=()

A.45°B.60°C.120°D.135°

【答案】A

【分析】由余弦定理cosA=A--"C'2-'C2直接计算求解即可.

2AB>AC

6+十一"(㈤?+(l+而-2?二正

【详解】由题意得cosA=

2AB・AC

2XV6X(I+73)2'

又0vAvl80,所以4=45°.

故选：A

Q

3.(2024・全国甲卷・高考真题)记4/WC的内角A8C的对边分别为。也c,若4=60",廿=三讹,则

4

sinA+sinC=()

A.-B.V2C.且D.3

222

【答案】C

I17

【分析】利用正弦定理得sinAsinC=；,再利用余弦定理有〃=与这，由正弦定理得到si"A+siM。的

34

值，最后代入计算即可.

o4

【详解】因为8=60',/=—",则由正弦定理得sinAsinC=—3/8=—.

493

由余弦定理可得:b2=a2+c2-ac=,

4

iQ।Q17

BP：a2+c2=—ac,根据正弦定理得si〉A+sin?C='sinAsinC=',

4412

所以(sinA+sinC)?=sin2A+sin2C+2sinAsinC=—,

4

因为A,C为三角形内角，则sinA+sinC>0,则sinA+sinC=U^.

2

故选：c.

4.(2023•北京・高考真题)在一ABC中，(o+c)(sinA-sinC)=/?(sinA-sin4),则NC=()

【答案】B

【分析】利用正弦定理的功角变换与余弦定理即可得解.

【详解】因为(〃+c)(sinA-sinC)=伙sinA-sinB),

222

所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b),即a-c=ab-b，

则a2+b2-c2-ab»故cosC="———=史-=-

Zablab2

又0<Cv7c,所以C=2.

3

故选：B.

5.(2023・全国乙卷・高考真题)在一ABC中，内角A8,C的对边分别是a,"c,若优osB-反osA=c,且C=(,

则NB=()

71r兀八3兀r2冗

A.—B.-C.—D.—

105105

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得N4的值，最后利用三角形

内角和定理可得乙4的值.

【详解】由题意结合正弦定理可得sinAcosB-sin8cos4=sinC,

即sinAcosB-sin8cosA=sin(4+B)=sinAcosB+sinBcosA,

整理可得sin4cosA=0,由于8w(0,7i),故sin4>0,

据此可得8sA=0,A=工,

2

则BuTt-A—CuTi-q-qM—

2510

故选:c.

6.（2026・天津・高考真题）在..ABC中'8c=4,AC=3,cosA=--,则如8=

【答案】噜余乐

【详解】在中'=所以sinA=Jl-c°s2A=

,Vl5

3x-3715.

由正弦定理可得sinB-AC©.

BC-16

7.（2。24.上海.高考真题）三角形板中,8c=*吟吟,则筋=

【答案】中

【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解.

【详解】三角形ABC中，A+B+C=nM=pB=^,/.C=^,

.7titn.nV2+5/6

=sin—cos—+cos—sin—

4646-4-

由正弦定理=＜与，BC=2,A=g,

sinAsinC3

cV2+V6

BC'sinC'2x-4-3&+#

得A8=

sinA―"^―

y

3夜+卡

故答案为:

-3-

8.（2023•上海・高考真题）在ABC中，已知。=4,b=5,c=6,则sinA二

【答案】巨

4

【分析】先利用氽弦定理求得8朗，再利用同角三角函数关系式求得sinA.

.b'+c--cr_25+36-16_45_3

【详解】cosA=---------------

2bc-60"60-4'

-A为.ABC的内角，

sinA=Vl-cos2A=J1--=—

V164

故答案为咚

【力、睛】本题考杳余弦定埋以及同角二角函数关系式的合理运用，是基础题.

9.(2025・天津・高考真题)在ABC中，角的对边分别为.已知asin8=WcosA,c-2/?=l,

a="•

⑴求A的值；

(2)求c的值；

⑶求sin(4+2B)的值.

