苏科版九年级数学上册：圆的相关概念（能力提升）

国的相关概念

题型一证明几个点在同一个圆上

1.如图，四边形力BC。是矩形.求证：48,C,。四点在同一个圆上.

【答案】证明见解析

【详解】证明：如图，连接矩形力BCD的对角线力C、BD,交于点0.

••・四边形48。。是矩形，

•••AC=80,0A=0C=-AC,OB=0D=-BD.

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二。4=OB=0C=0D.

・••点A、B、C、。四点在以。为圆心，。4为半径的同一个圆上.

2.已知四边形48C。为菱形，点&F、G、〃分别为各边中点，判断E、F、G、〃四点是否在同一个圆上,

如果在同一-圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由.

【答案】点E、F、G、H四点是以AC,BD的交点0为圆心的同一个圆上，证明见解析.

【详解】解：如图，

连接AC,BD相交于点O,连接0E,OF,OG,OH,

•••四边形ABCD是菱形，

•,.AB=AD=CD=BC,AC1BD,

•••点E是AB的中点，

.•*OE=-AB,

2

同理：OF=[BC,OG=|CD,OH=|AD,

.--OE=OF=OG=OH,

••・点E、F、G、H四点是以AC,BD的交点O为圆心的同一个圆上.

3.已知：如图，在正方形ABCD中，E、尸分别是A。、CD的中点.

（1）线段4F与8E有何关系.说明理由；

（2）延长力F、BC交于点//,则以D、G、〃这四个点是否在同一个圆上.说明理由.

【答案】（1）AF=BE且AF18E,证明见解析：（2）见解析

【详解】（1）解：AF=8E且AFJ.8E.

证明：•••£、"分别是A。、CD的中点，

•.AE=-2AD,2DF=-CD,

:.AE=DF,

又：乙BAD=ZD=90°,AB=ADf

ABE=△DAFt

AAF=BE,Z.AEB=Z.AFD,

•••在直角△ADF中，LDAF+Z-AFD=90°,

•••Z.DAF+Z.AEB=90。,

/.AGE=90°,

•••AF1BE；

(2)连接CG.

•••DF=CF,LD=乙FCH=90°,LAFD=乙HFC,

:4ADFz〉HCF,

:.BC=AD=CH=CO,

在直角△BG“中，BC=CH,

:.GC=-BH,

2

ACB=CG=CD=CH,

•••B,G,D,H在以C为圆心、BC长为半径的圆上.

4.如图所示，在A/BC中，CE,80分别是48,4C边上的高，求证：B,C,。，E四点在同一个圆上.

【详解】证明：如图所示，取8CH勺中点尸，连接。入EF.

BC：BD,CE是△4BC的高,

：,△5co和4凤下都是直角三角形.

DF,EF分别为Rt△8co和Rt△8CE斜边上的中线，

：.DF=EF=BF=CF.

:.E,B,C,。四点在以F点为圆心，匏。为半径的圆上.

题型二点到圆的最值问题

I.如图，已知。。的半径为2,P是。。外一点，。。=4,Q是。。上的动点，线段PQ的中点为M,连结0P,

【答案】C

【详解】解：取0P的中点N,连接MN,0Q,

为PQ的中点，N为0P的中点，

••.MN为aPOQ的中位线，

...MN=gOQ,

•••。。的半径为2,即0Q=2,

•••MN=1,

•••点M在以N为圆心，1为半径的圆上，

v0P=4,N为。P的中点，

・•・哈”=2,

当点M在线段ON上时，0M取得最小值，

0M的最小值为。N-MN=2-1=1.

