苏科版九年级数学上册：点与圆、直线与圆的位置关系（基础达标）

3.5点与圆、直线与圆的位置关系

题型一判断点与圆的位置关系

1.已知。。的半径为10cm,点A为平面内一点，且04=8cm,则点力与。。的位置关系是()

A.点4在。。上B.点4在0。内C.点4在O。外D.无法判断

【答案】B

【详解】vO。的半径丁=10cm,点4到圆心。的距离0/1=8cm,

:.0A<r.

点4在。0内.

2.如图，A,B,C是小区内的三栋楼，现准备在B,C的中点D处建造•个5G基站，若其覆盖范围是•

个半径为200m的圆，则这三栋楼在该5G基站覆盖范围内的是()

A.只有BB.只有A、BC.只有B、CD.A、B、C

【答案】C

【详解】解：如图，点。是BC的中点,

.03=OC=-BC=-x360=180m,

22

-AB=150m,BC=360m,AC=390m,

2

而1502+3602=152100=390,

“ABC=90°,

在Rt△408中，AB=150m,OB=180m,

••.OA=>JAB2+OB2=V1502+1802="54900>V40000=200m

即OA>200m,

又：OB=OC=180m<200m,

二点B、点C在圆的内部，点A在圆的外部.

3.已知矩形48c0,AB=4,AD=3,以点力为圆心，48为半径作。4则点。在04（填“外”“内”

【详解】解：如图：矩形力BCD,AB=4,AD=3,以点A为圆心，48为半径作。4

•••点。到圆心A的距离d=3,。4的半径丁=4,

••・d<r,

点。在04内.

4.如图，在矩形A8CD中，AB=3,AD=4.以点A为圆心作。4且使点B、C、。中至少有一个点在。A

内，同时至少有一个点在。4外，则。4的半径r应满足的条件是.

【答案】3<r<5

【详解】如图，连接AC,

AB=3,AD=4,

•••AC=5,

•••以点人为圆心作0A,使点B、C、。中至少有一个点在04内，同时至少有一个点在O力外,

••・C4的半径r的取值范围是：3<r<5.

题型二利用点与圆的位置关系求半径

I.点P到圆心。的距离为6,若点P在圆。外，则圆0的半径广满足（）

A.0<r<6B.0<r<6C.r<6D.r>6

【答案】A

【详解】解：•••点P在圆O外，

•••点P到圆心O的距离大于圆O的半径r,

•••点P到圆心。的距离为6,且圆的半径r>0,

0<r<6.

故选：A.

2.平面上的一点和0。的最近点距离为4cm,最远距离为10cm,则这个圆的半径是（）

A.7cmB.3cm或5cmC.3cm或7cmD.5cm或7cm

【答案】C

【详解】解：设点与圆心距离为与半径为，

当点在圆外时，

••,最近距离为d-r=4,最远距离为d+r=10,

二两式相加，2d=14,

即d=7>

代入d—r=4,

得丁=3；

当点在圆内时,

••,最近距离为r-d=4,最远距离为r+d=10,

二两式相加,2r=14,

解得：r=7：

•••圆的半径为3cm或7cm.

故选：C.

3.点P、Q与。。的位置关系如医所示，若OP=8,OQ=6,则00的半径可能是（）

【答案】C

【详解】解：设O。的半径为r,

•••点P在圆外且OP=8,

.,•r<8,

•••点Q在圆内且。Q=6,

'.r>6.

••・。。的半径是6〈厂<8,

••.C选项7符合题意，

故选:C.

4.如图，在RtAABC中，Z.B=90°,AB=4,BC=7,点。在边8c上，月.8。=3,连接力D.以点D为圆

心，以r为半径画圆，若点48,C中只有2个点在圆内，则丁的值可能为（）

【答案】C

【详解】解：•.28=90。，AB=4,BC=7,BD=3,

MD=7AB2+BD2=5,CD=BC-BD=4,

•••点中只有2个点在圆内，BD<CD<AD,

.,.4<r<5,

故选：C.

题型三判断直线与圆的位置关系

1.圆的半径为4cm,圆心与直线上某一点距离为4cm,则直线与圆的位置关系不可能是（）

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

【答案】A

【详解】解：••・设圆心到直线的距离为4圆的半径为r=4cm,圆心与直线上某一点的距离为4cm,

又••垂线段最短，

圆心到直线的距离d<4cm,

•••d<r

•••直线与圆相切或相交，不可能相离.

