青海省西宁市大通回族土族自治县2025-2026学年高三上册开学摸底考试数学试卷-含答案

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数，则的实部､虚部和模分别是（）A. B. C. D.2.设全集，则（）A. B. C. D.3.已知向量，若，则的值为（）A. B. C. D.4.在的展开式中，含的项的系数为（）A. B. C.112 D.4485.已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A B. C. D.6.已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（）A. B. C. D.7.已知等差数列的公差为2，前n项和为，若成等比数列，则（）A.10 B.8 C.0 D.8.设，函数在区间上单调递增，则实数取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组数据：27，37，14，33，47，26，24，18，35，若去掉14和47，则剩下的数据与原数据相比，下列说法正确的是（）A.中位数不变 B.平均数不变 C.方差不变 D.第40百分位数不变10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.是的图象的一个对称中心C.在区间上的值域为D.将的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数11.已知，是椭圆的左、右焦点，，是上位于第二象限内一点，为坐标原点，.为上一点，且，点为的中点，与交于点，且，则（）A.点在以为直径的圆上 B.椭圆的离心率为C.椭圆的方程为 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知为抛物线的焦点，为上一点，若，则_____．13.已知，且，则____________．14.若圆锥内半径最大的球的表面积为，则圆锥的侧面积的最小值为____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求的值；（2）若，求a的值．16.设双曲线的左､右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，过原点且斜率为的直线交于两点．（1）求的方程；（2）求四边形的面积．17.如图1，在矩形ABCD中，，将沿着BD翻折到的位置，得到三棱锥，且平面ABP，如图2所示.（1）求证：平面平面ABD；（2）求直线AB与平面BPD所成角的正弦值.18.已知函数两个极值点分别为和3．（1）求的解析式；（2）若直线与曲线有且仅有两个公共点，求值．19.杜老师为了解学生“十一假期”的出行情况，在校内随机抽取了40名学生，对其出行情况进行调查，结果如下：市外游市内游合计男生14620女生81220合计221840（1）依据小概率值的独立性检验，判断学生“十一假期”选择市外游或市内游是否与性别有关联；（2）在学校里，小林同学每次都从校内的甲、乙两个餐厅中选择一个就餐．①已知小林同学第一次选择甲、乙两个餐厅的概率相同，若第一次就餐选择了甲餐厅，则第二次就餐选择乙餐厅的概率为；若第一次就餐选择了乙餐厅，则第二次就餐选择甲餐厅的概率为，求小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率；②假设小林同学每次选择甲、乙两个餐厅就餐的概率分别为、，且每次选择互不影响．若选择甲餐厅就餐记2分，选择乙餐厅就餐记1分，小林同学选择甲、乙两个餐厅就餐累计得分恰为n分的概率为，求数列的通项公式．参考公式：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.635787910.828

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数，则的实部､虚部和模分别是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据复数的概念及模长公式即可求解.解答过程：由可得，其实部为1，虚部为，模为．故选：C2.设全集，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：用列举法写出全集，再利用并集、补集的定义求解作答.解答过程：因为，所以．故选：B．3.已知向量，若，则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：法一：应用向量模长、数量积的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数值；法二：运用向量线性关系的坐标运算求出的坐标，再由向量垂直的坐标表示列方程求参数值.解答过程：解法一：因为，所以，因为，所以，即，所以，解得；解法二：因为，所以，因为，所以，即，解得．故选：A4.在的展开式中，含的项的系数为（）A. B. C.112 D.448答案：A解析：思路：利用二项式的展开式通项确定含的项的系数即可.解答过程：的展开式的通项为，，令，得，所以含的项的系数为．故选：A5.已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据是的必要不充分条件，建立不等关系求解即可.解答过程：由是的必要不充分条件，得是的真子集，因此可得解得．故选：．6.已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用导数的几何意义，列方程组求解即可.解答过程：由题意知，所以，解得，又，所以，解得，所以.故选：C.7.已知等差数列的公差为2，前n项和为，若成等比数列，则（）A.10 B.8 C.0 D.答案：A解析：思路：利用等比中项的定义，结合等差数列的通项公式可得，计算可求得，进而利用等差数列的前项和公式即可求解.解答过程：因为成等比数列，所以，又因为数列是公差为2的等差数列，所以，解得．所以．故选：A．8.设，函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据复合函数的单调性，列出关于的不等式，求解即可.解答过程：因为函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，且在上恒成立，所以，解得.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组数据：27，37，14，33，47，26，24，18，35，若去掉14和47，则剩下的数据与原数据相比，下列说法正确的是（）A.中位数不变 B.平均数不变 C.方差不变 D.