【答案】⑴方

(2)3

⑶w

【分析】(1)由正弦定理化边为角再化简可求；

(2)由余弦定理，结合(1)结论与已知代入可得关于。的方程，求解可得。，进而求得J

(3)利用止弦定理先求8,再由二倍角公式分别求sin25,cos26,由两角和的止弦nJ得.

【详解】(1)已知asinBA,由正弦定理."=."八，

sinAsinB

得asin3=bsinA=\/5z>cosA,显然cosAwO,

得tanA=k，由0vAv兀，

teA=r

(2)由(1)知cosA=；,且c=2Z?+l,a=

由余弦定理"=〃+/-2bc、cosA，

则7=从+(2b+1>—2x4仇28+1)=3〃+3匕+1,

2

解得〃=1(匕=—2舍去)，

故c=3；

(3)由正弦定理A=\\,b=\,a=\/1,sinA=—>

sinAsinB2

得$亩8=史见4=叵，Ra>b,则8为锐角，

a14

故COS8=』"，sin213=2sinficosB,

1414

Kcos2fi=l-2sin2B=l-2x=4；

故sin（A+28）=sinAcos2B+cos/4sin2B=—x—+—=

2142147

10.（2024.天津.高考真题）在.ABC中，角ARC所对的边分别为aec,已知8$8=79，b=5：a=：2

16c3

⑴求〃的值;

（2）求sinA的值;

⑶求cos（8-2A）的值.

【答案】（1）4

⑵立

4

64

【分析】（1）a=2t,c=3tf利用余弦定理即可得到方程，解出即可;

（2）法一：求出sinB,再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cosA,则得到sinA；

（3）法一：根据大边对大角确定A为锐角，则得到cosA,再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法

二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.

【详解】（1）设。=2/,c=3/,/>（）,则根据余弦定理得〃="+c2_2accosB,

o

即25=4/+9—-2x2/x3/x—,解得，=2（负舍）；

16

则a=4,c=6.

（2）法一：因为8为三角形内角，所以sin5=，1一cos〉B=也

6J

45

再根据正弦定理得£-3,BpsinA55/7,解得sin4=

smAsinB4，

16

法二：由余弦定理得CM二三52+62-42二3

2x5x6-4

因为A£（0.7T）,则SinA=

（3）法一：因为COSB=2>0,且B«（U）,所以3€（0,外,

lb\/

由（2）法一知sin8=N7

16

3

因为av〃，则A<5,所以cosA=

4

cos2A=2cos2A-l=2xf--11_

则sin2A=2sinAcosA=2x—x-=,

4488

cosBcos2AsinBsin2A=^xl^-3^57

cos（B-2A）=++X---=——

16816864

法二：sin2A=2sinAcosA=2x—x—=

448

1=

则cos2A-2cos:4—1=2*曾-l

因为B为三角形内角，所以sin8=Jl-cos，B=5币

~\6~

所以cos（8-2A）=cosBcos2A+sinBsin2A=-x-+^^x^^=—

'J16816864

11.（2024・新课标I【卷•高考真题）记"BC的内角A,4,。的对边分别为〃，〃，c,已知sinA+行cosA=2.

⑴求A.

（2）若a=2,"?sinC=csin2B，求一ABC的周长.

【答案】（1）4=/

6

⑵2+#+3&

【分析】（1）根据辅助角公式对条件sinA+GcosA=2进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三

角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；

（2）先根据正弦定理边角互化算出5,然后根据正弦定理算出瓦c即可得出周长.

【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）

由sinA+>/3cosA=2可得,sinA-且cosA=I,即sin（A+=）=1,

223

由于Ae（0,兀）nA+?e（g,—）,故A+g=[,解得A=g

333326

方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）

由sinA+JJcosA=2,又sin?A+cos2A=1,消去sinA得到：

4cos?A-4\/3cosA+3=0<=>（2cosA-V3）2=0,解得cosA=立，

2

又AG（0,7C）,故A=当

方法三：利用极值点求解

设fM=sinx+Gcosx(0<x<n),则/(-v)=2sin

显然%=/时，/(x)nm=2,注意到/(A)=sinA+GcosA=2=2sin(A+£),

63

/U)a=/(A),在开区间(0,兀)上取到最大值，于是x=4必定是极值点，

即f'(A)=0=cosA-石sinA,HPtan/1=—>

3

XAe(0,K),故A==

方法四：利用向量数量积公式(柯西不等式)

