华东师大版八年级数学上册 第14章 勾股定理 单元测试（含答案解析）

第14章勾股定理

一、选择题（共13小题）

1.如图，点F在正方形ARCD内，满足NAFB=90°,AE=6,RE=8,则阴影

2.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，

它解决的数学问题是（）

周

脾

^x

A.黄金分割B.垂径定理C.勾股定理D.正弦定理

3.如图，AABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE±AC.若DE=10,AE=16,

则BE的长度为何？（）

A.10B.11C.12D.13

4.下列四组线段中，能组成直角三角形的是()

A.a=l,b=2,c=3B.a=2,b=3,c=4C.a=2,b=4,c=5D.a=3,b=4,

c=5

5.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.4,5,6D.1,正,V3

6.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为（）

A.5B.V5D.5或0

7.设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6,斜边长

为2.5,则ab的值是（）

A.1.5B.2C.2.5D.3

8.如图，若NA=60°,AC=20m,则BC大约是(结果精确到0.1m)()

A.34.64mB.34.6mC.28.3mD.17.3m

9.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB,点M、N分别在边AD、BC±,连接

BM、DN.若四边形MBND是菱形,则罂等于（)

A.|B.|C.fD.4

o0Db

10.如图，正六边形ABCDEF中，AB=2,点P是ED的中点，连接AP,则

A.2VsB.4C.V13D.Vil

11.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直

角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值（）

A.只有1个B.可以有2个

C.有2个以上，但有限D.有无数个

12.在等腰4ABC中，ZACB=90°,且AC二L过点C作直线1〃AB,P为

直线1上•点，且AP=AB.则点P到BC所在直线的距离是（）

A.1B.1或5c.1或邛D.邛或邛

乙乙乙乙

13.如图，四边形ABCD中，AB=AD,AD〃BC,ZABC=60°,NBCD=30°,

BC=6,那么4ACD的面积是（）

A.V3B.-^,C.2VsD.VV3

二、填空题（共15小题）

14.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为（-6,0）、（0,

8）.以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C,则点C的

坐标为

15.在Rt^ABC中，CA=CB,AB=9近，点D在BC边上，连接AD,若tan

ZCAD=1,则BD的长为.

16.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人

称其为“赵爽弦图”（如图（1））.图（2）由弦图变化得到，它是由八

个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方

形MNKT的面积分另ij为Si、S2、S3.若正方形EFG：T的边长为2,则S1+S2+*

17.如图是“赵爽弦图”，△ABH、ABCG>Z\CDF和aDAE是四个全等的

直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形.如果AB=10,EF=2,那么

All等于.

18.如图，在AABC中，CA=CB,AD±BC,BE±AC,AB=5,ADM,则AE=

19.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三

角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2,5,1,2.则

最大的正方形E的面积是.

20.在aABC中，ZC=90°,AB=7,BC=5,则边AC的长为.

21.如图,矩形ABCD中,E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20cm，AE=5cm,

22.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角

形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之

比为1：13,则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为

第14章勾股定理

参考答案与试题解析

一、选择题（共13小题）

1.如图，点E在正方形ABCD内，满足NAEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影

部分的面积是（）

A.48B.60C.76D.80

【考点】勾股定理；正方形的性质.

【分析】由已知得AABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边氏AB,

用S阳影部分二S正方形ABCD-SAABE求面积.

【解答】解：VZAEB=90°,AE=6,BE=8,

.••在Rt^ABE中，AB2=AE2+BE2=100,

S阴影部分二S正方形ABQ）-Sz^RBE，

=AB2-yXAEXBE

=100-^X6X8

=76.

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质.关键是判断4ABE

为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解.

2.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，

它解决的数学问题是（）

A.黄金分割B.垂径定理C.勾股定理D.正弦定理

【考点】勾股定理的证明.

【专题】几何图形问题.

【分析】“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定

理的证明.

【解答】解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问

题是：勾股定理.

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路

是利用面积证明.

3.如图，AABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE±AC.若DE=10,AE=16,

则BE的长度为何？()

A.10B.11C.12D.13

【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线.

