2026年浙江省人教版高中数学选修第2册第7章数列习题

2026年浙江省人教版高中数学选修第2册第7章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=18，且公差d=2，则该数列的前10项和S_10等于多少？A.100B.150C.200D.250解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_3=a_1+2d，a_9=a_1+8d，得a_3+a_9=2a_1+10d=18，解得a_1=-8。前10项和S_10=10×(-8)+45×2=50。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的通项公式b_n等于多少？A.2^n-1B.2^n+1C.2^(n-1)-1D.2^(n-1)+1解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，构造新数列c_n=b_n+1，得c_n=2c_(n-1)，为首项2、公比2的等比数列，c_n=2^n，故b_n=2^n-1。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则该数列一定是（）。A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上都不对解析：由S_n=3n^2-2n，得a_1=S_1=1，n≥2时a_n=S_n-S_(n-1)=6n-5，a_n-a_(n-1)=6，故为等差数列。4.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则该数列的公比q等于多少？A.3B.2C.3或-3D.2或-2解析：由a_4=a_2q^2，得q^2=9，解得q=±3。5.已知数列{d_n}的前n项和S_n=n(n+1)，则该数列的第5项d_5等于多少？A.9B.10C.11D.12解析：由S_n=n(n+1)，得a_1=S_1=2，n≥2时a_n=S_n-S_(n-1)=2n，故d_5=2×5=10。6.若数列{e_n}满足e_1=2，e_n+1=√(e_n+3)（n∈N），则该数列的极限值等于多少？A.1B.2C.3D.不存在解析：设极限为L，则L=L+√(L+3)，解得L=3。7.在等差数列{f_n}中，若前3项和为9，后3项和为21，则该数列的项数n等于多少？A.6B.7C.8D.9解析：由a_1+a_2+a_3=9，a_(n-2)+a_(n-1)+a_n=21，得3(a_1+a_n)=30，故a_1+a_n=10，n=6。8.已知数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列的第3项g_3等于多少？A.4B.6C.8D.10解析：由S_n=2^n-1，得a_1=S_1=1，n≥2时a_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)，故g_3=2^2=4。9.若数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=3h_n（n∈N），则该数列的前5项和S_5等于多少？A.121B.122C.123D.124解析：由递推关系h_n+1=3h_n，为首项1、公比3的等比数列，S_5=1×(3^5-1)/2=121。10.在等差数列{p_n}中，若a_4=10，a_7=19，则该数列的公差d等于多少？A.3B.4C.5D.6解析：由a_7=a_4+3d，得3d=9，解得d=3。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{q_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列的通项公式a_n=________。参考答案：4n-5解析：由S_n=2n^2-3n，得a_1=S_1=-1，n≥2时a_n=S_n-S_(n-1)=4n-5，故a_n=4n-5。2.在等比数列{r_n}中，若首项a_1=2，公比q=-1/2，则该数列的前4项和S_4=________。参考答案：15/8解析：S_4=2×(1-(-1/2)^4)/(1-(-1/2))=15/8。3.若数列{t_n}满足t_1=1，t_n+1=2t_n+1（n∈N），则该数列的第6项t_6=________。参考答案：63解析：由递推关系t_n+1=2t_n+1，变形为t_n=2^(n-1)-1，t_6=2^5-1=31。4.在等差数列{u_n}中，若前5项和为25，则该数列的公差d=________。参考答案：2解析：S_5=5/2×(2a_1+4d)=25，解得d=2。5.已知数列{v_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列的第3项v_3=________。参考答案：7解析：由S_n=n^2+n，得a_1=S_1=2，n≥2时a_n=S_n-S_(n-1)=2n，v_3=2×3=6。6.若数列{w_n}满足w_1=3，w_n+1=w_n+2（n∈N），则该数列的通项公式w_n=________。参考答案：2n+1解析：由递推关系w_n+1=w_n+2，为首项3、公差2的等差数列，w_n=2n+1。7.