设〃=(1,0),力=(sinA,cosA),由题意，ab=s»\nA+y[3cosA=2♦

根据向量的数量积公式，ab=\a\\b\cos(a,b)=2cos(a*),

则2cos=2=cosa,b=1,此时a,b=0,即〃同向共线，

根据向量共线条件，1cosA=x/3-sin4=tan4=—»

3

又Ae((U),故A=3

方法五：利用万能公式求解

设/=tang,根据万能公式，sin4+GcosA=2=&+回

21+/H

整理可得，C-2(2-y/3)t+(2-V3.)2=0=(t-(2-6))2,

解得tang=f=2-G,根据二倍角公式，血人=三=走,

21-r3

XAe(0,7c),故4

(2)由题设条件和正弦定理

V2??sinC=csin2B<=>>/2sinBsinC=2sinCsinBcosB，

又B.Ce(0.7T),WJsinBsinC^O.进而co*B=立，得到月二4,

24

7JT

于是C=TT-4-B=一,

12

sinC=sin(n-A-B)=sin(A+13)=sinAcos3+sinBcosA=立+也

4

由正弦定理可得,.71.771,

sinAsinBsinCsin—sin—

412

解得〃=2忘,c=R卜力,

故的周长为2+后+3夜

12.（2023・天津・高考真题）在^八8。中，角A8,C所对的边分别是〃也c.已知。=屈为=2.乙4=120.

（1）求sin8的值;

（2）求。的值；

⑶求sin（8-C）的值.

【答案】（1）当

（2）5

⑶一坐

26

【分析】（1）根据止弦定理即可解出;

（2）根据余弦定理即可解出;

（3）由正弦定理求出sinC,再由平方关系求出cos8,cosC,即可由两角差的正弦公式求出.

即心£_=工，解得：sin8=巫:

【详解】⑴由正弦定理可得，

sin120sin413

(i\

（2）由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA,g[J39=4+c2-2x2xcx——，

解得：c=5或c=-7（舍去）.

⑶由正弦定理可得，即磊=焉—零,

而A=120",

所以5,C都为锐角，因此8SC=/J=^'8S八”=苇

in®C)=sinB8sC-CC=^x理-亚X亚=-拽

')1326132626

13.（2023・新课标I卷•高考真题）已知在中，4+B=3C,2sin（A—C）=sinA.

⑴求sinA；

（2）设A8=5,求A3边上的高.

【答案】（|）通

10

（2）6

【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；

（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sin反再由正弦定理求出/九根据等面积法

求解即可.

【详解】（1）A+8=3C,

,\n-C=3C,即C=2,

4

乂2sin(A-C)=sinB=sin(A+C),

2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

/.sinAcosC=3cosAsinC,

/.sinA=3cosA,

即lanA=3,所以0<4<2,

2

sin43=3^0

Mio

(2)由(1)知，cosA=—==---,

Mio

由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=+2^12)=2G,

210105

v26

.5x----

由正弦定理，1匚=二，可得匕=—，一二2而，

sinCsinHyJ2

~T

:.^ABh=-ABACsinAt

22

h=h-sinA=2>/10x3"^^=6.

10

14.(2022•全国乙卷.高考真题)记4ABe的内角4,B,C的对边分别为mb,c,已知

sinCsin(A-B)=sin5sin(C-A).

(1)若A=2A,求C；

(2)证明：2a2=b2+c2

【答案】(1彳;

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据题意可得，sinC=sin(C-A),再结合三角形内角和定理即可解出；

(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得sinC(sinA8s8-cosAsin8)=sinB(sinCcosA-8sCsinA),再

根据正弦定理，余弦定理化简即可证出.