2.已知。。及其所在平面内的直线/,P为直线/上的一点，如果。0半径为3,且P0=3,那么下列对直

线:的表述不正确的是（）

A.直线2可能经过圆心。B.直线/可能与0。相交

C.直线/可能与。。相切D.直线/可能与O。相离

【答案】D

【详解】解：设。。的半径为r,圆心0到直线，的距离为d,

由题意得r=3,P为，上一点，P0=3,

•••点到直线的距离，垂线段最短，

:d<P0=3,即d<r,

・••直线与圆相离的判定条件为d>r,

.•.d不可能大于r,

•••直线，不可能与O。相离.

3.如图，乙48c=30。，点O为射线8c上一点，BO=Q,如果O。是以点。为圆心，半径为3的圆，那么

。。与直线84的位置关系是（）

A

BOC

A.相离B.相切C.相交D.不能确定

【答案】A

【详解】解：作。0_L48于点。，

=

=-20B4,

•••CO的半径为3,4>3,

••・C。与直线84的位置关系是相离.

4.如图，已知。。的半径是3,点O到一条直线的距离是2,则该直线为（）

D./4

【答案】A

【详解】解：因为点。到一条直线的距离小于。。的半径,

所以该直线与。0相交，

由图可知只有直线，1与圆相交.

故选：A.

题型四利用直线与圆的位置关系求半径的取值范围

1.已知在AABC中，Z.C=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心，r为半径作圆，若圆C与斜边48有两个公

共点，则r的取值范围是（）

A.r>-B.-<r<3C.-<r<4D.r<-

5555

【答案】B

【详解】解：NC=90°,4c=3,BC=4,

AB=yjAC2+BC2=©+42=5,

11

SMBC=-XACXBC=-X3X4=6,

乙乙

XS^ABC=^xABxd（d为C到/IB的距离），

即；x5xd=6,

.d=

当r=d=当时，圆与AB相切，有一个公共点，

当r>当时，圆与48相交，

为保证两个交点在线段48上，需rW4C=3,

12

:，-z-<r<3.

故选:B.

2.已知点/坐标为如果半径为r的。力与工轴无公共点，与y轴有公共点，那么r的取值范围是

【答案】1WrV3

【详解】解：圆心4（1,-3）到x轴的距离为|-3|=3,

由于圆与x轴无公共点，

故圆心到x轴的距离大于半径，即r<3；

圆心到y轴的距离为I,由于圆与y轴有公共点，

故圆心到），轴的距离小于或等于半径，即1：

因此，r的取值范围是14丁<3.

故答案为：14rV3.

3.如图,Rt△4BC中,以点4为圆心作©4,与BC,4c有交点（不经过点B,C两点）,乙B=90°,LC=30。.若

AB=3,则。力的半径r的取值范围是.

【详解】LB=90°,zc=30°,AB=3,

:.AC=2AH=6,

如图，当与8C相切时，半径了=八8=3,

当O4过点C时，半径r=4C=6,

由图像可得，当OA与BC,AC有交点（不经过点从C两点）时,

OA的半径r的取值范围是3<r<6.

4.如图，在RtA/WC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,。是△H8C的内心，以0为圆心，r为半径的圆与线

段48有且只有一个公共点，则r的取值范围是.

【答案】2V5<r<2V10nJcr=2

【详解】解：如图，作0D14B于。，。518。于£：,OF14c于凡连接04,0B,

则/0£C=Z.OFC=4。=90°,

四边形OEC尸是长方形，

•••。是的内心、,

•••OE=OF=OD,

四边形OECT是正方形，

:.OF=CF=OE=CE.

•••LC=90°,AC=8,BC=6,

:.AB=7AC?+BO=10,

设OE=OF=OD=h,

贝壮BC-h+-AC-h+-AB-h=-AC-BC,

2222

.h—A°BC_8x6_?

