山东省潍坊市2025-2026学年高一下册学业质量评价数学试卷-含答案

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.2.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若为终边上一点，则（）A. B. C. D.3.已知向量，，若，则（）A.-2 B.-1 C.1 D.24.在中，，，，则（）A. B. C. D.5.函数，的单调递减区间为（）A. B. C. D.6.如图，某地水文监测站为测量河道对岸两处观景台M，N之间的直线距离，监测人员在河道同侧选取两个观测点A、B，测得AB=12m，在A处测得，，在B处测得，，则观景台M、N之间的距离为（）A. B. C. D.7.已知矩形中，，，且交于点，若，，则（）A. B.1 C. D.28.已知关于的方程在区间上有唯一实根，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设，则（）A. B.在复平面内对应的点位于第四象限C. D.若为纯虚数、则实数10.已知函数的部分图象如图所示.则（）A.B.的最小正周期为2πC.当函数为偶函数时，的最小值为D.当在区间上恰有三个零点时，的取值范围是11.在锐角中，，则（）A.当时，B.C.D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，在上的投影的数量为，则_______.13.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为_______.14.已知函数，则的最大值为______；若图象上相邻最高点与最低点的距离为，则______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，，.（1）求；（2）求.16.已知向量，满足，.（1）若，求；（2）若，求与夹角的余弦值.17.记的内角的对边分别为．已知，，．（1）求；（2）设的角平分线交于点．（i）求；（ⅱ）若点满足，，，求．18.已知函数.（1）若，；（i）求；（ⅱ）若对，成立，求的最小值；（2）已知函数，若对，，使得，求的取值范围.19.已知向量，，记，.（1）若，求，；（2）设，证明：；（3）设为正实数，函数的最大值为，若的值域为D，当时，，求的取值范围.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：.2.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若为终边上一点，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先由终边上一点求出，再利用化简即可.解答过程：由题意，点在角的终边上，则,所以.又因为，所以，.因此.3.已知向量，，若，则（）A.-2 B.-1 C.1 D.2答案：A解析：思路：由向量平行可知对应坐标成比例，故可由求得.解答过程：因为，，且，所以对应坐标成比例，得。解得，所以应选A.4.在中，，，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：已知三角形的两边及两边的夹角，直接利用余弦定理求解第三边.解答过程：由题，在中，，，，，由余弦定理可得，即

，故，即.5.函数，的单调递减区间为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由正弦函数的性质，令，所以，又，所以函数在内的单调递减区间为.6.如图，某地水文监测站为测量河道对岸两处观景台M，N之间的直线距离，监测人员在河道同侧选取两个观测点A、B，测得AB=12m，在A处测得，，在B处测得，，则观景台M、N之间的距离为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由题设可得四点共圆，从而可得三角形为顶角为的等腰三角形，据此可得答案.解答过程：因，则四点共圆，从而.由题可得，结合，，可得，.又，可得，则为等腰三角形，.7.已知矩形中，，，且交于点，若，，则（）A. B.1 C. D.2答案：B解析：解答过程：设，以这两个向量为基底，，故点位于上靠近的四分之一处，，故，.在上，，在上，，同时，.即，则.8.已知关于的方程在区间上有唯一实根，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据正弦和余弦的二倍角公式，结合同角的三角函数关系式、换元法、对勾函数的单调性进行求解即可.解答过程：，令，因为，所以，因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，所以当时，，因为关于的方程在区间上有唯一实根，所以有，因此的取值范围是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设，则（）A. B.在复平面内对应的点位于第四象限C. D.若为纯虚数、则实数答案：BC解析：思路：根据复数的模、几何意义、共轭复数、纯虚数的相关知识，逐一判断选项.解答过程：

