第一章 第一章《空间向量与立体几何》综合检测卷（基础A卷）（解析版）

高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第一章综合检测卷(基础A卷)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，选对得5分，选错得。分.

1.已知方=。,2,y),B=(X/,2),且(£+2。)〃(21。),则孙的值为().

A.­■B.2C.—D.—I

32

【答案】B

【分析】由优+2$)//(21-6),可得存在实数-使得a+25=k(2”W，利用向量相等即可得出.

【详解】a+2b=(l+2x,4,4+y),

2a-b=(2-xt3,2y-2),

v(q+2b)//(2a-b)f

存在实数〃使得G+2丐=k(2a-b)t

\+2x=k(2-x)

.♦.<4=3左，解得x=J,y=4.

4+y=〃(2y-2)

：.xy=2.

故选：B.

【点睛】本题考查了空间向量坐标运算性质、向量共线定理、空间向量基本定理，考查/推理能力与计算

能力，属于基础题.

2.如图，在平行六面体48。。一44GA中，七是的中点，则族=()

A.-~AB+~AD+~AA,B.JB+-JD+~AA.

2121

C.而+而+；怒D.而+而+公

【答案】A

【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.

【详解】於=而+西+屏=诟+麴+:而.

故选：A.

3.如图，在三棱锥力-AC。中，DA,DB,。。两两垂直，且。8=OC=3,AD=4,£为4C的中点，则

在灰等于（）

【答案】D

【分析】以］。4方反比｝为基底向量，利用向量的三角形法则将荏，胫用基底向量表示，根据向量数量积

的运算律结合垂直和长度关系即可得到结果.

【详解】以［函函皮｝为基底向量，则方.而=百.况=加.反=0，

•・•亚=3（方+就）=g（而一方+反一方）=g（万-2而十灰），灰=就一而，

则

~AE-JC=-(a5-2DJ+DC)-(DC-D5)

=-DBDC--DB2-DADC+DADB+-DC2--DCDB=-DC2--DB2,

222222

又,:DB=DC,即5c?=15B'，

AZE-5C=O.

故选：D.

4.若直线/的一个方向向量为2=（1,0,2）,平面。的一个法向量为1=（-2,0,-4）,则（）

A.IllaB./la

C.luaD./与a斜交

【答案】B

【分析】根据题意可得京/£，进而可得/_La.

【详解】=(1,0,2),7=(—2,0,-4),可得'=—2"，

n/la»可得/_La

故选：B.

5.在正四棱锥PT8CQ中，莉=(1,-1,4),而=(3,-2,2百)，则该四棱锥的体积为()

A.21B.24C.63D.3百

【答案】B

【分析】根据正四楂锥的性质，结合空间向量模的坐标公式、楂锥的体积公式进行求解即可.

【详解】如图所示，在正四棱锥户一/4CO中，设顶点。在底面的射影为O,

O为正方形488对角线的交点，

囱=6+1+16=3及，画=,9+4+12=5,

所以4O=g4C=；J(3及『+(3应『=3,

PO=y/PA2-AO2=V25-9=4»

所以该四棱锥的体积为:x(3及『x4=24,

6.已知在平行六面体力BCD-44cA中，向量而，而，怒两两的夹角均为60。，且|荏|=1,|乃|=2,

网=3,则匹卜()

A.5B.6C.4D.8

【答案】A

【分析】利用向量的数量积公式即可求解.

【详解】如图，平行六面体力BCD-44GA中,

向量还、而、两两的夹角均为60',

且网=1,%4=2,%4卜3,

~AC}=~AB+~BC+CC}

•••君=（而+团+西J

二刀+元'+W+lAB^BC+2J5.CC；+2前•西

=1+4+9+2x1x2xcos60+2xlx3xcos605+2x2x3xcos60

=25.

7.设。，夕是不重合的两个平面，。，£的法向量分别为晨0，/和〃，是不重合的两条直线，I,m的

方向向量分别为I，2,那么。〃夕的一个充分条件是（）

A.Iua,mu0,且e2±n2B.Iua,mu0，且弓〃弓

—•—•■■_.—•■■—•-・■«—•・・

c.exII/?1,e2IIn2,且马〃6D.e]±ni,e2±/?2,且6〃备

【答案】C

【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置关系及充分条件的定义即可判断.

【详解】对于A,lua，mu。、且工；1〃；，言1元，则。与用相交或平行，故A错误;

对于B,lua,mup,则a与£相交或平行，故3错误；

对于c,小|晨区，且4.〃小得成〃无，则。〃夕，故C正确；

对于D,qJ_/,e21n2,且[〃,则。与（相交或平行，故D错误.

故选；C.