",一AC+BC+AB~8+6+10-’

:.OF=OE=CE=CF=2,

•••AF=AC-CF=6,BE=BC-CE=4,

•••OB=y/OE24-BE2=V22+42=2通，OA=>JOF2+AF2=V224-62=2710,

当r=2时，。。与线段AB有且只有一个公共点，

当2<rW2伤时，。。与线段4B有两个公共点，

当2遥VrW2m时，。。与线段48有且只有一个公共点，

当时，。。与线段力8没有公共点，

综上可知，r的取值范围是2通VrW2同或r=2.

故答案为：2通或r=2.

题型五切线的证明

1.如图，为。0的直径，点D,E为。0上的两个点，延长4。至C,使4C8D=4E,连接BE交AD于点工

求证：8C是。。的切线；

证明：为。。的直径,

“ADB=90°,

心+/.DBA=90°,

•；BD=BD,

•••z.4=Z.E,

♦:乙CBD=Z-E,

：zCBD=乙4,

乙CBD+乙DBA=90°,

:.AB1BC,

••.BC是OO的切线.

2.如图，AB是。。的直径，力。是。。的弦，点。是糜的中点.过点。作DE交力。的延长线F点

E.四边形/C/G内接于。0,CF是。0的直径，连接4F,CG.

G

（1）若配二糜，求NB4C的度数；

（2）求证：DE是。。的切线.

【答案】=4S。：（2）见解析

【详解】（1）解：如图，连接8c.

G

-AB是。。的直径,

.•.乙4c8=90°.

-AC=糜，

•-AC=BC,

则AABC是等腰直角三角形.

：.LBAC=45。；

（2）证明：如图，连接AD,BC.

Ih

DE

•.•点。是糜的中点，

•••0D1BC,

••ZACB=90°,

•••ODIIAC,

,-DE1AC,

.•.OD1DE,

•••OD是O。的半径，

••.DE是0。的切线.

3.如图，/IB是。。的直径，OC是。。的半径，0CJ.4B,点E为218上方圆周上一点，连接OE,CE,CE交

于点。.

C

（I）请用无刻度的直尺和圆规在射线B力上取点儿使得=（保留作图痕迹，不写作法）.

⑵在（1）的条件下，求证：EF是。。的切线.

（3）在（1）的条件下，若OC=4,OD=1,求EF的长.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）7.5

【详解】（1）如图

E

c

(2)证明：・：DF=FE,

:2FDE=乙FED.

•:乙ODC=Z.FDE,

•'.Z.ODC=乙FED.

-OC=OE,

••.Z.C=Z.OEC.

•：OC1AB,

.40。=90°.

在色△COD中，zODC+zC=90°,

：/OEC+乙FED=90°,即4OE尸=90°,

••.OE±EF.

•••OE为。。的半径，

・•.EF是。。的切线：

(3)解：设£尸=%.

♦：FD=FE,

:DF=x.

•••OD=1,

：.OF=OD+DF=x+1,

由(2)可知NOE尸=90。，且0E=0C=4,

二在RtaOEF中，由勾股定理，^OE2+EF2=OF2,

•A2+x2=(x+l)2,解得十=7.5,

二"的长为7.5.

4.如图，力B是。0的直径，点C在。。上，过点。的直线与AR的延长线交于点P,乙COB=2乙PCB.

c

A

D

（1）求证：PC是O。的切线;

(2)已知弦CO点，PC=3A/3,PB=3,求CD长.

【答案】（1）见解析：（2）。。=3百

【详解】（1）证明：

...ZJ1=Z.ACO,

,:乙COB=Z.A+Z.ACO,

:•乙COB=2LAC0,

“COB=2乙PCB,

.zACO=Z.PCB,

48是直径,

.'.Z.ACB=90°,

山CO+NOCB=90。，

:/PCB+Z.OCB=90°,SPzOCP=90°,

••.OC1PC,

••,oc为。。的半径,

・•.PC是。。的切线;

（2）解：设。。的半径为八则08=r,OP=r+3,

在RtAPCO中，根据勾股定理得OC?+2。2=op2,

2

•,•r2+(3y/3)=(r+3)2,

解得r=3,

••OC=3>OP=6,

--CEOP=-OCPC,

.CE-3x3丁_迪

6-2

,'CD1AB,

-，-CD=2CE=3V3.

