二次函数与一元二次方程、不等式-人教A版高中数学必修第一册（原卷版+解析）

第08讲二次函数与一元二次方程,不等式

【人教A版2019】

1.一元二次不等式

一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二

次不等式的一般形式是a/+Zur+oO或al+Ax+yO,其中b,<?均为常数，aWO.

2.一元二次不等式的解法

(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：

①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；

②计算对应方程的判别式；

③求山相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；

④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.

⑵解含参数的一元二次不等式的一般步骤：

①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于。进行讨论;

②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式/进行讨论；

③若求出的根中含有参数，则应对两极的大小进行讨论.

考点剖析

【考点1不含参的一元二次不等式的解法】

【例1.1](2023・全国,高一假期作业)不等式3炉―7%+2>0的解集是()

A.&2)B.(-2,-0C.(-oo,l)U(2,+oo)D.(-co,-2)U(-1,+oo|

【例1.2](2023•全国•高一假期作业)不等式式2-切>3的解集是()

A.{x|-1<x<3}B.{x|-3<x<1}

C.{x|x<-3或x>1}D.0

【变式1.1】(2023秋•四川泸州•高一统考期末)不等式2--x-1V0的解集是()

A.(一吗)B.(-1,2)C.D.(-2,1)

【变式1.2](2023•全国•高三专鹿练习)不等式|5x6的解集为()

A.[x\x<2,或%>3}B.{x|-1<xV2,或3Vx<6}

C.{x|-1<x<6}D.{x|2<x<3}

【考点2含参的一元二次不等式的解法】

【例2.1](2023•高一课时练习)若0V£VI,则不等式。一公[一3Vo的解集是()

A.G，£)B.(-8,0u9+8)C.(-8,一§u1，+8)D.

【例2.2](2023•辽宁沈阳•统考三模)不等式一(a+2)r+2N0(。<0)的解集为()

A-B.[l,i]

C.(-8,：]U[1,+8)D.(-8,l]u[：,+8)

【变式2.1](2023•全国•高三专题练习)关于X的不等式Q—+加+cvo的解集为(-3,1),则不等式b/+

ax+c<0的解集为()

A.(1,2)B.(-1,2)C.(-pl)D.

【变式2.2](2023春・河南•高一校联考阶段练习)已知a,b,c6R,且QH0,关于x的不等式a/+bx+c>0

的解集为(一3,2),则关于x的不等式ex?+Q%+b>0的解集为()

A-(-0B.(-器)

C.(_8,—§U&+8)D.(-oo,-1)uQ,+oo)

【考点3解简单的分式不等式】

(tt3.ll(2023•全国•高三专题练习)不等式产N0的解集为()

2+x

A.[-2,1]B.(-oo,-2)U[l,+oo)

C.(—2,1]D.(—co,-2]U[1,+oo)

【例3.2](2022秋•高一单元测试)不等式吃工2的解集是()

X-1

A.(―co,1)B.[2,+oo)

C.[1,2]D.(1,2]

【变式3.1]（2022秋.陕西商洛・高三联考期中）不等式产三22的解集是（）

A.[-|,3]B.屋3]C.g,2）U（2,3]D.[|,2）U（2,3]