8.如图，在三楂锥S—49C中，S4_L底面48C,AB1AC,SA=AC=2,AB=\,。为棱眼的中点,

则异面直线S3与OC所成角的余弦值为()

3r收

L•-------D

555-t

【答案】D

【分析】建系,利用空间向量解决异面直线夹角的问题.

【详解】如图,以力为坐标原点建立空间直角坐标系，则S(0,0,2)”(l,0,0),Q(0,0,l),C(0,2,Q),

2

VS®=(l,O,-2),DC=(O,2,-l),则

:.异面直线SB与DC所成角的余弦值为:2.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得。分.

9.已知向量£=(2,7,2),6=(2,x,l),"=(必2,3),且同咽,Ze，则()

A.2B.y=-2

C.4.坂=4或8D.向量q,b»c共面

【答案】BC

【分析】A选项代入向量模长公式，即可求得；B选项，根据两向量垂直，数量积为0,即可求得；C选项,

根据同=词，可得x的值，再用数量积的坐标运算法则计算即可；D选项，求出X了的值，若三个向量共线,

则+而，代入坐标计算即可.

【详解】Vp=|^|»/.^22+(-1)'+22=V22+x2+12,解x=±2,'A错误；

Viic，・・・7工=(2,-1,2)-(乂2,3)=2歹-2+6=0,解得y=-2,故B正确：

5=(2,2,1)或5=(2,-2,1),a=(2,-1,2),

当1=(2,2,1)时，15=(2,-1,2).(2,2,1)=4-2+2=4；

当1=(2,-2,1)时，＞行=(2,-1,2)(2,-2,1)=4+2+2=8；故C止确；

22-2//=2

当％=(2,2,1)时，令£=4+&，则+得2义+2〃=-1,无解：

2+3//=2

2A-2//=2

当月=(2,-2,1)时，令U应,则(2,—1,2)=4(2,-2,1)+〃(—2,2,3),得一24+2〃=-1,无解；

/t+3〃=2

，向量a，b»c不共面.故D错误.

故选：BC.

10.若£3工是空间任意三个向量，下列关系中，不成空的是()

—«—«—«*W—•

A.\a+b\=\b-a\B.(a+b)-c=a-(b+c)

C.A(a+b)=Xa+AbD.b=A.a

【答案】ABD

【解析】根据空间向量加法法则、数量积的运算律、向量数乘法则和共线向量定理分别判断各选项.

【详解】由向量加法的平行四边形法则,只有即£2=0时,都有解+加=|否-A不成立;

由数量积的运算律有(o+5)c=ac+Xc,a(b+c)=ab+a-cIB与不一定相等，B不成立；

向量数乘法则，C一定成立;

只有£3共线且1时，才存在人使得B=筋，D这成立.

故选:ABD.

11.如图，在三棱柱—44G中，M,N分别是48出G上的点，且8M=24%GN=28W.设

AB=a,AC=b,AAl=c,若/B4c=90/BAA、=ZCAAX=60,AB=AC=AA.=\f则下列说法中正确的是

B.|W|=—

3

D.cos(48],8C]〉=—

【答案】BD

【分析】根据空间向量基本定理、空间向量模的公式，结合空间向量数量积运算性质逐一判断即可.

【详解】因为创/=24加，C\N=2B、N,

所以^Z=g章=［（万一石），/=丽十取=方+；羽=石+（（就一方）=：方+；就,

所以丽=丽_丽=：布+（万一丽）=；茄+；%+：羽=！3+；坂+；工故人错误；

因为卜卜W=H=1，aJ）=O>ac=bc=^f

所以A//V=」（Q+5+C）=—（a+B+2a-b+2a-c+2bc\=—（3+2）=—,

所以|丽卜半，故B正确：

因为布=万一耳=£一",石=k

所以48・4。1=(。-。)・6=。・6-6七=0-1、1乂—=—工0故c错误;

22

因为AB}=AB+AA}=a+cfBC[=BC+BB、=AC—AB+AAi=b+c—a,

\_

所以A}BBC}=[a-c^-(b-\-c-a^=ah+h-c-a+c

2

因为福2=仅+/=任+7+21@一=3,

所以日同=6苑2=(-1+至+0-=(a+b+(^-2a-b-2a-c-2b-c^=3,

所以|南卜5

\_

所以cos(丽南)=7^=L故D正确.

故选：BD.

12.如图，在四棱锥尸-,48co中，PX_L平面480AB//CD,&BC=gAB=PA=；CD=2,8c=2&，

"为尸。的中点，则()

A.直线CM与力。所成角的余弦值为:B.|两卜2G

C.BM1PCD.点M到直线4c的距离为厢

【答案】ABD

【分析】过力作4E_L。，垂足为E,以力为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法逐•判

断各个选项即可.