【详解】(1)由A=28,sinCsin(A-8)=sin8sin(C-A)可得，sinCsinB=sinBsin(C—A),而0<B〈巴，

所以sin8w(0』)，即有sinC=sin(C-A)>。，而0<C<m0<C-A<兀，显然C/C—A,所以，C+C-A=n,

所以。=称.

而A=2B,A+B+C=n,

o

(2)由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)可得,

sinC(sin?lcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),|耳由正弦定理可得，

accosB-bccosA=becosA-abcosC,然后根据余弦定理可知，

-(fr+c2-Z?2)--(/?2+C2-a2)=^(b2+c2-a2)--^a2+b2-c2^化简得：

2222

2苏=6+/,故原等式成立.

15.(2022・全国乙卷・高考真题)记-8c的内角ABC的对边分别为《己知

sinCsin(A-=sinBsin(C-A).

(1)证明:2a2=b2+c2;

25

(2)若4=5,cosA=不,求ABC的周长.

【答案】(1)见解析

⑵14

【分析】(1)利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证:

(2)根据(1)的结论结合余弦定理求出会,从而可求得b+c,即可得解.

【详解】(1)证明：因为sinCsin(A-6)=sinbsin(C-A),

所以sinCsin/AcosB-sinCsinBeesA=sinBsinCeosA-sinBsinAcosC,

2222»22

的)a+c-b〃2+,2―片,a~+b~-c~

所以ac----------=-ab----------

2ac2hc2ab

即nit一z------(3Zr>+c-2-a-，)\=--〃--.-+-Z-?-——―

所以2〃=从+/；

25

(2)解：因为〃=5,cosA=/,

JJL

由⑴得从+。2=50,

由余弦定理可得〃=/一2bccosA，

则50-1?仇=25，

31

所以加=£，

222

te(Z?+c)=Z?+c+2bc=50+3i=81,

所以b+c=9,

所以.ABC的周长为a+b+c=\4.

16.（2022・天津・高考真题）在“A8C中，角A、B、C所对的边分别为a,〃，c.已知。=而力=2c,cosA=

⑴求c的值；

（2）求sin8的值；

（3）求sin（2A—8）的值.

【答案】⑴c=l

⑵sinB=

4

（3）sin（2A-B）=—

8

【分析】（1）根据余弦定理。2=6+乙一乃c8sA以及1=2c解方程组即可求出;

（2）由（1）可求出匕=2,再根据正弦定理即可解出；

（3）先根据二倍角公式求出sin24cos2A,再根据两角差的正弦公式即可求出.

【详解】（I）^l^a2=b2+c2-2bccosA,6=b2+c2+^-bc,而〃=2c,代入得6=4^+，解得:

2

c=\.

（2）由（1）可求出力=2,而0<Av兀，所以sinA=/二嬴7=叵，又，~；=上口所以

4sinAsinB

,巫广

力sinAx4vlO.

sinB=-----=---/一=---

aV64

（3）因为cos4=—；,所以5VA<兀，故又sinA=d£7=近，所以

4224

sin2A=2sinAcosA=2x=--^^,cos2A=2cos?A-l=2x--1=--,而sinB=>^^,所以

I4）481684

层考点02三角形面积公式

1.（2U22•浙江•高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从二角形二边求面积的公式，他把这种方

法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是

S=*_广："、],其中，，b,C是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边

a=>/2,=G,c=2,则该三角形的面积S=.

【答案】叵.

4

【分析】根据题中所给的公式代值解出.

三司，所以s=眄写｝嚷

【详解】因为S=；

故答案为：叵.

4

2.(2026♦全国二卷•高考真题)在ABC中，已知cosA=],cos2(A+C)+siMsinC=1.

(1)证明：ABC为钝角三角形；

(2)若，/WC的面积为立，求八6c的周长.

4

【答案】(1)见解析

(2)3+72

【分析】⑴cos(A+C)=-cos8,结合题设得出sin4sinC=N,然后由两角和的余弦展开得到cosAcosCvO,

16

进而得解；

(2)先推出三角形面积公式的变形式S.c=2尸sinAsinBsinC,解得R,由正弦定理进而得出匕，然后列

余弦定理和面积公式的关于a，。的方程组求解.

