初级微积分重点试题及完整答案

初级微积分重点试题及完整答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：（每小题2分，共10分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.函数f(x)=√(4-x^2)的定义域是(A)(-∞,-2)∪(2,+∞)(B)[-2,2](C)(-2,2)(D)(-∞,-4)∪(4,+∞)2.当x→0时，下列函数中极限存在的是(A)sin(1/x)(B)e^(1/x)(C)log(1+x)(D)1/x3.函数f(x)=x^3-3x在区间(-2,2)内(A)无极值点(B)有一个极大值点和一个极小值点(C)只有一个极大值点(D)只有一个极小值点4.若函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=3，则当h→0时，函数增量Δy=f(x0+h)-f(x0)的线性主部是(A)3h(B)3(C)h(D)05.函数y=x^3-3x^2+2的拐点是(A)(0,2)(B)(1,0)(C)(2,-2)(D)(1,1)二、填空题：（每小题3分，共15分。）6.极限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=________.7.函数f(x)=e^x+x在区间(-1,1)内是单调______的。8.曲线y=x^3-3x^2+2的凹区间是________.9.若f'(x)=sin(x)+1,且f(0)=1，则f(x)=________.10.定积分∫[0,π/2]cos(x)dx的值是________.三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）11.（6分）计算极限lim(x→0)(e^x-cos(x))/x^2.12.（8分）求函数f(x)=x^3-3x^2+2的单调区间、极值点和拐点，并画出函数的简图。13.（8分）计算不定积分∫xlog(x)dx.14.（8分）计算定积分∫[1,4]dx/(x+√x).15.（9分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)。证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。试卷答案一、选择题：1.(B)解析：函数f(x)=√(4-x^2)有意义需满足4-x^2≥0，即x^2≤4。解得-2≤x≤2。故定义域为[-2,2]。2.(C)解析：当x→0时，sin(1/x)在-1和1之间振荡，极限不存在；e^(1/x)当x→0^+时趋于+∞，当x→0^-时趋于0，极限不存在；log(1+x)当x→0时趋于log(1)=0，极限存在；1/x当x→0时趋于±∞，极限不存在。3.(B)解析：f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，得x=-1,x=1。在(-2,-1)内f'(x)>0，函数单调递增；在(-1,1)内f'(x)<0，函数单调递减；在(1,2)内f'(x)>0，函数单调递增。故x=-1为极大值点，x=1为极小值点。4.(A)解析：根据导数的定义，f'(x0)=lim(h→0)[f(x0+h)-f(x0)]/h。函数增量Δy=f(x0+h)-f(x0)。则Δy/h=f'(x0)。当h→0时，Δy的线性主部为f'(x0)*h。由f'(x0)=3，得线性主部为3h。5.(B)解析：y''=6x-6。令y''=0，得x=1。将x=1代入原函数，得y=1^3-3*1^2+2=0。故拐点为(1,0)。二、填空题：6.4解析：原式=lim(x→2)[(x-2)(x+2)]/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=2+2=4.7.增加解析：f'(x)=e^x+1。由于e^x总是大于0，且1也大于0，故f'(x)>0对所有x成立。因此函数在区间(-1,1)内单调增加。8.(-∞,1)解析：y''=6x-6。令y''>0，得6x-6>0，即x>1。故凹区间为(1,+∞)。又函数在x=1处左右两侧凹凸性改变，(1,1)为拐点。但题目问凹区间，通常指不含端点的开区间，故为(-∞,1)。若包含拐点，则可写(-∞,1]。9.e^x+x^2/2+C解析：∫f'(x)dx=f(x)+C。∫(sin(x)+1)dx=∫sin(x)dx+∫1dx=-cos(x)+x+C。由f(0)=1，得f(0)=-cos(0)+0+C=-1+C=1。解得C=2。故f(x)=-cos(x)+x+2。注意题目f'(x)写为sin(x)+1，此处按此计算。若f'(x)为sin(x)，则f(x)=-cos(x)+x+C。若f(0)=0，则C=1，f(x)=-cos(x)+x。10.1解析：∫[0,π/2]cos(x)dx=sin(x)|_[0,π/2]=sin(π/2)-sin(0)=1-0=1.三、解答题：11.解：原式=lim(x→0)[sin(x)/(x)*(x/e^x+1-cos(x))]（利用sin(x)/x→1）=lim(x→0)[sin(x)/(x)*(x/e^x+1-(1-x^2/2+o(x^2)))]（利用e^x≈1+x+x^2/2）=lim(x→0)[sin(x)/(x)*(x/e^x+x^2/2)]=lim(x→0)[sin(x)/(x)*(x/(1+x+x^2/2)+x^2/2)]=lim(x→0)[sin(x)/(x)*(x/(1+x+x^2/2)+x^2/2)]（注意x→0时x^2/2→0）=lim(x→0)[sin(x)/(x)*(x/(1+x)+x^2/2)]=lim(x→0)[sin(x)/(x)*(1/(1+x)+x/2)]=lim(x→0)[sin(x)/(x)*(1+x/2-x^2/2+o(x^2)+x/2)]=lim(x→0)[sin(x)/(x)*(1+x)]=lim(x→0)[sin(x)/(x)+sin(x)/(x)*x]=lim(x→0)[sin(x)/(x)+x*lim(x→0)sin(x)/x]=1+0*1=1.12.解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0,x=2。列表分析：x|(-∞,0)|0|(0,2)|2|(2,+∞)f'(x)|+|0|-|0|+f(x)|↗|极大|↘|极小|↗凹凸性|凹向下||凹向下||凹向上拐点|||||(1,0)极值点||极大值0||极小值-2|单调增区间：(-∞,0)∪(2,+∞)。单调减区间：(0,2)。极大值点：x=0，极大值f(0)=0^3-3*0^2+2=2。极小值点：x=2，极小值f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2。拐点：f''(x)=6x-6。令f''(x)=0，得x=1。f(1)=1^3-3*1^2+2=0。故拐点为(1,0)。凹区间：(-∞,1)。凸区间：(1,+∞)。简图：y||/\|/\|/\/|/\/|/*(1,0)拐点|//|//|//+x-2-1012313.解：设u=log(x)，dv=xdx。则du=(1/x)dx，v=x^2/2。∫xlog(x)dx=∫udv=uv-∫vdu=(log(x)*x^2/2)-∫(x^2/2)*(1/x)dx=x^2log(x)/2-∫x/2dx=x^2log(x)/2-x^2/4+C.14.解：∫[1,4]dx/(x+√x)=∫[1,4]dx/(√x*(√x+1))令√x=t，则x=t^2，dx=2tdt。当x=1时，t=1；当x=4时，t=2。原式=∫[1,2](2tdt)/(t*(t+1))=∫[1,2]2dt/(t+1)=2∫[1,2]dt/(t+1)=2[ln|t+1|]_[1,2]=2[ln(2+1)-ln(1+1)]=2[ln(3)-ln(2)]=2ln(3/2).15.证明：令F(x)=f(x)