2.如图，在边长为2的正方形ABC。中，以点C为圆心，1为半径的圆弧与边C3,C。分别交于点E,F.点M在

边力8上，点N在KF上，则〃M+MN的最小值为（）

A.VloB.V13C.2V5-1D.V17-1

【答案】C

【详解】解：如图，作点。关于713的对称点。，连接。M,则DM="M,

.••OM+MN=D'M+MN,

•.•四边形/18C0是正方形，边长为2,

"AD=乙ADC=90°,AD=CD=2,

-'.DA1AB,

.,.点D、A,Dr在同一条直线上，

：.AD'=AD=2,

：DD=4,

连接C。'，与力B相交于点M,与即相交于点N,如图,

此时DM+MN的值最小，最小值DM+MN=D'M+MN=。川，

-CD'=+。，。2=V224-42=2遮，

••.D/V=CD'-CN=2^5-1,

••.DM+MN的最小值为2y-1.

3.在矩形48CG中，E,F,D是AB上的三点，BC=2tAB=5且EF=m,若点”在CG的中点，点尸

在以点〃为圆心、1为半径的圆上运动，且始终满足NEPF=90。，则，〃的最小值是.

【详解】解：二•乙EPF=90。，取EF的中点为点。，

EF二2PD

・••当P。取得最小值时，EF的长度取得最小值，

•••四边形4BCG为矩形，BC=2,点、H是CG的中点，

•••圆心”到直线48的距离为2

vZ.EPF=90°

又•.由题意可知，点夕在以，为圆心、半径长为1的OH上，

线段PO=HD-HP,其中”P=1为定值；当〃、P、。三点共线，且48时，HD长度最小，此时PO

取得最小值。

过点〃作力3的垂线，交OH于点尸，交AB于点D,此时PO最短，EF最短.

此时，PD=2-1=1,EF=2PD=2.

4.如图，在矩形A8CD中，AB=2,BC=3,点P为平面内一点，且满足乙4P。=90。.连接8P,则B0的

最小值是，最大值是

AD

----------------------1。

【答案】14

【详解】解：•.•矩形ABCD中，AD=BC=3,Z.APD=90°,

•••点，在以A/J为直径的圆上，

如图1,取4。的中点。，连接80,交。。于点"，此时BP的值最小,

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'.BO=yjAB+AO二

8P的最小值为OB-OP=|-|=1,

如图2,取71。的中点。，连接BO并延长，交。。于点P,此时8P的值最大,

图2

•••BP的最大值为OB+OP=|+1=4,

故答案为：1>4.

1.如图，在平面直角坐标系中，点［（4,0）,B（0,3）,以点4为圆心，2为半径的08上有一动点P,

连接4P.若点。为4尸的中点，连接OC，则OC长的最小值是（）

A.1.5B.2C.2.5D.3

【答案】A

【解答】解：如图，取点。（・4,0）,连接产。，连接8。交于点E,

.•C是月P的中点，。是力。的中点，

••.OC是A4PQ的中位线，

：.OC=^PD,

在RS8OQ中，。。=4,08=3,

：.BD=办+42=5,

当点P与点七重合时，PO最小为5・2=3,

・••OC的最小值为：jx3=1.5,

故选：A.

2.如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）.如果以力

为圆心，「为半径画圆，选取的格点中除点4外恰好有3个在圆内，则〃的取值范围为（

A.2V2O-<V17B.V17<><3V2C.V17<r<5D.5<r<V29

【答案】B

【解答】解：根据题意画出示意图：

：・由勾股定理可得：

AD=V22+22=2>12,AE=AF=V17,,44=3企，

：.AB>AE>AD,

；•题目要求除A外恰好有3个点在圆内，

•••旧（心3夜.

以4为圆心，厂为半径画圆，选取的格点中除点力外恰好有0、E、加个在圆内.

故选:B.

3.如图所示：点M、G、。在半圆。上，四边形0X0尸、HMNO均为矩形,EF=b,NH=c,贝ijb与c之

间的大小关系是bc（填V、=、>）

【答案】

【解答】解：连OM，OD.

•.•四边形0的厂是矩形.

­.b=EF=OD

同理c=OM

：OM=OD

■•b=c

故答案为：=.

4.已知平面上有两点力、8,它们之间的距离是父相，分别就下列条件研究点P的存在性及点尸与线段48

的位置关系，若存在，请作图说明.

（1）点尸到小8两点距离之和等于5,〃：

（2）点尸到小5两点距离之和大于5cm；