【变式3.2]（2022秋•高一课时练习）若关于％的不等式以-匕>0的解集是（-8,-1）,则关于工的不等式

竺?>0的解集是（）

X-1

A.（一8,0）B.（l,+oo）

C.（-oo,-l）u（0,1）D.（-8,1）

【考点4由一元二次不等式的解确定参数】

（ft4.1]（2023・湖南长沙•高二校考学业考试）若关于x的不等式2a/-4%〈办一2只有一个整数解，则

实数。的取值范围是（）

A.a<1B.1<a<2C.1<a<2D.-1<a<1

[ft4.2]（2023,全国•高一专题练习）已知不等式a/—5x+b>0的解集是向一3Vx<—2},则a+b的

值为（）

A.-7B.7C.D.1

【变式4.1]（2023•高一课时练习）关于x的不等式/一2ax-8a2Vo的解集为（%1，孙），且%2-工1=12,

则实数。的值等于（）

A.—2B.2C.±2D.—1或2

【变式4.2】（2023秋・江苏扬州•高一期末）若关于x的不等式/-（血+3）x+3m<0的解集中恰有3个正

整数，则实数机的取值范围为（）

A.5<m<6B.5<zn<6C.6<m<7D.6<m<7

【考点5一元二次不等式恒成立问题】

【例5.1]（2023•全国•高一假期作业）已知不等式+4Vo对任意实数x恒成立，贝J?n的取值范

围是（）

A.{m|-l<m<0}B.{m|-l<?n<0}

C.{叫血式-1或m>0}D.{ml—1<m<0}

【例5.2]（2023春・广西防城港•高一统考期中）“关于x的不等式M-2ax+a>。对V%GR恒成立”的一个

充分不必要条件是（）

A.0<a〈lB,0<a<2C.0<a<lD.a>0

【变式5.1]（2023•全国•高一假期作业）若不等式以1+乃4/+3对于X6[0,+8）恒成立，则实数。的取

值范围是（）

A.[0,3]B.[0,2]C.（-oo,2]D.（-oo,3]

【变式5.2]（2023春・云南文山•高一校联考期中）已知不等式+bx+c>0的解集为卜|-2<x<3},

且对于V%€[1,5],不等式匕/+amx+2c>0恒成立，则m的取值范围为（）

A.（-OO.4V3]B.（-00,4\/3）C.[13,+8）D.（-8,13）

【考点6一元二次不等式的实际应用】

【例6.1]（2023•全国•高一假期作业）学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种

植花卉（花卉带的宽度相等），中间设草坪（如图）.要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的取

值范围.

【例6.2]（2023春♦山东滨州福二校考阶段练习）某商场新进•批风衣，在市场试销中发现，此风衣的销

售价〃（元/件）与日销售量x之间的关系为〃=160—2小总成本R为（5OO+3OA）元，该商场的日销售量

在什么范围时，每天获得的利润不少于1300元？

【变式6.1]（2023•高一课时练习）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000】、.根据预测，汛期时

水库的进水量S〃（单位：nf）与天数九（九EAT）的关系是5„=500061（九+t）（?i工10）,水库原有水量为

80C00m\若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000]3时系统就会自动报警提

醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报

(1)求t的值；

⑵当汛期来临第•天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理

由.

【变式6.2](2022秋・北京•高一校考阶段练习)如图所示，已知边长为8m的正方形钢板有一个角被锈蚀,

其中A£=4m,CO=6m.为了合理利用这块钢板，将在五边形/内截取一个矩形块BNPM,使点P在

边DE上.

(1)设MP=xm,矩形8NPM的面枳为Sn?,试写出工的取值范围及S与x的关系式;

(2)要使矩形BNPM的面积不小于42m2,试求％的取值范围.

模块二二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系O

基础知识

1.二次函数的零点

一般地，对于二次函数y=ax-+Z?x+c,我们把使的实数x叫做二次函数丁=加+以+c的零

点.

【注】：（1）二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标.

（2）一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.

2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

△〉0△=0△V0

VyV

\/

\l\\

y=a.i2+ZLT+C1/

（a>0）的图象A。产

J一

Jo*产品XOX

有两个相等

有两个不相等的实数根

ax2,+〃.r+c=O没有实

的实数根

力=/2

(a>0)的根数根

.F],小（Q<丁2）

=:―b

2a

{MiVl],

。才2+〃1+。>0{川]力一?}

R

Q>0）的解集或x2}LU

ax2++rVO

{/111V.rVj"2}00

(a>0)的解集

【注】：（I）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取

两边，小于取中间.

（2）对于一次项系数是负数（即a<0）的不等式，可以先把一次项系数化为正数,再对照上述情况求解.