【详解】过力作4E1C。，垂足为E,则0E=2,

以4为原点，分别以4E,AB,4。所在直线为x,歹，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则8(020),。(2及,2,0),0(20,-2,0),尸(0,0,2),M(V2,-1,1),

丽=(丁2,-3,1),O7=(-V2,-3,1),PC=(272,2,-2),胫=(2,2,0,()),

丽=(0,-2,2),JD=(2x/2,-2,0),

因为8s瓯孙韶=安聆H

所以直线CM与/。所成角的余弦值为:，故A正确;

6

因为|丽|=J2+9+1=26,所以B正确；

因为丽屁=瓜2拒+(-3)x2+1x(—2)=-4/0,

所以8M与PC不垂直，故C不正确；

设点M到直线4c的距离为d,则d=J|丽『=x/7o»

即点”到直线8c的距离为Ji5,故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知空间向量5=(2x+l,3x,0),b=(lj,y-3),(其中x、jwR),如果存在实数2,使得。成立,

则"J，二

【答案】2

【分析】利用向量的坐标运算得出关于X、V、4的方程组，解出即可得出x+y的值.

2x+l=2x=-\

【详解】•.F=(2X+1,3X,0),力=(1//-3),且£=4，所以‘3%=为，解得，，二3,

0=2(…)/I=-1

因此，x+y=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查空间向量共线的坐标运算，建立方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.

14.若〉=(2,-1,4)花=(-1",-2),若」与I的夹角是锐角,则」的值的取值范围为.

【答案】（-8,-1。）

【分析】根据空间向量£与坂的夹角是锐角可得£4>0且£与坂不同向共线，结合数量积的坐标表示计算即

可求解.

【详解】因为£与右的夹角是锐角，所以7坂>0，

即—2—/—8>0,解得/<—10,

若7与5的夹角为（T,则存在几，使3

'2=-/1

即（2,7,4）=4—,所以一1="，解得/=；.

4=-22

故/的取值范围是（9,-10）.

故答案为：（—「IO）.

15.如图：正二棱锥OCZ）中，K、尸分别在棱力艮力。上，AE.EB-AF:FD-\.2,且赤.旃=0,则“9C

的余弦值为.

【答案】|3

【分析】设N8<C=S,由4E:EB=4尸：尸D=l:2可得衣瓦万=；7万,又赤.前=0，得

0+国+酢)=0,利用数量积的运算律可得cos0=5.

【详解】正三棱锥48CQ中，设wc=e,且侧棱长相等，

因为4E:EB=<F:FD=1:2,

—1------1——

所以=§48,力产=§力。，又CE-8b=0，

所以(B+函.(而+#)=0,

:.CABA+C4AF+AEBA+AEAF=()

.•.|CA\x\BA\cos1CJ|xj|AD\cos(n-^)-j|AB\x\BA\+^\AB\x^\AD\cosO=0

BPcos6^--cos^--+-cos9=0,

解得cosO=13,即/比IC的余弦值为3

故答案为：y

16.如图，在棱长为1的正方体BCD-44G。中，E为线段44的中点，则点c到平面4EG的距离等于

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离.

如图，建立空间直角坐标系，则*1,0,1),£H,p0l,C,(0,1,0),C(0,l,l),

J£=|0,^,-l,~AC1=(-1,1,-1),设平面/EC1的一个法向量为输=(x,y,2),

取3=(1,2,1),又充=(-1,1,0),

所以点。到面力£G的距离［=个口=*=骼，

故答案为：逅.

6

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知在长方体力〃。一小小C。/中，AB=AAi=2,AD=4,E为侧面月氏的中心，下为小。/的中点,

试计算:

⑴正而

⑵丽/瓦

【答案】（1）16：（2）0

【分析】建立空间直角坐标系，得出点的坐标，再由向量的坐标公式，结合向量的数量积的坐标表示，计

算可得所求向量的数量积.

【详解】（1）以A为坐标原点，为x轴，力。为V轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则题0,0,0),8(2,0,0),C(2,4,0),B、(2,0,2),£(1,0,1),Dx(0,4,2),F(0,2.2)

：.BCJED}=(0,4,0).(-1,4,1)=16

(2)丽•花=(-2,2,2)(2,0,2)=0.

18.如图所示，已知斜三棱柱点/、N分别在NG和8C上，且满足/1/=4力匕，

5A'=A5C(O<^<1).

⑴用向量几和〃表示向量痛V：

⑵向量而是否与向量AB，筋］共面?

【答案】⑴MN=（1—A）44—A44；（2）是.

【分析】（1）利用向量的线性运算得出加=（1一女）6+女/和3/=（4+北

进而由痴二病一心，

得到向量eV与向量八和R的关系；

（2）由（1）结合共面向量基本定理，即可得出结论.