在等比数列{x_n}中，若a_3=8，a_5=32，则该数列的公比q=________。参考答案：2或-2解析：由a_5=a_3q^2，得q^2=4，解得q=±2。8.若数列{y_n}的前n项和S_n=3^n-1，则该数列的第2项y_2=________。参考答案：6解析：由S_n=3^n-1，得a_1=S_1=2，n≥2时a_n=S_n-S_(n-1)=2×3^(n-1)，y_2=2×3=6。9.在等差数列{z_n}中，若a_1=5，a_4=14，则该数列的前10项和S_10=________。参考答案：275解析：由a_4=a_1+3d，得3d=9，解得d=3，S_10=10/2×(2×5+9×3)=275。10.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n（n∈N），则该数列的前5项和S_5=________。参考答案：121解析：由递推关系a_n+1=3a_n，为首项1、公比3的等比数列，S_5=1×(3^5-1)/2=121。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列一定是等差数列。（）参考答案：正确解析：由S_n=2n^2-3n，得a_n=4n-5，故为等差数列。2.在等比数列{a_n}中，若公比q=1，则该数列的所有项都相等。（）参考答案：正确解析：由等比数列通项公式a_n=a_1q^(n-1)，当q=1时，a_n=a_1，故所有项相等。3.若数列{c_n}满足c_n+1=c_n+1（n∈N），则该数列一定是等比数列。（）参考答案：错误解析：该条件仅说明数列单调递增，不能确定是等比数列。4.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=12，则该数列的公差d=2。（）参考答案：错误解析：由a_1+a_5=2a_3=12，得a_3=6，不能确定d。5.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列的通项公式b_n=2n。（）参考答案：错误解析：由S_n=n^2+n，得a_n=2n，故b_n=2n。6.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则该数列的公比q=3。（）参考答案：正确解析：由a_4=a_2q^2，得q^2=9，解得q=3。7.若数列{c_n}满足c_n=c_n+1（n∈N），则该数列一定是常数列。（）参考答案：正确解析：该条件说明数列所有项相等，故为常数列。8.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=18，则该数列的前10项和S_10=100。（）参考答案：错误解析：由a_3+a_9=2a_6=18，得a_6=9，不能确定S_10。9.若数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列的通项公式b_n=2^(n-1)。（）参考答案：错误解析：由S_n=2^n-1，得a_n=2^(n-1)，故b_n=2^(n-1)。10.在等比数列{a_n}中，若首项a_1=2，公比q=-1/2，则该数列的前4项和S_4=15/8。（）参考答案：正确解析：S_4=2×(1-(-1/2)^4)/(1-(-1/2))=15/8。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n。解：由S_n=3n^2-2n，得a_1=S_1=1，n≥2时a_n=S_n-S_(n-1)=6n-5，故a_n=6n-5。2.在等比数列{b_n}中，若a_2=6，a_4=54，求该数列的公比q。解：由a_4=a_2q^2，得q^2=9，解得q=3。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+1（n∈N），求该数列的通项公式c_n。解：由递推关系c_n+1=2c_n+1，变形为c_n=2^(n-1)-1，故c_n=2^(n-1)-1。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=5，a_4=14，求该数列的公差d。解：由a_4=a_1+3d，得3d=9，解得d=3。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，求该数列的第3项e_3。解：由S_n=n^2+n，得a_1=S_1=2，n≥2时a_n=S_n-S_(n-1)=2n，e_3=2×3=6。6.在等比数列{f_n}中，若首项f_1=2，公比q=-1/2，求该数列的前4项和S_4。解：S_4=2×(1-(-1/2)^4)/(1-(-1/2))=15/8。7.若数列{g_n}满足g_1=3，g_n+1=g_n+2（n∈N），求该数列的通项公式g_n。解：由递推关系g_n+1=g_n+2，为首项3、公差2的等差数列，g_n=2n+1。8.在等差数列{h_n}中，若a_3=10，a_7=19，求该数列的前10项和S_10。解：由a_7=a_3+4d，得4d=9，解得d=9/4，S_10=10/2×(2×10+9/4×9)=275。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂第一年产量为1000件，计划以后每年比上一年增产200件，求该工厂第5年的产量。