【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半这一性质可

求出AB的长，再根据勾股定理即可求出BE的长.

【解答】W：VBE1AC,

是直角三角形，

ID为AB中点,DE=10,

/.AB=20,

VAE=16,

BE=7AB2-AE2=12,

故选C.

【点评】本题考查了勾股定理的运用、直角三角形的性质：直角三角形中，

斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性很好，难度不大.

4.下列四组线段中，能组成直角三角形的是()

A.a=l,b=2,c=3B.a=2,b=3,c=4C.a=2,b=4,c=5D.a=3,b=4,

c=5

【考点】勾股定理的逆定理.

【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可.

【解答】解：A、・・・r-22=5'32,・••不能构成直角三角形,故本选项错误；

B、・・・22+32=13W4?,・•.不能构成直角三角形，故本选项错误；

c、,.♦22+42=20^52,・♦•不能构成直角三角形，故本选项错误；

D、・..32+42=25二52,・••能构成直角三角形，故本选项正确.

故选D.

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a,

b,c满足a2+b24,那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键.

5.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.4,5,6D.1,正，加

【考点】勾股定理的逆定理.

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边

的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可.

【解答】解：A.12+2V32,不能组成直角三角形，故错误；

B、22+3M42,不能组成直角三角形，故错误；

C、42+52关6之，不能组成直角三角形，故错误；

D.12+（V2）2=（V3）2,能够组成直角三角形，故正确.

故选D.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应

先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方

和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.

6.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为（）

A.5B.V?C.V5D.5或0

【考点】勾股定理.

【专题】分类讨论.

【分析】本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分

析.

【解答】解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5,

（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为所，

故选：D.

【点评】题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析.

7.（•德宏州）设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长

为6,斜边长为2.5,则ab的值是（）

A.1.5B.2C.2.5D.3

【考点】勾股定理.

【专题】压轴题.

【分析】由该三角形的周长为6,斜边长为2.5可知a+b+2.5=6,再根据

勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值.

【解答】解：•・•三角形的周长为6,斜边长为2.5,

a+b+2.5=6,

Aa+b=3.5,①

〈a、b是直角三角形的两条直角边，

Aa2+b2=2.52,②

由①②可得ab=3,

故选D.

【点评】本题考查了勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用.

8.如图，若NA=60°,AC=20m,则BC大约是(结果精确到0.1m)()

A.34.64mB.34.6mC.28.3mD.17.3m

【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形.

【分析】首先计算出NB的度数，再根据直角三角形的性质可得AB=40m,

再利用勾股定理计算出BC长即可.

【解答】解：VZA=60°，ZC=90°，

AZB=30°,

AAB=2AC,

VAC=20m,

/.AB=40m,

RC=JAB?-ACJJ1600-400=V1200=^0V3^34.6(m),

故选：B.

【点评】此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握

在直角三角形中，30c角所对的直角边等于斜边的一半.在任何一个直角

三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

9.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB,点M、N分别在边AD、BC上，连接

BM、DN.若四边形MBND是菱形，则普等于()

mu

【考点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质.

【分析［首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直

角△ABM中三边的关系.

【解答】解：・・•四边形MBND是菱形，

AMD=MB.

・・•四边形ABCD是矩形,

AZA=90°.

设AB=B=2x-y,(中，AB'+AM2=BM\即x2+y2=(2B=2x-y=-1y,

J

•婀:7^~二3

**ID-yy"5,

D

故选：c.

【点评】此题考查了菱形与矩形的性质，以及直角三角形中的勾股定理.解

此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用.

10.如图，正六边形ABCDEF中，AB=2,点P是ED的中点，连接AP,则

A.2立B.4C.V13D.V11

【考点】勾股定理.

【分析】连接AE,求出正六边形的NF=120°,再求出NAEF=NEAF=30°,

然后求出NAEP=90°并求出AE的长，再求出PE的长，最后在RtZxAEP

中，利用勾股定理列式进行计算即可得解.

