山东省聊城市高唐县部分校2025-2026学年高一下册6月联考数学试卷-含答案

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知平面向量与不共线，且，则（）A. B.C. D.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如图，用斜二测画法得到的直观图是，，则（）A. B. C. D.4.已知两个非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.在中，，，，其中.以边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体记为几何体，以边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体记为几何体，则几何体与的体积的比值的取值范围是（）A. B.C. D.6.已知正方体的棱长为3，P为棱上更靠近A的三等分点，则平面截该正方体的截面的面积为（）A. B.C. D.7.明孝陵位于江苏省南京市玄武区紫金山南麓独龙阜玩珠峰下，东毗中山陵，南临梅花山，位于钟山风景名胜区内，其占地面积达170余万平方米，是中国规模最大的帝王陵寝之一．明孝陵景区共有8个门，1号门位于植物园路，4号门在1号门的南偏东53°48′的492m处，8号门在4号门的东偏北75°48′方向，且1号门在8号门的西偏南63°18′方向，则1号门到8号门的距离约为（参考数据：sin68°≈0.927，sin53°48′≈0.807，sin12°30′≈0.216，sin75°48′≈0.969）（）A.2112m B.2107m C.2105m D.2109m8.在四棱锥中，平面，四边形是边长为5的正方形，，分别是棱的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度是（）A. B. C.4 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则（）A. B. C.的虚部为5 D.为纯虚数10.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列判断错误的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则11.已知正方形的边长为，平面，平面，，在平面的同一侧，且，则（）A.点不在四棱锥外接球的球面上B.四棱锥内切球的表面积为C.四棱锥与四棱锥公共部分的体积为D.几何体的五个面所在平面将空间分成个部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知某实木圆台的密度为，且该圆台上、下底面圆的半径分别为2cm，3cm，高为6cm，则该圆台的质量约为___________g．（结果保留整数）13.在中，，且三点共线，则___________．14.定义：多面体顶点的曲率等于与该顶点处多面体面角之和的差（面角采用弧度制计量）.例如：正方体每个顶点均有个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为.在三棱锥中，底面，，，，，则三棱锥在顶点处的曲率为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某中学高一年级有男生560人，女生520人，李老师按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均年龄分别为15.6岁、15.5岁．（1）若李老师在各层中按比例分配样本，总样本量为108，分别求抽取的男生、女生人数；（2）若李老师从男生、女生中抽取的样本量分别为140和130，试估计该中学高一年级学生的平均年龄（结果精确到0.01）．16.已知向量．（1）证明：为定值．（2）当时，求与的夹角．（3）求函数的最大值．17.如图，在平面图形中，四边形为菱形，∠BCD=60°, CE=DE=5，将沿边折起，使得点到达点的位置，连接PA, PB，得到四棱锥．（1）证明：．（2）设，且平面平面．（i）求与平面所成角的正弦值；（ii）求点到平面的距离．18.的内角的对边分别为，已知为钝角，，且．（1）证明：．（2）求．（3）若的中线，求．19.在正三棱柱中，，点在线段上，且，是棱的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）设二面角的大小为，证明：.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知平面向量与不共线，且，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：由平面向量基本定理，不共线时，等式两边对应系数相等，所以，得方程组，解得.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：思路：根据复数的乘法运算先计算，再根据复数的几何意义即可求解.解答过程：由，所以复数在复平面内对应的点为位于第二象限.3.如图，用斜二测画法得到的直观图是，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由斜二测画法可知，，，，由余弦定理得故．4.已知两个非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：解答过程：由，得，解得或，但当时，，不满足题意，故，则“”是“”的充要条件.5.在中，，，，其中.以边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体记为几何体，以边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体记为几何体，则几何体与的体积的比值的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：通过圆锥体积公式分别求解体积即可.解答过程：设几何体与的体积分别为，，则，因为，所以，故的取值范围是.6.已知正方体的棱长为3，P为棱上更靠近A的三等分点，则平面截该正方体的截面的面积为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：先根据平面的性质确定截面的形状，再求其面积.解答过程：如图，取棱上更靠近的三等分点，连接，.因为，，所以平面截正方体的截面为平行四边形.而平面，则平面，又平面，则，则该平行四边形为矩形.因为，，所以该截面的面积为.7.明孝陵位于江苏省南京市玄武区紫金山南麓独龙阜玩珠峰下，东毗中山陵，南临梅花山，位于钟山风景名胜区内，其占地面积达170余万平方米，是中国规模最大的帝王陵寝之一．明孝陵景区共有8个门，1号门位于植物园路，4号门在1号门的南偏东53°48′的492m处，8号门在4号门的东偏北75°48′方向，且1号门在8号门的西偏南63°18′方向，则1号门到8号门的距离约为（参考数据：sin68°≈0.927，sin53°48′≈0.807，sin12°30′≈0.216，sin75°48′≈0.969）（）A.2112m B.2107m C.2105m D.2109m答案：A解析：思路：记1号门的位置为A，4号门的位置为B，8号门的位置为C，由题意可得，，再结合正弦定理即可求解.