解：由等差数列{a_n}，a_1=1000，d=200，a_5=a_1+4d=1000+800=1800件。2.某城市人口第一年为50万，计划以后每年比上一年增长10%，求该城市第4年的人口。解：由等比数列{b_n}，b_1=50，q=1.1，b_4=b_1q^3=50×1.1^3≈66.55万。3.在等差数列{c_n}中，若前3项和为9，后3项和为21，求该数列的项数n。解：由a_1+a_2+a_3=9，a_(n-2)+a_(n-1)+a_n=21，得3(a_1+a_n)=30，故a_1+a_n=10，n=6。4.在等比数列{d_n}中，若a_2=6，a_4=54，求该数列的公比q及前5项和S_5。解：由a_4=a_2q^2，得q^2=9，解得q=3，S_5=6×(1-3^5)/(1-3)=378。5.若数列{e_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，求该数列的第4项e_4。解：由S_n=2n^2-3n，得a_1=S_1=-1，n≥2时a_n=S_n-S_(n-1)=4n-5，e_4=4×4-5=11。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=5，a_4=14，求该数列的前10项和S_10。解：由a_4=a_1+3d，得3d=9，解得d=3，S_10=10/2×(2×5+9×3)=275。7.已知数列{g_n}满足g_1=1，g_n+1=3g_n（n∈N），求该数列的前5项和S_5。解：由递推关系g_n+1=3g_n，为首项1、公比3的等比数列，S_5=1×(3^5-1)/2=121。8.在等比数列{h_n}中，若首项h_1=2，公比q=-1/2，求该数列的前4项和S_4及第3项h_3。解：S_4=2×(1-(-1/2)^4)/(1-(-1/2))=15/8，h_3=2×(-1/2)^2=1/2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.A3.A4.C5.B6.C7.A8.A9.A10.A解析：1.由a_3+a_9=18，得2a_1+10d=18，a_1=-8，S_10=10/2×(2×(-8)+9×2)=50。2.由b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，c_n=2^n，b_n=2^n-1。3.由S_n=3n^2-2n，得a_n=6n-5，故为等差数列。4.由a_4=a_2q^2，得q^2=9，解得q=±3。5.由S_n=n(n+1)，得a_n=2n，d_5=2×5=10。6.设极限为L，则L=L+√(L+3)，解得L=3。7.由a_1+a_2+a_3=9，a_(n-2)+a_(n-1)+a_n=21，得3(a_1+a_n)=30，n=6。8.由S_n=2^n-1，得a_n=2^(n-1)，g_3=2^2=4。9.由递推关系a_n+1=3a_n，为首项1、公比3的等比数列，S_5=121。10.由a_7=a_4+3d，得3d=9，解得d=3。二、填空题1.4n-52.15/83.314.25.66.2n+17.±28.69.27510.121解析：1.由S_n=2n^2-3n，得a_n=4n-5。2.S_4=2×(1-(-1/2)^4)/(1-(-1/2))=15/8。3.由递推关系c_n+1=2c_n+1，变形为c_n=2^(n-1)-1，c_6=63。4.S_5=5/2×(2a_1+4d)=25，解得d=2。5.由S_n=n^2+n，得a_n=2n，e_3=6。6.S_4=2×(1-(-1/2)^4)/(1-(-1/2))=15/8。7.由递推关系g_n+1=g_n+2，为首项3、公差2的等差数列，g_n=2n+1。8.由a_7=a_3+4d，得4d=9，解得d=9/4，S_10=275。9.由递推关系a_n+1=3a_n，为首项1、公比3的等比数列，S_5=121。10.S_4=2×(1-(-1/2)^4)/(1-(-1/2))=15/8。三、判断题1.√2.√3.×4.×5.×6.√7.√8.×9.×10.√解析：1.由S_n=2n^2-3n，得a_n=4n-5，故为等差数列。2.由等比数列通项公式a_n=a_1q^(n-1)，当q=1时，a_n=a_1，故所有项相等。3.该条件仅说明数列单调递增，不能确定是等比数列。4.由a_1+a_5=12，得2a_3=12，a_3=6，不能确定d。5.由S_n=n^2+n，得a_n=2n，故b_n=2n。6.由a_4=a_2q^2，得q^2=9，解得q=3。7.该条件说明数列所有项相等，故为常数列。8.由a_3+a_9=18，得2a_6=18，a_6=9，不能确定S_10。9.由S_n=2^n-1，得a_n=2^(n-1)，故b_n=2^(n-1)。10.S_4=2×(1-(-1/2)^4)/(1-(-1/2))=15/8。四、简答题1.解：由S_n=3n^2-2n，得a_1=S_1=1，n≥2时a_n=S_n-S_(n-1)=6n-5，故a_n=6n-5。2.解：由a_4=a_2q^2，得q^2=9，解得q=3。3.解：由递推关系c_n+1=2c_n+1，变形为c_n=2^(n-1)-1，故c_n=2^(n-1)-1。4.解：由a_4=a_1+3d，得3d=9，解得d=3