考点剖析

【考点1三个“二次”关系的应用】

[ft1.1]（2022秋・江苏盐城・高一•校联考期中）已知不等式。/+板一1>o的解集为（3,4）,则24a+⑵的

值是（）

A.3B.4C.5D.6

【例1.2]（2022•全国•高一专题练习）二次方程Q/+"+C=0（。>0）的两根为2,-3,那么关于文的不

等式ax?+bx+c>。的解集为（）

A.>3或x<—2]B.>2或x<—3]

C.{x|-2<x<3]D.{x|-3<x<2}

【变式11】（2022秋,吉林长春•高一校考期中）如图是函数y=ax2+bx+c的图象，则不等式a/+故+。>

0的解集为（）

y

A.{x\x>2]B.{x\x>—2}C.{x|x<-2或x>Z}D.[x\-Z<x<2]

【变式1.2】（2022秋・江苏苏州•高一校考阶段练习）若不等式a/+hx+c>。的解集为{为|-2<%<1）,

那么不等式以/+1）+匕。_1）+。。>3ax的解集为（）

A.{%|1<x<3}B.{x\x<-3或7>1]

C.{x|-3<%<1}D.{%|-1<x<3}

模块三课后作业OJ

1.（2023・江苏•高一假期作业）不等式%（%-9）<x-21的解集为（）

A.（3,7）B.（-8,3）U（7,+8）

C.（—7,—3）D.（—8,—7）U（—3,+8）

2.（2023・全国•高一专题练习）若£>1,则关于“的不等式。一工）卜一》>0的解集是（）

A.<x<tjB.卜|%<：或=>£}C.{%[%<£或%>，}D.1x|t<^<7}

3.（2023・全国•高三专题练习）下列说法正确的是（）

A.式>0等价于。-a）（x-b）>0

B.若不等式ax?+加；+。vo的解集为（与,X2）,则必有a>0

C.不等式/<Q的解集为[一份，乐]

D.若方程a/+打+。=O（Q<0）没有实数根，则不等式Q/十以+。>。他<0）的解集为R

4.（2023•全国•高三专题练习）已知一次函数y=ax2+bx+。的图像如图所示，则不等式a/十8无+c>0

A.(—2,1)B.(—8,—2)U(1,+8)C.[-2,1]D.(-co,-2]U[1,4-co)

5.(2023.全国•高三专题练习)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花

园(阴影部分)，则图中矩形花园的其中一边的边长x(单位：m)的取值范围是()

A.{%|15<%<20}B.{x|12<x<25}

C.{x|10<x<30}D.{x|20<x<30}

6.（2023春♦湖南•高一校联考期中）若“%2+3%-4V0”是_（3m+3）x+2m2+3m>0”的一个充分

不必要条件，则实数m的取值范围是（）

A.?n<—4或力I>1D.m<—4或力i>—3

C.m<-1或m>4D.m<-3或zn>4

7.（2023・全国•高一专题练习）关于x的不等式/—2QX—8a2<0解集为（力/2），且好一慰=15,则实

数a=（）

8.(2023・全国•高一专题练习)若关于x的不等式/一4%-2—aW0有解，则实数a的取值范围是()

A.{a\a>—2}B.{a\a<-2}C.{a\a>—6}D.{a\a<—6}

9.(2023春・山东聊城•高二校联考阶段练习)关于实数x的一元二次不等式a/+以+c>0的解集为(一2,1),

则不等式a(/+1)+b(x+1)+c<3ax的解集为()

A.(0,2)B.(-oo,0)

C.(2,+8)D.(-oo,0)U(Z,H-oo)

10.(2023秋・江苏淮安•高一校考期末)任意工£[-1,1],使得不等式/一工+：之6恒成立.则实数加取值范

围是()

A.m>-B.m<-C.(-1D.m<2

4414J

11.(2022秋•陕西西安•高三校考阶段练习)解不等式:

(l)-x244xI5>0；

(2)x2—2ax<—a2+1：

⑶户>3.

12.(2023・高一课时练习)利用函数与不等式的关系.