【解答】解：如图，连接AE,

在正六边形中，ZF=iX(6-2)780。=120°,

6

VAF=EF,

AZAEF=ZEAF=1(180°-120°)=30°,

AZAEP=120°-30°=90°,

AE=2X2cos30°=2X2X萍2立，

丁点P是ED的中点,

AEP=1X2=1,

在RtAAEP中，AP=^AE^EP2=7(2V3)2+12=V13.

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理，正六边形的性质，等腰三角形三线合一的

性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.

11.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直

角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值（）

A.只有1个B.可以有2个

C.有2个以上，但有限D.有无数个

【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质.

【专题】分类讨论.

【分析】两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为

直角边或者8为斜边，运用勾股定理分别求出第三边后，和另外三角形构

成相似三角形，利用对应边成比例即可解答.

【解答】解：根据题意，两条边长分别是6和R的直角三角形有两种可能，

一种是6和8为直角边，那么根据勾股定理可知斜边为10；另一种可能

是6是直角边,而8是斜边,那么根据勾股定理可知另一条直角边为2®

所以另一个与它相似的直角三角形也有两种可能，

第一种是解得x=5；

34x

第二种是蔡三号，解得x二近所以可以有2个.

3x4

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理和三角形相似的有关知识.本题学生常常漏

掉第二种情况，是一道易错题.

12.在等腰4ABC中，NACB=90°,且AOL过点C作直线1〃AB,P为

直线1上一点，且AP=AB.则点P到BC所在直线的距离是（）

A.1B.1或日近C.1或邛D.与叵或邛

【考点】勾股定理；平行线之间的距离；等腰直角三角形.

【专题】压轴题.

【分析】如图，延长AC,做PDLBC交点为D,PE1AC,交点为E,可得

四边形CDPE是正方形，则CD=DP二PE=EC；等腰RtZiABC中，ZC=90°,

AC=1,所以，可求出BC=1,AB=亚，又AB=AP；所以，在直角4AEP中，

可运用勾股定理求得DP的长即为点P到BC的距离.

【解答】解：①如图，延长AC,做PDLBC交点为D,PELAC,交点为E,

VCP//AR,

.,.ZPCD=ZCBA=45°,

・•・四边形CDPE是正方形，

则CD=DP=PE=EC,

・.•在等腰直角^ABC中，AC=BC=1,AB=AP,

**•AB=心2+]J^J~2,

AAP=V2;

・•・在直角AAEP中，(1+EC)2+EP2=AP2

J(1+DP)2+DP2=(72)2,

解得，DP=亚尸；

②如图，延长BC,作PDLBC,交点为D,延长CA,作PELCA于点E,

同理可证，四边形CDPE是正方形，

ACD=DP=PE=EC,

同理可得,在直角△AEP中，(EC-1)2+Ey=Ap2,

・・・(PD-1)2+PD2=(V2)2,

解得，PD二夸乜；

故选D.

【点评】本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到

直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了学生的空间想象能力.

13.如图，四边形ABCD中，AB=AD,AD〃BC,ZABC=60°,ZBCD=30°,

BC=6,那么AACD的面积是（）

_____D

A.V3B.与C,2VSD.IV3

【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形.

【专题】计算题.

【分析】如图，过点A作AE_LBC于E,过点D作DF_LBC于F.构建矩形

AEFD和直角三角形，通过含30度角的直角三角形的性质求得AE的长度，

然后由三角形的面积公式进行解答即可.

【解答】解:如图，过点A作AEJ_BC于E,过点D作DFJ_BC于F.设AB=AD二x.

又..,AD〃BC,

・・・四边形AEFD是矩形，

AAD=EF=x.

在RtZ\ABE中，ZABC=60°,则NBAE=30。,

ABE=1AB=^-X,

DF=AE=7AB2-BE2=2yX,

在RtZ\CDF中,ZFCD=30°,则CF=DF・cot30。=-1x.

又・・,BO6,

・・・BE+EF+CF=6,Ep|x+x+|x=6,

解得x=2

・••△ACD的面积是:|AD・DF得xX字x=*X2?=加，

故选：A.

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积以及含30度角的直角三角

形.解题的难点是作出辅助线，构建矩形和直角三角形，目的是求得4ADC

的底边AD以及该边上的高线DF的长度.

