2026年浙江省人教版高中数学选修第3册第9章数列习题

2026年浙江省人教版高中数学选修第3册第9章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：根据递推关系b_n=b_{n-1}+n，依次计算b_2=b_1+2=3，b_3=b_2+3=6，b_4=b_3+4=10，b_5=b_4+5=15，b_6=b_5+6=21。选项A正确。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列的第4项c_4等于（）A.14B.15C.16D.17解析：由数列通项公式c_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），计算c_4=S_4-S_3=[2×4^2-3×4]-[2×3^2-3×3]=32-12-18+9=11。注意n=1时需单独验证c_1=S_1=5，故c_4=S_4-S_3=11。选项B正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=±3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则该数列的第5项e_5等于（）A.10B.11C.12D.13解析：由数列通项公式e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），计算e_5=T_5-T_4=[5×6/2]-[4×5/2]=15-10=5。注意n=1时需单独验证e_1=T_1=1，故e_5=T_5-T_4=5。选项A正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n=f_{n-1}+n（n≥2），则该数列的前6项和S_6等于（）A.56B.57C.58D.59解析：根据递推关系依次计算f_2=2+2=4，f_3=4+3=7，f_4=7+4=11，f_5=11+5=16，f_6=16+6=22，S_6=2+4+7+11+16+22=62。选项D正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则该数列的前10项和S_10等于（）A.90B.100C.110D.120解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，得a_5=9。又由S_10=10(a_1+a_{10})/2=5(a_1+a_{10})，而a_{10}=a_5+5d=9+5d，a_1=a_5-4d=9-4d，故S_10=5(9-4d+9+5d)=90。选项A正确。8.若数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-n，则该数列的第3项h_3等于（）A.4B.5C.6D.7解析：由数列通项公式h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），计算h_3=U_3-U_2=[2^3-3]-[2^2-2]=5-2=3。注意n=1时需单独验证h_1=U_1=1，故h_3=U_3-U_2=3。选项C正确。9.在等比数列{p_n}中，若p_1=1，p_4=16，则该数列的前4项和S_4等于（）A.31B.32C.33D.34解析：由等比数列通项公式p_n=p_1q^{n-1}，代入p_4=p_1q^3=16，得q=2。故S_4=p_1(1-q^4)/(1-q)=1×(1-16)/(-1)=15。选项A正确。10.已知数列{q_n}满足q_n=n(n+1)/2（n∈N），则该数列的第4项q_4与第5项q_5的差等于（）A.9B.10C.11D.12解析：q_4=4×5/2=10，q_5=5×6/2=15，故q_5-q_4=15-10=5。选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，两式相减得5d=15，解得d=3。参考答案：32.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则该数列的前5项和S_5等于______。解：依次计算b_2=4，b_3=7，b_4=11，b_5=16，S_5=2+4+7+11+16=40。参考答案：403.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q等于______。解：由c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=±3。参考答案：±34.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n，则该数列的第3项d_3等于______。解：由d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），计算d_3=T_3-T_2=[3^2+3]-[2^2+2]=12-6=6。参考答案：65.若数列{e_n}满足e_1=1，e_n=e_{n-1}+2n（n≥2），则该数列的前4项和S_4等于______。解：依次计算e_2=3，e_3=8，e_4=15，S_4=1+3+8+15=27。参考答案：276.在等差数列{f_n}中，若a_1=2，a_6=17，则该数列的通项公式a_n等于______。解：由a_n=a_1+(n-1)d，代入a_6=a_1+5d=17，得5d=15，解得d=3，故a_n=2+(n-1)×3=3n-1。参考答案：3n-17.已知数列{g_n}的前n项和U_n=3^n-n，则该数列的第2项g_2等于______。解：由g_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），计算g_2=U_2-U_1=[3^2-2]-[3^1-1]=7-2=5。参考答案：58.在等比数列{h_n}中，若h_1=2，h_4=32，则该数列的前4项和S_4等于______。解：由h_n=h_1q^{n-1}，代入h_4=h_1q^3=32，得q=2，故S_4=h_1(1-q^4)/(1-q)=2×(1-16)/(-1)=30。参考答案：309.若数列{i_n}满足i_n=n^2（n∈N），则该数列的第3项i_3与第4项i_4的差等于______。解：i_3=3^2=9，i_4=4^2=16，故i_4-i_3=16-9=7。参考答案：710.在等差数列{j_n}中，若j_3+j_7=24，则该数列的通项公式j_n等于______。解：由j_n=j_1+(n-1)d，代入j_3+j_7=2j_5=24，得j_5=12，故j_n=j_5-4d=12-4d。又由j_1=j_5-4d=12-4d，得j_n=12-4d。参考答案：12-4d三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=12，则该数列的公差d等于3。解：由a_1+a_5=2a_3=12，得a_3=6，但无法确定公差d的具体值，故错误。参考答案：×2.若数列{b_n}满足b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则该数列一定是等差数列。解：b_n-b_{n-1}=n，当n=1时b_1-b_0=n无意义，故该数列不是等差数列，故错误。参考答案：×3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q等于3。解：由c_4=c_2q^2=54，得q^2=9，解得q=±3，故错误。参考答案：×4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则该数列的第3项d_3等于6。解：由d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），计算d_3=T_3-T_2=[3×4/2]-[2×3/2]=6-3=3，故错误。参考答案：×5.若数列{e_n}满足e_n=e_{n-1}+2n（n≥2），则该数列一定是等比数列。解：e_n-e_{n-1}=2n，当n=1时e_1-e_0=2n无意义，故该数列不是等比数列，故错误。参考答案：×6.在等差数列{f_n}中，若a_1=2，a_6=17，则该数列的前6项和S_6等于56。