⑴若不等式Q/-5x+b>0的解集为(号,?，求不等式a/+Sx+b<0的解集;

(2)若不等式a/+bx+c>0的解集为(1,2),求不等式c/-bx+a>0的解集.

13.(2023春・天津南开•高二校考阶段练习)已知函数/(幻=ax2+bx-a+2

(1)若关于x的不等式/(%)>0的解集是(一1,3),求实数Q,b的值；

(2)若b=2,a>0,解关于工的不等式/(%)>0.

14.(2022秋・广东佛山•百一校考阶段练习)某单位在对一个长80m,宽60m的矩形空地进行绿化，设计

方案初步确定为：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示.若要保证绿草坪的面积不小于总面

积的一分之一，求花坛宽度x(m)的取值范围.

15.(2022•高一课时练习)已知不等式/+px>4x+p-4.

(1)若不等式在24%W4时有解，求实数p的取值范围；

(2)若不等式在0<p<6时恒成立，求实数》的取值范围.

第08讲二次函数与一元二次方程、不等式

【人教A版2019】

1.一元二次不等式

一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二

次不等式的,般形式是aF+bx+c>0或012+瓜+(?<0,其中a,b,。均为常数，aWO.

2.一元二次不等式的解法

(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：

①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；

②计算对应方程的判别式；

③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；

④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.

⑵解含参数的一元二次不等式的一般步骤：

①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；

②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式/进行讨论；

③若求出的根中含有参数，则应对两极的大小进行讨论.

考点剖析

【考点1不含参的一元二次不等式的解法】

【例1.1](2023・全国,高一假期作业)不等式3-―7%+2>0的解集是()

A.&2)B.C.(-8,加(2,+8)D.(-co,-2)U(-1,+oo|

【解题思路】由因式分解结合•元二次不等式的解的特征即可求解.

【解答过程】由37-7x+2>0得(％-2)(3%-1)>0,解得“<工或%>2,

3

故不等式的解为(-8,：)U(2,+oo),

故选：c.

【例1.2](2023・全国•高一假期作业)不等式武2-外>3的解集是()

A.{x|-1<x<3}B.{x|-3<x<1}

C.{x|xV-3或%>1}D.0

【解题思路】将不等式化为/-2x+3V0再解一元二次不等式可得答案.

【解答过程】将不等式化为/-2无+3<0,由于对应方程的判别式A=4-12<0,

所以不等式式2-x)>3的解集为。.

故选:D.

【变式1.1](2023秋•四川泸州•高一统考期末)不等式2一一“一1<0的解集是()

A.(一1*)B.(-1,2)C.(―1)D.(—2,1)

【解题思路】利用了一元二次不等式的解法求解.

【解答过程】解：不等式2/一“一1<0,可化为(％-1)(2%+1)<0,解得一：VxVl,

即不等式27一工一1v0的解集为(一表1).

故选：C.

【变式1.2](2023•全国•高三专题练习)不等式|5%-％2]<6的解集为()

A.[x\x<2,或%>3}B.{%|-1<%<2,或3cx<6}

C.{x|-1<x<6}D.{x\2<%<3]

【解题思路】按照绝对值不等式和•元二次不等式求解即可.

【解答过程】解：-6〈5%-/<6

.产y八sr、2=-1VXV2或3Vx<6

(r2-5x+6>05V2或%>3

则不等式的解集为：{8一1<%<2或3V%V6}

故选：B.

【考点2含参的一元二次不等式的解法】

【例2.1](2023・高一课时练习)若0<£<1,则不等式(％-£)&一3〈0的解集是()

A.G")B.(-8,t)u9+8)C.(-co,-1)U(-t,+co)D.(")

【解题思路】由一元二次不等式的特征即可求解.

【解答过程】由于0Vt<l,所以所以不等式0-力(、-：)<0的解集(£，5,

故选:D.