3

【详解】(1)证明：由A+B+C=冗，则cos(A+C)=-cosB=-：,

4

又cos?(A+C)+sinAsinC=1,+sin4sinC=1,jlVJsinAsinC=—,

1616

由两角和的余弦公式，cos(/l+C)=cosAcosC-sinAsinC=--,

4

75

结合sinAsinC=—可知cosAcosC="—<0,

1616

则cos4,cosC异号，必然一个为负，一个为正.

又儿Ce((U),即A,C中必有一个是钝角；

(2)方法一：由正弦定理和三角形的面积公式,

)1,

Swc=—absinC=—(2/?sinA)(2/?sin8)sinC=2R~sinAsin8sinC,

22

（R是./WC外接圆半径）

又sinAsinC=[,sinB=/-1。丫=也，则叵=2中•亚,解得/?=亚,

16Y⑷44647

Xsin^=—,则〃=2RsinB=0，

4

、■3

由余弦定理b?=a2+c2-2accosB，即+c2-^ac=2,

Z-«csinB-ac=»W1]ac=2,

284

于是/+。2-9砒=2,即/+C2=5，

2

(a+cf=a2+2ac+c2=9,解得a+c=3,

故，/WC周长为（a+c）+〃=3+VL

方法二：tilcos2（A+C）+sin^sinC=1.cos2+sinAsinC=H

即sinAsinC=1-cos2B=sin2B,

由正弦定理可得，ac=及，

由三角形面积公式，Swe='〃csinB=』acx立•=—1，

A"。2244

彳导到GC=2,则〃=0,其余同上.

3.（2025.北京.高考真题）在jABC中，cosA=-^,«sinC=4>/2.

⑴求c的值；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得.A8C存在，求边上的高.

条件①：。=6；条件②：asinB='。°;条件③：的面积为10人.

3

【答案】（1）6

⑵选①，ABC不存在：选②，高为出2；选③，高为生2

99

【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解；

（2）若选①，可得AC都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得〃，由余弦定理求得“，利用等面积法

求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得。，再根据余弦定理可求得〃，由此可说明三角形48c存

在，且可由等面积法求解AO.

【详解】（1）因为COSA=T，A£（（U）,所以疝14=Jl—cos?。=手,

由正弦定理有asinC=csinA==4\/J,解得c=6：

（2）如图所示，若存在，则设其BC边上的高为AO,

若选①，。=6,因为c=6,所以C=A,因为cosA=—；vO,这表明此时三角形A8C有两个钝角,

而这是不可能的，所以此时sABC不存在，故8C边上的高也不存在；

若选②，谒118=迹，由asinC=4应有加8_华_5,由正弦定理得9=：、所以b=5,

3而？=碇706

所以由余弦定理得a=>Jb2+c2-2bccosA=J25+36-2x5x6x1-g

此时三角形A8C是存在的，且唯一确定，

所以5人席=《权'sinA=18CX。.即,x5x6x辿=」x9A。,

,22232

所以8c边上的高AO=生色；

9

若选③，ABC的面积是1（）①，则SA8c=J力csinA=；/，x6x半=100,

解得人=5,由余弦定理可得a=yjb2+c2-2bccosA=^25+36-2-5-6^-1j=9可以唯一确定，

进一步由余弦定理可得cos氏cosC也可以唯一确定，即氏C可以唯一确定，

这表明此时三角形A8C是存在的.且BC边上的高满足：SABC=^a-AD=^AD=\0y/2,即力。=笥2.

4.（2024・新课标I卷•高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为小b,c,已知sinC=&cos8，

a2+Z?2-c2=6ab

⑴求B；

（2）若A8C的面积为3+百，求。

【答案】（1）3=5

（2）25/2

【分析】（I）由余弦定理、平方关系依次求出cosCsinC,最后结合已知sinC=&cosA得cosB的值即可；

（2）首先求出4&C,然后由正弦定理可将。为均用含有c的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程

求解.