题型六切线的性质

I.如图，24与。。相切于点4,连接P0并延长交0。于点8,连接48.若48=24。，则NP的度数是（）

【答案】A

【详解】解：连接。4

:.0A1PA,

:.Z.OAP=90°,

vLB=24°,

Z.AOP=2乙B=48°,

:.LP=90°-2LAOP=42°.

2.如图，AB是。0的直径，DC与。。相切于点。，与AB的延长线交于点C,连接4),过点8作BEIIAD,

交0。于点E,已知2C=20°,则NE8C=()

A.125°B.135°C.145°D.155°

【答案】C

【详解】解：如图：连接。。，

E

•••DC与O。相切于点D,

•••OD1CD,

vzf=2。'

"COD=900-ZC=70°,

“BAD=-/.BOD=35°,

2

•:BE||AD,

.-.Z.EBA=/.BAD=35°,

••公BC=180°-Z-EBA=145°.

3.如图，E为Rt△ABC的直角边8c上一点，以CE为半径的半圆与斜边4B相切于点D.已知4。=6,BD=4,

则0E的半径的长为（）

A.3.5B.3C.2.5D.2

【答案】B

【详解】解：连接ED,AE,设。E的半径的长为八

•••ED1AB,

：^ADE=/-ACE=90°,

-AE=AE,EC=ED,

.-.Rt△ACE三RtMOE(HL),

-'-AC=AD=6,

,.AB=AD+8。=4+6=10,

••.BC=\IAB2-AC2=8,

在Rt△£7)8中，

-：E82=ED2+BD2,

.-.(8-r)2=r2+42,

•••r=3,

・••CE的半径的长为3.

4.如图，A8是。0的直径，直线C。切。。于点C,连结4C,若乙4CD=40。，则NBHC的度数为

【答案】50。/50度

【详解】解：连接。。，

•.•直线。。切。0于点C,

•••。。1CD,

心CO=90°,

,:乙ACD=40°,

••2BAC=90°-Z-ACD=900-40°=50°.

题型七三角形的内切圆

1.将三角形ABC按下列方式折叠得到线段4D,其中满足三角形ABC的内心一定在4。上的是()

【答案】A

【详解】解：选项A：折叠后点C落在力8边上，根据折叠前后对应角相等，可得乙4C4。，即力。平分

乙BAC,因此△ABC的内心一定在AD上，选项A正确；

选项B：根据折叠前后对应角相等，可得△£4。=乙。4。，即AD不平分NBAC,所以选项B不符合题意；

选项C：根据折叠前后对应角相等，可得乙BED=ZCED,即力D不平分ZB",所以选项C不符合题意；

选项D：根据折叠前后对应角相等，可得乙ADE=4CDE,即4。不平分N84C,所以选项D不符合题意.

2.已知。。为△48。的外接圆，点E是△力8c的内心，4E的延长线交BC于点巴交O。于点D.如图，AD为

。。的直径，若AD=10,BC=6,则0E的长为()

A.2B.5-A/IOC.3D.5-2^2

【答案】B

【详解】解：连接03、BE、BD.

•.•点£是△ABC的内心，

••・AD平^>乙84。，8E平4ABC,

••/D为。。的直径，

MD1BC,BF=\BC=3.

在RtAOBF中，。8=［力。=5,BF=3,

:.OF=>JOB2-BF2=V52-32=4,

.••OF=。0—OF=5—4=1.

在Rt△BDF中,BD=y/BF2+DF2=V324-l2=y/10,

♦:乙DBE=Z.DBC+乙CBE,乙DEB=Z.DAB4-乙ABE,

X-.ZD5C=Z.DAC=Z.DAB,乙CBE=LABE,

:•乙DBE=乙DEB,

:.DE=BD=V10,

.•.OF=OD-DE=5-VTO.

3.如图，在△48C中，AC=BC,乙4=50。，点。是AB边上一点（不与点A,B重合），点/是△8C0的内

心，则々C/D=.

【答案】1157115度

【详解】•••在△48C中，AC=BC,乙力=50°,

"3=50°；

又••/是△BC。的内心，

二。，平分48DC,C/平分乙BC。，

:.乙BDC=2乙1DC,乙BCD=2乙ICD；

又••在△8CZ）中，Z.B+Z.BDC+^BCD