【例2.2］（2023•辽宁沈阳•统考三模）不等式。/一（。+2）工+220（（1<0）的解集为（）

aYHB.层］

C.（-8昌”1,+8)D.(-oo,1]U4-co)

【解题思路】根据一元二次不等式的解法即可求解.

【脩答过程】解：原不等式可以转化为：（x-l）（ax-2）>0,

当aV0时，可知-1）W0,对应的方程的两根为1,

根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：

故选：A.

【变式2.1】（2023•全国•高三专题练习）关于％的不等式a炉+加+CVO的解集为（一3,1）,则不等式b/+

ax+c<0的解集为（）

A.（1,2）B.（-1,2）C.D.（一打）

a>0

-3+1=一£,得到a,b,c的

-3x1=-

（a

关系，代入不等式化简求解.

a>0

一3+1=一公，得b=2a,c=-3a,

-3x1=-

（a

则不等式b/+aX+cv0=2ax2+ax-3a<0»

BP2x24-x—3<0»解得：—

所以不等式的解集是（-a1）

故选：D.

【变式2.2］（2023春・河南•高一校联考阶段练习）已知a,b,cER,且aH0,关于式的不等式a/+/）%4-c>0

的解集为（一3,2）,则关于x的不等式c/+ax+b>0的解集为（）

C.(-8,-§U&+8)D.

【解题思路】根据二次不等式的解集与二次方程的根的关系，利用韦达定理可得a,b,c关系，代入所求不等

式解不等式即可.

【解答过程】因为不等式。产+族+c>0,a丰0的解集为(一3.2),

—=-3+2=-1f卜一门

所以aV0且,。即[。一,，

£=-3x2=-6(C=-6a

\a

不等式c/+ax+b>0等价于一6。/+QX+Q>0,

Bp6x2—x—1>0,(2x—l)(3x-I-1)>0,解得％或

所以不等式ex?+ax+b>0的解集为：(一8,—[)UQ,+8),

故选：C.

【考点3解简单的分式不等式】

【例3.1](2023.全国•高三专题练习)不等式累20的解集为()

A.[-2,1]B.(-oo,-2)U[l,+co)

C.(—2,1]D.(―oo,-2]U[1)4-00)

【解题思路】将分式不等式化为整式不等式，由一元二次不等式的解法求解即可.

【解答过程】原不等式可化为｛(1_科：肝？0，即产_现：：于0，解得-2c%W1.

故选：C.

【例3.2](2022秋•高一单元测试)不等式£工2的解集是()

A.(—co,1)B.[2,+8)

C.[1,2]D.(1,2]

【解题思路】转化为一元二次不等式解出即可.

【解答过程】不等式三；N2可化为三；一220,即

x-1x-lX-1

等价于0

解得1VXW2

所以不等式的解集为(1,2].

故选：D.

【变式3.1](2022秋.陕西商洛高三联考期中)不等式户三22的解集是()

A.[-|,3]B.[冽C.g,2)U(2,3]D.[|,2)U(2,3]

【解题思路】根据分式不等式和一元二次不等式的求法，计算即可.

【解答过程】原不等式可化为空匕2守=(二+35：-3)=0,

有(一2%+3)(%-3)>0且％-2工0,解得曰<x<3且XH2.

故选：D.

【变式3.2](2022秋•高一课时练习)若关于工的不等式以一匕>0的解集是(一8,-1),则关于为的不等式

竺?>0的解集是()

X-1

A.(—8,0)B.(1,4-00)

C.(-oo,-l)U(0,1)D.(-00,1)

【解题思路】依题意可得Q<0且色=-1,即可将不等式喀丝〉0化为卫*V0,利用数轴标根法计算可

ax-1x-1

得.

【解答过程】因为关于％的不等式以一b>0的解集是(一8,-1),所以QV0,且£=一1，

即6=-a,

所以不等式竺*>0,即竺”2>0,即时口<0,

x-1x-1X-1

等价于%(%+1)(%-1)<0,

利用数轴标根法可得不<一1或0V无<1,

即关于"的不等式生更>0的解集是(一8,-1)U(0,1).