二、填空题（共15小题）

14.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为（-6,0）、（0,

8）.以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C,则点C的

【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，因为OC=AC

-AO,所以0C求出，继而求出点C的坐标.

【解答】解：・・,点A,B的坐标分别为（-6,0）、（0,8）,

AA0=6,BO=8,

•••ABMM+B产10,

・・♦以点A为圆心，以AB长为半径画弧，

AAB=AC=10,

A0C=AC-AO=4,

:交x正半轴于点C,

・••点C的坐标为（4,0）,

故答案为：（4,0）.

【点评】本题考查了勾股定理的运用、圆的半径处处相等的性质以及坐标

与图形性质，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长.

15.在Rt^ABC中，CA=CB,AB=9正,点D在BC边上，连接AD,若tan

ZCAD=1,则BD的长为6.

J

【考点】勾股定理：等腰直角三角形；锐角三角函数的定义.

【分析】根据等腰直角三角形的性质可求AC,BC的长，在RtZSACD中，

根据锐角三角函数的定义可求CD的长，BD=BC-CD,代入数据计算即可求

解.

【解答】解：如图，:在RtaABC中，CA=CB,AB=9近，

ACA2+CB2=AB2,

・・・CA=CB=9,

•・•在RSACD中，tanZCAD=4，

J

ACD=3,

ABD=BC-CD=9-3=6.

故答案为：6.

【点评】综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的

定义，线段的和差关系，难度不大.

16.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人

称其为“赵爽弦图”（如图（1））.图（2）由弦图变化得到，它是由八

个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方

形MNKT的面积分别为S-S2>S3.若正方形EFGH的边长为2,则S1+S2+S3=

12

图⑴

【考点】勾股定理的证明.

【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD,EFGH,MNKT是正方形,

222

得出CG=KG,CF出G=KF,再根据S尸(CG+DG),S2=GF,S3=(KF-NF),

2

S1+S2+S3=12得出3GF=12.

【解答】解：・・•八个直角三角形全等，四边形ABCD,EFGH,MNKT是正方

形,

ACG=KG,CF=DG=KF,

・・・S产(CG+DG)2

CG2+DG2+2CG-DG

=GF2+2CG*DG,

2

S2=GF,

222

S3=(KF-NF)=KF+NF-2KI-NF,

22222

AS,+S2+S3=GF+2CG-DG+GF+KF+NF-2KF*NF=3GF=12,

故答案是：12.

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正

2

方形、全等三角形的性质，根据已知得出S.+S2+S3=3GF=12是解题的难点.

17.如图是“赵爽弦图”，△ABH、ABCG>ZXCDF和ADAE是四个全等的

直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形.如果AB=10,EF=2,那么

AH等于6.

【考点】勾股定理的证明.

【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a-b=2,解得a,b的值代

入即可.

【解答】解：・.・AB=10,EF=2,

・・・大正方形的面积是100,小正方形的面积是4,

・•・四个直角三角形面积和为100-4=96,设AE为a,DE为b,即4X|ab=96,

A2ab=96,a2+b2=100,

・・・（a+b）2=aW+2ab=100+96=196,

:.a+b=14,

*/a-b=2,

解得：a=8,b=6,

.\AE=8,DE=6,

/.AH=8-2=6.

故答案为：6.

【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的

运用解得ab的值.

18.如图，在△ABC中，CA=CB,AD±BC,BE±AC,AB=5,AD=4,则AE=_

【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.

【分析】根据等腰三角形的性质可知：两腰上的高相等所以AD二BE二4,再

利用勾股定理即可求出AE的长.

【解答】解：二•在△ABC44,CA=CB,AD±BC,BE±AC,

.♦.AD=BE=4,

VAB=5,

.*.AE=7AB2-BE2=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，题目比较简

单.

19.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三

角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2,5,1,2.则

最大的正方形E的面积是10.

【考点】勾股定理.

【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A,B,

C,D的面积和即为最大正方形的面积.

【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为Si,C、D

的面积和为S2,S1+S2=S3,于是S36+S2,

即S