对于A：，A错误；对于B：复数在复平面内对应的点坐标为，横坐标为正、纵坐标为负，位于第四象限，B正确；对于C：由共轭复数的定义可知，C正确；对于D：，若为纯虚数，则，解得，D错误.10.已知函数的部分图象如图所示.则（）A.B.的最小正周期为2πC.当函数为偶函数时，的最小值为D.当在区间上恰有三个零点时，的取值范围是答案：ACD解析：思路：对于A：由分析求解即可；对于B：由结合图象分析求解；对于CD：由函数的图象可求出，然后分析判断．解答过程：对于A：由图知，，得，而，得，故A项正确；对于B：由，得，由图知，点在单调减区间上，则，得，而，得，得，故，则的最小正周期为，故B项错误；对于C：：对于由，得，当函数为偶函数时，得，得，当时，取得最小值为，故C项正确；对于D：，由，得，当在区间上恰有三个零点时，得，得，故D项正确．11.在锐角中，，则（）A.当时，B.C.D.答案：ABD解析：思路：A利用正弦定理得；B利用倍角公式；C利用化简；D利用余弦定理和，结合对勾函数求范围.解答过程：设所对的边为，因为以及正弦定理得，若，则，则，则，故A正确；，故B正确；因为为锐角三角形，所以，则，得，故C错误；因为，因为在上单调递减，在上单调递增，，所以，故D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，在上的投影的数量为，则_______.答案：解析：思路：由题设结合投影的数量计算方式可得答案.解答过程：由题可得，，又，则.13.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为_______.答案：解析：思路：首先根据三角函数图像平移的“左加右减”规则，写出平移后得到的函数表达式.利用三角函数诱导公式，将平移后的正弦型函数转化为余弦型函数，与题目给出的形式对比，得到和的关系式.将代入的相位，令其等于（），建立关于的方程.结合的条件，选取合适的整数，求出的最小值.解答过程：根据三角函数平移“左加右减”规则，将向左平移个单位，得：

由诱导公式，得：

，

即，符合题目要求.余弦函数在对称轴处相位满足，将对称轴代入得：

整理得：.由，取，得的最小值为14.已知函数，则的最大值为______；若图象上相邻最高点与最低点的距离为，则______.答案：①.②.解析：思路：通过讨论和去掉绝对值求解，利用正弦函数和余弦函数的图像和性质得到的最大值.求出的最小正周期和值域，得到最高点取时，相邻的最低点为，由相邻最高点与最低点的距离得到的等式，解得的值.解答过程：，当时，即时，解得，即时，，当时，即时，解得，即时，，所以，因为的最大值为，的最大值为，所以的最大值为.，的最小正周期为，当时，因为，所以，所以，所以，当时，因为，所以，所以，当最低点取时，相邻的最高点为或，因为相邻最高点与最低点的距离为，所以，所以.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，，.（1）求；（2）求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦二倍角公式和同角关系式弦化切，再代入求值.（2）先利用两角和正切公式求，再根据范围求.（1）.（2），因为，所以，因此.16.已知向量，满足，.（1）若，求；（2）若，求与夹角的余弦值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由向量数量积的运算律得，结合已知求数量积；（2）利用垂直关系及数量积的运算律求得，，再应用向量数量积的运算律求与的数量积和模长，最后应用夹角公式求余弦值.（1）由，可得，（2）由题设，得，结合，得，设与的夹角为，则，，，，所以.17.记的内角的对边分别为．已知，，．（1）求；（2）设的角平分线交于点．（i）求；（ⅱ）若点满足，，，求．答案：（1）（2）（i）；（ⅱ）．解析：思路：（1）利用三角形内角和诱导公式求出，再通过余弦定理算出边长，发现后再次用余弦定理求得；（2）（i）依据三角形面积公式求出长度，在中结合，用余弦定理计算；（ⅱ）以为原点建平面直角坐标系，写出坐标与向量，根据向量关系表示横坐标，由得横坐标相等列方程解出．（1）因为，所以，由余弦定理得，得，所以，，所以．（2）（i），因为的角平分线交于点，所以，即，因为，所以，所以，又，所以，，在中，，由余弦定理得，所以；（ⅱ）如图，以为原点，为轴正方向建系，则，由，，得，，，所以，因为在上，且，所以，，设，所以由，得，解得，，即因为且在轴上，所以，即，解得．18.已知函数.（1）若，；（i）求；（ⅱ）若对，成立，求的最小值；（2）已知函数，若对，，使得，求的取值范围.答案：（1）（i）；（ⅱ）（2）解析：思路：（1）（i）利用两角和差公式和辅助角公式化简，结合三角函数求值；（ⅱ）令，利用参变分离求最值；（2）先求两个函数的值域，将问题转化为值域的包含关系求解.（1），（i），则，因为，所以，则，得；（ⅱ）对，成立，则对，成立，因为，所以，则对，成立，令，则，则对，成立，因为在上单调递增，所以，则，故的最小值为；（2）若，则，所以，若，则，因为对，，使得，所以或或，则或或，得或或，综上，的取值范围为.19.已知向量，