X-1

故选：C.

【考点4由一元二次不等式的解确定参数】

【例4.1】(2023•湖南长沙•高二校考学业考试)若关于x的不等式2公2一轨<。X一2只有一个整数解，则

实数。的取值范围是()

A.-<a<1B.1<a<2C.1<a<2D.-1<a<1

2

【解题思路】分a=0,a>0,aVO讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可.

【解答过程】不等式2a/—4x<ax-2化为2a——(4+a)x+2<0,即(2%-l)(ax-2)<0»

当a=0时，不等式化为（2%-1）（一2）<0,得有无数个整数解，不符合题意；

当a>0时，由关于x的不等式2aM-4xVQX-2只有一个整数解，可知二V?,

2a

不等式（2%-l）（ax-2）<0的解为：V%Vg由题意，1<?工2,解得1WQ<2；

当aVO时，不等式（2%-l）（ax-2）<0的解为>或有无数个整数解,不符合题意.

综上，实数a的取值范围是14a<乙

故选：C.

【例4.2]（2023•全国•高一专题练习）己知不等式a/-5%+b>0的解集是｛%|-3V%V-2）,则a+b的

值为（）

A.-7B.7C.--7D.-7

【解题思路】先将题目转化为-3和-2为方程以2一5"+8=0的根，且a<0,再结合韦达定理即可求解.

【解答过程】由题意，不等式Q%2—5x+b>0的解集是｛百—3<%<-2｝,

则-3和-2为方程Q/一5%+b=0的根，且QV0,

s

-3-2=

即ab，解得a=b=-6,

—3x(—2)=z

所以a+b=—7.

故选：A.

【变式4.1]（2023・高一课时练习）关于刀的不等式％2-2ax-8a2Vo的解集为（孙％2），且超一%1=12,

则实数〃的值等于（）

A.-2B.2C.±2D.一1或2

【解题思路】分a>0和aV0两种情况解不等式，再结合已知求解即可.

【解答过程】解：因为/一23一8a2=a-4Q）（x+2a）vO

所以，当a>0时，不等式无2-2QX-8a2<o的解集为（工1，工2）=（-2a,4a）,所以不-与=6a=12,解得

Q=2,

当a<0时,不等式%2—2ax-8a2<。的解集为（%],小）=（4a,-2a）,所以&一=-6a=12.解得a=-2,

所以，实数〃的值等于±2

故选:C.

【变式4.2】（2023秋・江苏扬州•高一期末）若关于x的不等式/一（机+3）x+3m<0的解集中恰有3个正

整数，则实数小的取值范围为()

A.5<771<6B.5<m<6C.6<m<7D.6<m<7

【解题思路】由题设可得。-3)(尤-小)<0,讨论m,3的大小关系求解集，并判断满足题设情况下加的范

围即可.

【解答过程】不等式/-(/n+3)x+3m<0,即(x-3)(x-m)<0,

当m>3时，不等式解集为(3,m),此时要使解集中恰有3个正整数，这3个正整数只能是4,5,6,故6<m<7；

当加=3时，不等式解集为0,此时不合题意；

当加<3时，不等式解集为(m,3),显然解集中不可能有3个正整数，故不合题意；

故实数机的取值范围为(6,7].

故选：C.

【考点5一元二次不等式恒成立问题】

【例5.1](2023•全国•高一假期作业)已知不等式“1/十47心一4<0对任意实数尤恒成立，则“i的取值范围

是()

A.{m\-l<m<0}B.{m|-l<m<0}

C.{m\m<-1或m>0]D.{m|-1<m<0]

【解题思路】分m=0和血,0,结合二次函数的图象分析得解.

【解答过程】①若m=0,则一4<0恒成立，满足题意;

②…叽=16黑鼠<0,

・4,“八

tm<0..-1<m<0.

-1<m<0

综上所述一1<mW0.

故选：D.