【详解】（1）解；V-ABA-BN-AB+k^4C-AB（1-Xr}AB+kAC,

AM=攵/七=%（方|+n），

MN=AN-AM=（\-k）AB^kAC-kAA-kAC=（\-k）AB-kAA,•

（2）解：由（1）可知,MN=（1-k）AB-kAAl»

，向量而与向量成，易］共面•

19.已知空间向量"与日夹角的余弦值为逅，且同=后，W=G,令市=d-B

，n=a+2b-

⑴求不，b为邻边的平行四边形的面积S；

⑵求而，1夹角的余弦值.

【答案】（1）后；（2）-逅

6

【分析】⑴利用5=同小卜出心力算出答案即可；

（2）分别求出布.；；、|同、同的值即可.

【详解】（1）根据条件，cosG，B>=平，・・・加心内=粤;

*,•5=|a|-|S|-sin^aj^=V2x>/3=V3;

(2)而•)=(万一5)•(不+23)

=a2+a-b-2b2=2+必忌近2x3=-3;

6

I同=J("可=7^2-2ab+P力2-2+3

同=J伍+23『=72+4+12=yji;

./___\m-n-3瓜

..COS(W,W)=.,,,=—f=---7==----

'网同舟3亚6

20.如图，在多面体中，四边形力。£尸是梯形，四边形48CD为矩形，DEJ.面4BCD,AFHDE,

⑴求证：M〃平面CDE；

(2)点G为线段CD的中点,求证RG_L面DBE•

【分析】(1)建立空间坐标系。-中z,由线面垂直的判定定理可证力。面EOC,可知应为面EOC的法

向量，又。了5,:0,根据线面平行的判定定理即可证明结果；

(2)由(1)可知。£/房二()，口片：力d二()，可证。KJ_47,DBA.AG,再根据线面垂直的判定定理即

可证明结果.

【详解】(1)证明：如图，建立空间坐标系。一孙z,则41,0,0),£(0,0,2),8=(1,0,0),F(1,(U),

BF=(0,-V2,l)，

•/DEABCD,DELAD>且4Z)_LQC,

又QEcOC=O,

.・JO_LiEEDC,.・.。/:(1,0,0)为面EOC的法向量,

•・•,•・•,••・・

•；D小BF=。，，DA上BF，

又E/O平面CQE,

:.BF//平面CDE.

（2）证明：由（1）可知G0,与0,AG=&)_.一

-1万,0,OE=(0,0,2),=(1,72,0)，

\/

:.DEAG=。，DBAG=O,

:.DELAG,DBLAG

又BDcDE=D,

"面。8E.

21.如图，四棱锥P-川5CQ中，底面/8CQ是菱形，，。_1底面4?。，，£）=■,必为力。的中点，且

平面PBM1平面PDA.

⑴证明：BM1AD；

⑵求二面角M-P8-C的正弦值.

【答案】⑴证明见解析；（2）噜

【分析】（1）过。做尸”，由面面垂直性质定理可得平面户，即DE±BM，由尸口底面/反7。,

可得PQ1.8M,再根据线面垂直判定定理可得6M人平面/YM,进而得8WJ./。：

（2）由（1）结论建立合适的空间直角坐标系，假设4M=1,根据长度角度关系，找出各个点的坐标，分

别求得平面MP4和平面。尸3的法向量，根据法向量夹角的余弦值的绝对值即为二面角大小的余弦值的绝对

值，进而求出其正弦值即可.

【详解】（1）解:因为尸。_1底面力灰?。，所以PQJ.8M,

在平面产。力内过。做0EJLPM,垂足为E,如图所示：

P

AR

因为平面尸8加_1平面尸。力，交线为PM,

且有。E_LPM,OEu平面产。力，所以OE_Z平面尸8M,

因为8Mu平面PBM,从而DE1BM，

因为POriQE=。，。。u平面尸D4,Q£u平面尸04,

所以8M工平面PO4,于是4M140；

(2)以“为坐标原点，拓i为x轴正方向，砺为V轴正方向,

在平面PD4中，过“做平行于PD的直线为z轴，记|必卜1,

建正如图所示的空间直角坐标系"-xyz,

因为底面48CQ是菱形，且M为力。的中点，所以力8=4。=2.4河=2,

由(1)知BM14),所以NM8/=3(y，所以M8=百，

乂有PD=DA=2,故可得M(0,0,0),P(-l,0,2),可0,百,0),

C(-2,x/3,0),于是丽二(0,后,0),P5=(l,x/3,-2),5c=(-2,0,0),

一/、[mMB=0

设阳=(X,%zj为平面MP8的法向量，则__,

m-PB=0

Viy.=0—

即〈',取X=2,可得机=(2,0,1)；

X]+J3j，[-2Z]=0

-/、仿•胫=0

设〃