解答过程：记1号门的位置为A，4号门的位置为B，8号门的位置为C，则根据条件可得，.由正弦定理可得，得.故选：A8.在四棱锥中，平面，四边形是边长为5的正方形，，分别是棱的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度是（）A. B. C.4 D.答案：D解析：思路：取中点，连接，利用线面垂直判定定理证明平面，进而得出动点的轨迹即为，再计算求出．解答过程：取中点，连接，分别是中点，，又平面，则平面，平面，，由正方形的性质可知，分别是中点，，故，平面，，平面，则动点平面，是侧面内的一个动点，动点的轨迹即为，已知是边长为5的正方形，，则，分别是中点，，即动点的轨迹长度为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则（）A. B. C.的虚部为5 D.为纯虚数答案：ACD解析：思路：由题设及复数除法计算方式可得，然后由复数模，虚部，纯虚数等概念可判断各选项正误.解答过程：由题.对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，的虚部为5，故C正确；对于D，为纯虚数，故D正确.10.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列判断错误的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：ABD解析：解答过程：若，满足，但不满足，故A错误；若，平面内存在平行于交线的直线，这条直线与平面平行，故B错误；若，则一个平面内任意直线与另一平面无交点，即，故C正确；若，则不满足，故D错误．11.已知正方形的边长为，平面，平面，，在平面的同一侧，且，则（）A.点不在四棱锥外接球的球面上B.四棱锥内切球的表面积为C.四棱锥与四棱锥公共部分的体积为D.几何体的五个面所在平面将空间分成个部分答案：BCD解析：思路：由题意可将补成一个正方体，利用等体积法与内切球公式求解内切球表面积，通过割补法求解公共部分体积，并由三棱柱的几何特征直接确定空间划分个数.解答过程：将四棱锥补成一个正方体，则四棱锥的外接球为该正方体的外接球，因为点是该正方体的一个顶点，所以点在四棱锥外接球的球面上，A错误.四棱锥的体积，侧面积，表面积，则四棱锥内切球的半径，则该内切球的表面积为，B正确.连接，易知，，则四边形和四边形均为平行四边形，设，，则，分别为，的中点，设，的中点分别为，，连接，，，，则四棱锥和四棱锥的公共部分为几何体，其体积为四棱锥和三棱柱的体积之和，即，C正确.因为几何体为三棱柱，三个侧面，，同时平行于，此时这三个平面退化为三条两两相交的直线，共分割成7个区域，剩下两个平行的平面将这七个区域再次分割成3部分，即它的五个面所在平面将空间分成个部分，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知某实木圆台的密度为，且该圆台上、下底面圆的半径分别为2cm，3cm，高为6cm，则该圆台的质量约为___________g．（结果保留整数）答案：60解析：解答过程：由圆台上、下底面圆的半径分别为2cm，3cm，则圆台的上、下底面的面积分别为，，而圆台的高为6cm，则圆台的体积为，又圆台的密度为，所以该圆台的质量为.13.在中，，且三点共线，则___________．答案：解析：思路：由三点共线，可得，再由题设及平面向量基本定理可得答案.解答过程：因三点共线，则，又，则（显然不为0），从而，结合，平面向量基本定理，可得.14.定义：多面体顶点的曲率等于与该顶点处多面体面角之和的差（面角采用弧度制计量）.例如：正方体每个顶点均有个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为.在三棱锥中，底面，，，，，则三棱锥在顶点处的曲率为___________.答案：##解析：思路：由底面可得，，进而得到，，再根据两角和的正切公式求得，进而结合题设定义求解即可.解答过程：如图，因为底面，底面，所以，.因为，，，所以，，则.因为，，所以，则，而，故三棱锥在顶点处的曲率为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某中学高一年级有男生560人，女生520人，李老师按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均年龄分别为15.6岁、15.5岁．（1）若李老师在各层中按比例分配样本，总样本量为108，分别求抽取的男生、女生人数；（2）若李老师从男生、女生中抽取的样本量分别为140和130，试估计该中学高一年级学生的平均年龄（结果精确到0.01）．答案：（1）抽取男生56人，女生52人（2）估计高一年级学生平均年龄为15.55岁解析：思路：（1）根据分层抽样按比例分配的规则，先求抽样比再计算各层抽取人数；（2）利用分层抽样总体均值的估计方法，以各层总人数为权重计算加权平均得到结果.（1）由题意得：高一年级的总人数为：，所以抽取的男生人数为：人，抽取的女生人数为：人，所以抽取男生56人，女生52人；（2）设通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均年龄分别为岁和岁，所以（岁），所以估计该中学高一年级学生的平均年龄为15.55岁.16.已知向量．（1）证明：为定值．（2）当时，求与的夹角．（3）求函数的最大值．答案：（1），为定值；（2）（3）解析：思路：(1)由向量的模的运算求解；(2)由向量的数量积运算求解；(3)因为，再由进行求解．（1）略．（2）当时，则，得，设与的夹角为，则，由，得．（3）由，得，则函数的定义域为，由，等号成立时，共线，则，得，由于，得，故函数的最大值为．17.如图，在平面图形中，四边形为菱形，∠BCD=60°, CE=DE=5，将沿边折起，使得点到达点的位置，连接PA, PB，得到四棱锥．（1）证明：．（2）设，且平面平面．（i）求与平面所成角的正弦值；（ii）求点到平面的距离．答案：（1）证明：取的中点，连接，，.由折叠性质得，为等腰三角形，故PO⟂CD.四边形为菱形且，为等边三角形，因此BO⟂CD.又，平面，故CD⟂平面.因平面，因此PB⟂CD，得证.（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）通过证明线面垂直的方法证得.（2）（i）判断与平面所成角，解直角三角形求得其正弦值.（ii）利用等体积法求得到平面的距离．（1）略（2）（i）由平面PCD⟂平面，平面平面，平面且PO⟂CD，故PO⟂平面，即为与平面所成的角.由得，故，在中，.等边中，.在中，，故.（ii）设点到平面的距离为，由等体积法得.菱形中，，，故.三棱锥的高为，故.在中，，，，由余弦定理得，故，因此.由，解得.18.的内角的对边分别为，已知为钝角，，且．（1）证明：．（2）求．（3）若的中线，求．答案：（1）证明：由三角形内角和定理得，故.由余弦和角公式展开得，代入得，解得.则.因为钝角，故，，即，因此，得证.