【例5.2](2023春・广西防城港•高一统考期中)“关于工的不等式/一2QX+a>0对VxeR恒成立”的一个

充分不必要条件是()

A.0<"1B.0<a<2C.0<a<|D.a>0

【解题思路】利用充分条件、必要条件的判断即可求得结果.

【解答过程】由“关于%的不等式%2—2ax+a>0对VxGR恒成立“，可得A=(—2a)2—4a<0,

解得0VaV1,则“0<a<1"的一个充分不必要条件是0Va<?.

故选:C.

【变式5.1]（2023•全国•高一假期作业）若不等式。（1+切4/+3对于X6[0,+8）恒成立，则实数。的取

值范围是（）

A.[0,3]B.[0,2]C.（-oo,2]D.（-oo,3]

【解题思路】原不等式可化为QW詈，设/（%）=詈.只需求出/（%）在工工0时的最小值，即可得出答案.

【解答过程】原不等式可化为a4詈，

设%）=宗

则f（X）=人与：2+4=X+1+京一2N2/诟g_2=2,

当且仅当％+1=京，且3工0,即％=1时，函数/（公有最小值为2.

因为QW/O）恒成立，所以a&2.

故选：C.

【变式5.2]（2023春・云南文山•高一校联考期中）已知不等式以2+bx+c>0的解集为卜|-2<x<3},

且对于V%£[1,5],不等式b/+GTix+2c>0恒成立，则m的取值范围为（）

A.（一8,4百]B.（一8,4百）C.[13,+oo）D.（-oo,13）

【解题思路】由不等式的解集为"I-2<x<3}知可用Q表示b,c,代入以2+amx+2c>0中并用参数分

离与基本不等式求得m的取值范闺.

【解答过程】由不等式。/+5%4.（7>0的解集为{.丫|一2（工<3},可知一2,3为方程。避+加:+。=0的两

个根，

故a<0且一2=-24-3=1,-=（-2）x3=-6,即8=—a,c=-6a,

aa

则不等式b/+amx+2c>0变为一a/+amx_12a>0,

由于a<O,xe[1,5],则上式可转化为m<x+苫在[1,5]恒成立，

又乂十竺二2卜•丝=4旧,当且，又当x=2遮时等号成立，

xy]x

故m<4y/3.

故选:B.

【考点6一元二次不等式的实际应用】

【例6.1]（2023・全国•高一假期作业）学校要在•块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化,四周种

植花卉（花卉带的宽度相等），中间设草坪（如图）.要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的取

值范围.

【解题思路】设花卉带的宽度为工米，则草坪的长和宽分别是（40-2幻米，（30-2幻米，由面积关系列不

等式，化简后解一元二次不等式得答案.

【解答过程】设花卉带的宽度为工米，则草坪的长和宽分别是（40-2公米，（30-2幻米，

'（40-2x）（30-2x）>|x40x30仔工5或％230

40-2x>0,所以120,解得0vxM5

30-2x>0xv15

|x>0Ix>0

故花卉带宽度的取值范围为（0,5］（单位：米）.

【例6.2］（2023春・山东滨州•高二校考阶段练习）某商场新进一批风衣，在市场试销中发现，此风衣的销

售价〃（元/件）与日销售量x之间的关系为〃=160—2x,总成本/?为（500+3QV）元，该商场的日销售量

在什么范围时，每天获得的利润不少于1300元？

【解题思路】用销售价p乘以件数无减去成本得利润，然后列不等式求解.

【解答过程】由题意（160-2x）x-（500+30%）21300,解得204工工45.

所以该商场的口销住量在20~95时,每天获得的利润不少于1300元.

【变式6.1］（2023•高一课时练习）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为1280001、.根据预测，汛期时

水库的进水量S〃（单位：i3）与天数以九w/V）的关系是Sn=5000g；5+1）5工I。），水库原有水量为

80C00m\若水闸开闸泄水，则每天可泄水400017；水库水量差最大容量23OOOn?时系统就会自动报警提

醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报

警.

⑴求必值；

（2）当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理

由.