解：由a_n=a_1+(n-1)d，代入a_6=a_1+5d=17，得5d=15，解得d=3，故S_6=6(a_1+a_6)/2=6×19/2=57，故错误。参考答案：×7.已知数列{g_n}的前n项和U_n=2^n-n，则该数列的第3项g_3等于7。解：由g_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），计算g_3=U_3-U_2=[2^3-3]-[2^2-2]=5-2=3，故错误。参考答案：×8.在等比数列{h_n}中，若h_1=2，h_4=32，则该数列的前4项和S_4等于34。解：由h_n=h_1q^{n-1}，代入h_4=h_1q^3=32，得q=2，故S_4=h_1(1-q^4)/(1-q)=30，故错误。参考答案：×9.若数列{i_n}满足i_n=n^2（n∈N），则该数列的第4项i_4与第3项i_3的差等于7。解：i_4-i_3=16-9=7，故正确。参考答案：√10.在等差数列{j_n}中，若j_3+j_7=24，则该数列的通项公式j_n等于12-4d。解：由j_3+j_7=2j_5=24，得j_5=12，故j_n=j_5-4d=12-4d，故正确。参考答案：√四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_4=13，求该数列的通项公式a_n。解：由a_n=a_1+(n-1)d，代入a_4=a_1+3d=13，得3d=8，解得d=8/3，故a_n=5+(n-1)×8/3=8/3n+7/3。2.若数列{b_n}满足b_1=3，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），求该数列的前5项和S_5。解：依次计算b_2=5，b_3=8，b_4=12，b_5=17，S_5=3+5+8+12+17=45。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_3=8，求该数列的公比q。解：由c_n=c_1q^{n-1}，代入c_3=c_1q^2=8，得q^2=4，解得q=±2。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n，求该数列的第2项d_2。解：由d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），计算d_2=T_2-T_1=[2^2+2]-[1^2+1]=5-2=3。5.若数列{e_n}满足e_n=n(n+1)/2（n∈N），求该数列的第4项e_4与第5项e_5的差。解：e_4=4×5/2=10，e_5=5×6/2=15，故e_5-e_4=5。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=1，a_6=11，求该数列的前6项和S_6。解：由a_n=a_1+(n-1)d，代入a_6=a_1+5d=11，得5d=10，解得d=2，故S_6=6(a_1+a_6)/2=6×12/2=36。7.已知数列{g_n}的前n项和U_n=3^n-n，求该数列的第3项g_3。解：由g_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），计算g_3=U_3-U_2=[3^3-3]-[3^2-2]=24-7=17。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=1，h_4=16，求该数列的前4项和S_4。解：由h_n=h_1q^{n-1}，代入h_4=h_1q^3=16，得q=2，故S_4=h_1(1-q^4)/(1-q)=15。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=26，求该数列的通项公式a_n。解：由a_n=a_1+(n-1)d，代入a_3+a_9=2a_6=26，得a_6=13，故a_n=a_6-5d=13-5d。又由a_1=a_6-5d=13-5d，得a_n=13-5d。2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），求该数列的前10项和S_10。解：依次计算b_2=4，b_3=7，b_4=11，b_5=16，b_6=22，b_7=29，b_8=37，b_9=46，b_10=56，S_10=2+4+7+11+16+22+29+37+46+56=220。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=4，c_4=64，求该数列的公比q。解：由c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=4，c_4=c_1q^3=64，两式相除得q^2=16，解得q=±4。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，求该数列的第5项d_5。解：由d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），计算d_5=T_5-T_4=[5×6/2]-[4×5/2]=15-10=5。5.若数列{e_n}满足e_n=n^2（n∈N），求该数列的前5项和S_5。解：S_5=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=3，a_6=21，求该数列的前6项和S_6。解：由a_n=a_1+(n-1)d，代入a_6=a_1+5d=21，得5d=18，解得d=18/5，故S_6=6(a_1+a_6)/2=6×24/2=72。7.已知数列{g_n}的前n项和U_n=2^n-n，求该数列的第4项g_4。解：由g_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），计算g_4=U_4-U_3=[2^4-4]-[2^3-3]=12-5=7。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=3，h_5=81，求该数列的前5项和S_5。解：由h_n=h_1q^{n-1}，代入h_5=h_1q^4=81，得q=3，故S_5=h_1(1-q^5)/(1-q)=3×121/2=181.5。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.B4.A5.A6.D7.A8.C9.A10.B解析：第1题由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。二、填空题1.32.403.±34.65.276.3n-17.58.309.710.12-4d解析：第1题由a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，两式相减得5d=15，解得d=3。三、判断题1.×2.×3.×4.×5.×6.×7.×8.×9.√10.√解析：第1题由a_1+a_5=2a_3=12，得a_3=6，但无法确定公差d的具体值，故错误。四、简答题1.a_n=8/3n+7/3解：由a_n=a_1+(n-1)d，代入a_4=a_1+3d=13，得3d=8，解得d=8/3，故a_n=5+(n-1)×8/3=8/3n+7/3。2.S_5=45解：依次计算b_2=5，b_3=8，b_4=12，b_5=17，S_5=3+5+8+12+17=45。3.q=±2解：由c_n=c_1q^{n-1}，代入c_3=c_1q^2=8，得q^2=4，解得q=±2。4.d_2=3解：由d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），计算d_2=T_2-T_1=[2^2+2]-[1^2+1]=5-2=3。5.e_5-e_4=5解：e_4=4×5/2=10，e_5=5×6/2=15，故e_5-e_4=5。6.S_6=36解：由a_n=a_1+(n-1)d，代入a_6=a_1+5d=11，得5d=10，解得d=2，故S_6=6(a_1+a_6)/2=6×12/2=36。7.g_3=17解：由g_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），计算g_3=U_