第40百分位数不变答案：AD解析：思路：依次分别算出这组数据去掉14和47前后的平均数，方差，第40百分位数和中位数，对比即可得解.解答过程：将原数据按从小到大的顺序排列为14，18，24，26，27，33，35，37，47，其中位数为27，平均数为，方差是，由，得原数据的第40百分位数是第4个数26．若去掉14和47，得到新的一组数据为：18，24，26，27，33，35，37，其中位数为27，平均数是，方差是，由，得新数据的第40百分位数是第3个数26，故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A，D正确，B，C错误．故选：AD．10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.是的图象的一个对称中心C.在区间上的值域为D.将的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数答案：ABD解析：思路：分析函数的图象和性质可得正确答案.解答过程：选项A：函数，最小正周期为，故选项A正确；选项B：令，解得，所以的图象的对称中心为.令，得，所以是的图象的一个对称中心，故选项B正确；选项C：当时，，所以，即的值域为，故选项C错误；选项D：设将的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数为，则.因为的定义域为，所以的定义域为，且，所以是偶函数，故选项D正确．故选：ABD．11.已知，是椭圆的左、右焦点，，是上位于第二象限内一点，为坐标原点，.为上一点，且，点为的中点，与交于点，且，则（）A.点在以为直径的圆上 B.椭圆的离心率为C.椭圆的方程为 D.答案：ACD解析：思路：根据即可判断选项A；由选项A及圆的性质可知，.设，则，分析可得为等腰直角三角形，所以，进一步可得，.在中利用勾股定理及即可求出离心率，可判断选项B；由椭圆离心率及，可求得椭圆的方程判断选项C；根据角平分线定理可知，即可判断选项D.解答过程：如图所示，因为，所以点在以为直径的圆上，故选项A正确；由圆的性质可知，.设，则.因为点为的中点，为的中点，所以为的中位线，则，且，所以.又，则为等腰直角三角形，所以.因为为的中位线，则，即，解得，所以，.在中，，则，整理得.又，则，所以，故选项B错误；由，得，所以，，故椭圆的方程为，故选项C正确；由上可知，，.因为，所以，则，所以，故选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知为抛物线的焦点，为上一点，若，则_____．答案：2解析：思路：根据抛物线焦半径公式即可求解．解答过程：由题意知，所以，由及抛物线定义，得，解得．故答案为：2．13.已知，且，则____________．答案：解析：思路：借助二倍角公式与同角三角函数基本关系，结合所处象限计算即可得.解答过程：，化简得，解得或（舍），又，所以．故答案为：.14.若圆锥内半径最大的球的表面积为，则圆锥的侧面积的最小值为____________．答案：解析：思路：作出图形，设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，内切球半径为R，利用的面积建立等式，得出关系式，表示出，利用基本不等式进行求解即可．解答过程：设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，内切球半径为R，轴截面为，则，因为圆锥内半径最大的球的表面积为，所以，解得，所以的内切圆半径也为．，即，化简，得，由，得，所以圆锥的侧面积，令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以圆锥的侧面积的最小值为，故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求的值；（2）若，求a的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由二倍角的正弦公式可得，结合正弦定理得，由从而可得的值，进而可求的值，代入前式，即可求得的值；（2）由二倍角的余弦公式可得的值，由结合余弦定理求解的值，从而得a的值．（1）因，所以，由正弦定理，得，又因，所以，因为，所以，所以．（2）由（1）知，由余弦定理，得，即，整理得，解得（舍去），故.16.设双曲线的左､右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，过原点且斜率为的直线交于两点．（1）求的方程；（2）求四边形的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据弦长以及焦距计算可得，可求出的方程；（2）由对称性求得交点横坐标计算可得四边形的面积.（1）过点且垂直于轴的直线为，将代入双曲线方程可得，解得；因此可得，又，且，解得，故双曲线的方程为．（2）如下图所示：联立，解得，所以四边形的面积.17.如图1，在矩形ABCD中，，将沿着BD翻折到的位置，得到三棱锥，且平面ABP，如图2所示.（1）求证：平面平面ABD；（2）求直线AB与平面BPD所成角的正弦值.答案：（1）证明见详解（2）解析：思路：（1）由平面ABP可得，进而可证平面，即可得面面垂直；（2）利用等体积法求点到平面的距离，进而可求线面夹角.（1）因为平面ABP，平面ABP，可得，，由题意可知：，且，平面，可得平面，由平面ABD，所以平面平面ABD.（2）由题意可知：，设点到平面的距离为，因为，即，解得，所以直线AB与平面BPD所成角的正弦值为.18.已知函数的两个极值点分别为和3．（1）求的解析式；（2）若直线与曲线有且仅有两个公共点，求值．答案：（1）（2）或解析：思路：（1）先求导函数，再根据极值点列式计算求参；（2）根据公共点构造函数，求出单调区间结合极值列式求参.（1），由题意，得和3是关于的方程的两根，由韦达定理，得解得此时．当时，；当时，；当时，，所以和上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，是的极小值点，符合题意．综上，．（2）直线与曲线有且仅有两个公共点，等价于关于的方程仅有两个实根，即关于的方程仅有两个实根．设，则．当时，；当时，；当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，是的极小值点，且，．根据题意，得或解得或．19.杜老师为了解学生“十一假期”的出行情况，在校内随机抽取了40名学生，对其出行情况进行调查，结果如下：市外游市内游合计男生14620女生81220合计221840（1）依据小概率值独立性检验，判断学生“十一假期”选择市外游或市内游是否与性别有关联；（2）在学校里，小林同学每次都从校内的甲、乙两个餐厅中选择一个就餐．①已知小林同学第一次