【解题思路】（1）根据条件可建立方程128000-80000-5000,1x（（+。=23000,解出即可；

（2）设第八天发生危险，由题意得5000Vn（n+24）-4000n>128000-80000,解出此不等式，然后可

得答案.

【解答过程】(1)由题意得：128000-80000-5000/1X(1+t)=23000,

即t=24

（2）由（1）得Sn=5000JH（I+24）（几<10）

设第n天发生危险，由题意得50004i（n+24）-4000n>128000-80000,即n?+24n-256>0,得n>

8.

所以汛期的第9天会有危险.

【变式6.2］（2022秋・北京•高一校考阶段练习）如图所示，已知边长为8m的正方形钢板有一个角被锈蚀，

其中4E=4m,CO=6m.为了合理利用这块钢板，将在五边形内截取一个矩形块BNPM,使点P在

边DE上.

（1）设MP=xm,矩形8NPM的面积为Snf,试写出入的取值范围及S与％的关系式：

⑵要使矩形8NPM的面积不小于42m2,试求％的取值范围.

【解题思路】（1）设PN=y,利用三角形相似得到丫=-：％+10,再根据面积公式计算可得：

（2）依题意得到不等式S=—-10）2+50242,求出工的取值范围，再根据（1）中工的取值范围计算

可得；

【解答过程】（1）

解：设PN=y,作PQ14产于Q,所以PQ=8—y,EQ=x-4,

因为△EOF7EPQ,所以监二意所以B=%

所以y=+10,

设矩形BNPM的面积为S,^]S=xy=x(10-(x-10)2+50,xG[4,8]；

(2)

解：依题意S=-“％-10)2+50242,解得64x414,

又4WxW8，

所以6WXW8,故x的取值范围为[6,8].

1.二次函数的零点

一般地，对于二次函数juor-Z^+c,我们把使加+bx+c=0的实数x叫做二次函数ynai+bx+c的零

点♦

【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标.

(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.

2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

△〉0△=0△V0

VyV

\\

y=a.i2+ZLT+C

(a>0)的图象J

1o\L~oX

有两个相等

有两个不相等的实数根

ax2,+〃.r+c=0没有实

的实数根

力=/2

(a>0)的根数根

.F],小（Q<丁2）b

-2a

{MiVl],

。才2+〃/+（•>（）{川]力一?}

LUR

Q>0）的解集或x2}

ax2++rV0

{/111V.rVj"2}00

(a>0)的解集

【注】：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取

两边，小于取中间.

（2）对丁•二次项系数是负数（即〃<（））的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再而照上述情况求解.

考点剖析

【考点1三个“二次”关系的应用】

【例1.1]（2022秋・江苏盐城•高一校联考期中）已知不等式Q/+以一i>o的解集为⑶4）,则24Q+12匕的

值是（）

A.3B.4C.5D.6

【解题思路】由韦达定理即可求解.

【解答过程】由题可知：3和4是方程。/+取；一i=o的两个实数根，

（3+4=-fa=——

由韦达定理可知：《解得：\7,

13X4=?1匕/

则24Q+12b=5.

故选：C.

[ft1.2]（2022.全国.高一专题练习）二次方程ax?+b%+c=0（a>0）的两根为2,-3,那么关于为的不

等式+板+c>0的解集为（）

A.{x\x>3或％V-2}B.{x\x>2或％V-3）

C.{x|-2<x<3]D.（x|-3<x<2]

【解题思路】根据Q>0,确定二次函数y=a/+bx+c的图象开口方向，再由二次方程a/+力工+。=

0(。>0)的两根为2,-3,写出不等式的解集.

【解答过程】因为二次方程。/+/?%+。=09>0)的两根为2,-3,

又二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，

所以不等式a/+匕》+c>。的解集为{x|x>2或x<-3),

故选：B.

【变式LI】(2022秋・吉林长春•高一校考期中)如图是函数y=ax2+hx+c的图象,则不等式ad+板+c>

0的解集为()

A.{x