【详解】（1）由余弦定理有a2+b2-c2=2az7cosc♦对比（J,欠」a2-b2-c2=无ab，

可得COSC/+人一丝=也,

lablab2

因为Ce（0,兀），所以sinC>0,

从而sinC=Vl-cos2C='

又因为sinC=&cosB，即8sB=5,

注意到5«（U）,

所以崂.

2江从而A=7t=,

（2）由（1）可得3=百冬c=%-HTI

3

~4~

a_b_c

由正弦定理有。.5兀一.兀一.兀，

sin——sin—sin-

1234

从而”近史.技.=由±1。氏3.&c=^c，

4222

由三角形面积公式可知，AA8C的面积可表示为

c1一厂16+1瓜x/23+62

S=—wpsinC------------c----c-----c，

由222228

由已知，ABC的面积为3+6，可得3+*c?=3+6,

8

所以c=2无.

5.（2024.北京.高考真题）在..ABC中，内角4B,C的对边分别为凡Ac,乙4为钝角，a=7,sin2"且力cosB.

7

⑴求乙4：

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得,A8C存在，求4ABe的面积.

条件①：b=7；条件②：cos8吟：条件③：csinA=1V3.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得。分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

【答案】（1）A=§；

（2）选择①无解；选择②和③△ABC面枳均为电.

4

【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；

（2）选择①，利用正弦定理得5=9，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求HlsinB=3叵，再代

314

入式子得人=3,再利用两角和的正弦公式即可求出sinC,最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得

到c=5,再利用正弦定理得到sinC=2叵，再利用两角和的正弦公式即可求出sinB,最后利用三角形面积

14

公式即可;

【详解】（1）由题意得2sinBcos8=立〃cos8，

因为A为钝角,

7

b_2_a_1厂

则cos"0,W>j2sin^=—贝!sinBsinAsinA,解得sinA=—,

7

因为A为钝角，则从二7.

（2）选择①。=7,则sinB=^b=^x7=^,因为人=勺，则4为锐角，则3=

1414233

此时A+4=7t,不合题意，舍弃;

13

选择②对8=荷因为8为三角形内角，贝UsinB二

则代入2sin8=36得2乂地=36,解得人=3,

7147

sinC=sin（A+B）=sin=sin—cosB+cos—sinB

33

"22144

选择③csinA==G,则有ex立解得c=5,

222

7_5r-

则由正弦定理得三=1一，即耳一砒，解得sinC=2旦,

sinAsine-14

因为C为三角形内角,

则sin8=sin(A+C)=sin——+C=sin—cosC+cos—sinC

、3,33

7511(n5N/J3百

=­x—+—x---=----,

214I2)1414

1nHe1.a1-3行15石

UAARC=~«csin£?=—x7x5x---=-----

△.22144

6.(2023・上海・高考真题)在中，内角A、B、C所对的边为〃、b、c,其中〃=2

(1)若A+C=60。，且。=勿，求边长。的值；

(2)若A-C=30°,a=V2csinA»求卜.丁

【答案】（1）平

⑵2^2

3

【分析】（1）求出3根据余弦定理求解;

（2）根据正弦定理求出C及如再由S.=gAsinA求面枳即可.

【详解】(1)因为A+C=60%所以B=180°-(4+C)=120。,

a2+c2-b24c2+c2-4

由余弦定理得cos3=——,

2xaxc2x2cxc2

解吟平

（2）因为咱怎如人所以急=短=缶，所以15。

因为A—C=30。，所以A=75。，8=60。,

所以「鬻考

sinA=sin75°=sin45°cos300+cos450sin30°=6+—―

4

2—W

所以S.

22343

7.（2023•全国甲卷・高考真题）记4/WC的内角A8C的对边分别为。也c,已知心士£=2.

cosA

(1)求be；

acosB-bcosAb,4八八丁工厂

⑵若——^―：―7--=1，求”水?面积.

acosB+bcosAc

【答案】（1）1

⑵巫

4

【分析】（1）根据余弦定理即可解出;

（2）